2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 習(xí)題課（八）三角恒等變換及應(yīng)用 新人教A版必修第一冊

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1、習(xí)題課（八） 三角恒等變換及應(yīng)用 一、選擇題 1．已知sin 2α＝，則cos2＝(　　) A．－　　　　　　　　 B．－ C． D． 解析：選D　cos2＝＝＝. 2．下列函數(shù)中，最小正周期為π的奇函數(shù)是(　　) A．y＝sin B．y＝coscos(π＋x) C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x 解析：選B　y＝sin＝cos 2x為偶函數(shù)，最小正周期為π，A錯誤； y＝coscos(π＋x)＝sin xcos x＝sin 2x為奇函數(shù)，最小正周期為π，B正確； y＝sin 2x＋cos 2x＝sin為非奇非偶函數(shù)，最小正周期為π

2、，C錯誤； y＝sin x＋cos x＝sin為非奇非偶函數(shù)，最小正周期為2π，D錯誤． 3．已知sin α＝，cos α＝，則tan等于(　　) A．2－ B．2＋ C．－2 D．±(－2) 解析：選C　因?yàn)閟in α＝，cos α＝， 所以tan ＝＝＝－2. 4．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝(　　) A．±1 B．1 C．－1 D．0 解析：選D　原式＝sin[60°＋(θ＋15°)]＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝－cos(θ＋15°)＋sin(θ＋15°)＋cos(θ＋45°)＝－cos(θ＋

3、45°)＋cos(θ＋45°)＝0，故選D. 5．若cos＝，則cos的值為(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：選A　∵cos＝，∴cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－，∴cos＝cos＝－cos＝，故選A. 6．函數(shù)f(x)＝6cos－cos 2x的最小值是(　　) A．－7 B．－6 C．－5 D．－4 解析：選C　函數(shù)f(x)＝6cos－cos 2x化簡可得f(x)＝6sin x＋2sin2x－1＝22－－1，當(dāng)sin x＝－1時，函數(shù)f(x)取得最小值為－5. 7．化簡：的值為(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 解析：

4、選D　 ＝ ＝ ＝＝＝1. 8．(2018·山西大學(xué)附中一診)函數(shù)f(x)＝(0＜x＜π)的大致圖象是(　　) 解析：選B　f(x)＝＝＝＝＝|cos x|，因?yàn)?＜x＜π，比較四個選項(xiàng)圖象知選B. 9．若函數(shù)f(x)＝sin xcos x＋cos2x＋a在區(qū)間上的最大值與最小值的和為，則a＝(　　) A．－1 B．0 C．2 D．3 解析：選B　f(x)＝sin xcos x＋cos2x＋a＝sin 2x＋cos 2x＋＋a＝sin＋＋a，因?yàn)椋躼≤，所以－≤2x＋≤，則－≤sin≤1.又f(x)的最大值與最小值的和為，所以＋＝，解得a＝0. 10．已知

5、函數(shù)f(x)＝sin x＋cos x的圖象關(guān)于直線x＝a對稱，則最小正實(shí)數(shù)a的值為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　因?yàn)閒(x)＝sin x＋cos x ＝2＝2sin， 所以其對稱軸方程為x＋＝kπ＋，k∈Z. 解得x＝kπ＋，k∈Z.又函數(shù)f(x)＝sin x＋cos x的圖象關(guān)于直線x＝a對稱， 所以a＝kπ＋，k∈Z. 當(dāng)k＝0時，最小正實(shí)數(shù)a的值為. 二、填空題 11．函數(shù)y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期為________． 解析：y＝sin 2x＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，其最小正周期為T＝＝π. 答

6、案：π 12．化簡 ＝________. 解析：原式＝ ＝ ＝. ∵＜θ＜2π，∴＜<π，∴原式＝sin. 答案：sin 13．若函數(shù)f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m在區(qū)間上的最大值為6，則m＝________. 解析：f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m＝sin 2x＋1＋cos 2x＋m＝2sin＋m＋1，∵0≤x≤，∴≤2x＋≤.所以當(dāng)2x＋＝，即x＝時，f(x)max＝2＋m＋1＝6，∴m＝3. 答案：3 14．若動直線x＝a與函數(shù)f(x)＝sin xcos x和g(x)＝cos2x的圖象分別交于M，N兩點(diǎn)，則MN的最大值為________． 解析：f(x

7、)＝sin xcos x＝sin 2x，g(x)＝cos2x＝，所以MN＝|f(a)－g(a)|＝＝，則當(dāng)sin＝－1時，MN取得最大值，為. 答案： 三、解答題 15．已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α的值． 解：∵<β<α<，∴0＜α－β＜. ∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝ ＝. ∵＜α＜，＜β＜，∴π＜α＋β＜. ∵sin(α＋β)＝－，∴cos(α＋β)＝－ ＝－. ∴cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)＝×－×＝－. 16．已知函數(shù)f(

8、x)＝(sin x＋cos x)2－cos 2x. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)求證：當(dāng)x∈時，f(x)≥0. 解：(1)因?yàn)閒(x)＝sin2x＋cos2x＋sin 2x－cos 2x＝1＋sin 2x－cos 2x＝sin＋1， 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π. (2)證明：由(1)可知，f(x)＝sin＋1. 當(dāng)x∈時，2x－∈， sin∈， sin＋1∈[0，＋1]． 當(dāng)2x－＝－，即x＝0時，f(x)取得最小值0. 所以當(dāng)x∈時，f(x)≥0. 17．已知函數(shù)f(x)＝sin－2sin2x. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)求函數(shù)f

9、(x)圖象的對稱軸方程、對稱中心的坐標(biāo)； (3)當(dāng)0≤x≤時，求函數(shù)f(x)的最大、最小值． 解：f(x)＝sin 2x－cos 2x－2·＝sin 2x＋cos 2x－＝sin－. (1)函數(shù)f(x)的最小正周期為π. (2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)， 得x＝kπ＋(k∈Z)， 所以函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程是x＝kπ＋(k∈Z)． 令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)． 所以函數(shù)f(x)圖象的對稱中心的坐標(biāo)是(k∈Z)． (3)當(dāng)0≤x≤時，≤2x＋≤， －≤sin≤1， 所以當(dāng)x＝時，f(x)取最小值－，當(dāng)x＝時，f(x)取最大值1－. 18．

10、已知f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos2x. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間； (2)若θ∈，f＝，求sin的值． 解：(1)f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos2x＝(1＋2sin xcos x)－cos2x＝sin 2x－＋＝sin＋. ∴函數(shù)f(x)的最小正周期T＝π. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)． (2)由(1)得f＝sin＋＝sin＋＝cos θ＋＝， ∴cos θ＝， ∵θ∈， ∴sin θ＝－， ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，cos 2θ＝2cos2θ－1＝－， ∴sin＝sin 2θcos －cos 2θsin＝－. - 8 -