2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三課 考點(diǎn)突破素養(yǎng)提升 新人教A版必修第一冊

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1、第三課 考點(diǎn)突破·素養(yǎng)提升 素養(yǎng)一　數(shù)學(xué)運(yùn)算 角度1　求定義域、值域 【典例1】(1)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,1],則函數(shù)f(2x-1)的定義域?yàn)?　　) A.[-1,1]　 B. C.[0,1]　 D. (2)函數(shù)f(x)=+的定義域?yàn)開_______.? (3)求函數(shù)y=2x-3-的值域. 【解析】(1)選B.f(x)的定義域?yàn)閇0,1], 所以f(2x-1)需滿足0≤2x-1≤1,所以≤x≤1, 所以f(2x-1)的定義域?yàn)? (2)要使函數(shù)有意義,需滿足: 即解得:-3≤x<且x≠-, 所以函數(shù)的定義域?yàn)閤-3≤x<且x≠-. 答案:x-3

2、≤x<且x≠- (3)由13-4x≥0,解得x≤,函數(shù)y=2x-3為實(shí)數(shù)集上的增函數(shù),y=-為上的增函數(shù),所以y=2x-3-在上為增函數(shù),則ymax=2×-3-=, 所以y=2x-3-的值域?yàn)? 【類題·通】 關(guān)于函數(shù)定義域、值域的求法 (1)定義域:關(guān)注解析式中的根號(hào)、分母、零次冪有意義;抽象函數(shù)的定義域一般用代入法求解. (2)值域:首先考查函數(shù)類型,再確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性,最后計(jì)算最值.解題過程中要靈活應(yīng)用換元法、配方法等方法,含字母的要分情況討論. 【加練·固】 求下列函數(shù)的值域: (1)y=3x2-x+2,x∈[1,3]. (2)已知函數(shù)y=x2+1(x∈[

3、a,2]),求該函數(shù)的值域. 【解析】(1)(配方法) 因?yàn)閥=3x2-x+2=3+, 所以函數(shù)y=3x2-x+2在[1,3]上單調(diào)遞增, 所以當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)取得最小值4; 當(dāng)x=3時(shí),函數(shù)取得最大值26. 所以函數(shù)y=3x2-x+2,x∈[1,3]的值域?yàn)閇4,26]. (2)函數(shù)y=x2+1,x∈[a,2],其對稱軸為x=0. 當(dāng)0

4、f(a)=a2+1,其值域?yàn)閇1,a2+1]. 角度2　求解析式 【典例2】(1)已知函數(shù)f(2x+1)=4x2,則f(-3)= (　　) A.36　 B.16　 C.4　 D.2 (2)已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(,3),函數(shù)g(x)是偶函數(shù)且當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),g(x)=.求f(x),g(x)的解析式. 【解析】(1)選B.方法一:函數(shù)f(2x+1)=4x2,令2x+1=-3,解得x=-2,所以f(-3)=4×(-2)2=16. 方法二:設(shè)2x+1=t,則x=, 所以f(t)=4×=(t-1)2, 所以f(-3)=(-3-1)2=16. (2)設(shè)f(x)=

5、xα,因?yàn)槠鋱D象過點(diǎn)(,3), 故3=()α,即()3=()α, 所以α=3,故f(x)=x3. 令x∈(-∞,0),則-x∈(0,+∞), 所以g(-x)=. 因?yàn)間(x)是偶函數(shù),故g(-x)=g(x), 所以g(x)=,x∈(-∞,0), 所以g(x)= 故g(x)=,x∈R. 【類題·通】 　求函數(shù)解析式的題型與相應(yīng)的解法 (1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式,使用換元法或配湊法. (2)已知函數(shù)的類型(往往是一次函數(shù)、二次函數(shù)或冪函數(shù)),使用待定系數(shù)法. (3)含f(x)與f(-x)或f(x)與f,使用解方程組法. (4)已知一個(gè)區(qū)間的解

6、析式,求另一個(gè)區(qū)間的解析式,可用奇偶性轉(zhuǎn)移法. 【加練·固】 已知f(x)是對稱軸為x=-的二次函數(shù),且f(0)=-1,f(1)=3. (1)求f(x)的解析式. (2)求f(x)在(-1,1)上的值域. 【解析】(1)由題意設(shè)f(x)=a+b, 因?yàn)閒(0)=-1,f(1)=3. 所以所以 故f(x)的解析式為f(x)=2x2+2x-1. (2)由(1)可知f(x)=2x2+2x-1, 當(dāng)x∈(-1,1)時(shí), f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, f(x)的最小值為f且f=-, f(-1)=-1,且f(1)=3, 所以f(x)在(-1,1)上的值域?yàn)? 素養(yǎng)二　

7、直觀想象 角度　函數(shù)的圖象及其應(yīng)用 【典例3】已知y=f(x)是奇函數(shù),y=g(x)是偶函數(shù),它們的定義域均為[-3,3],且它們在x∈[0,3]上的圖象如圖所示,則不等式<0的解集是________.? 【解析】因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以由圖象知, 當(dāng)00, 當(dāng)-20, 當(dāng)-1

8、<1或20,k>0). ②對稱:y=f(x)y=f(-x); y=f(x)y=-f(x); y=f(x)y=-f(-x). 【加練·固】 已知函數(shù)y=f(x)是定義在區(qū)間[-3,3]上的偶函數(shù),它在區(qū)間[0,3]上的圖象是如圖所示的一條線段,則不等式f(x)+f(-x)>x的

9、解集為________.? 【解析】由題意,函數(shù)f(x)過點(diǎn)(0,2),(3,0), 所以y=-x+2,x∈[0,3].又因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以f(x)關(guān)于y軸對稱, 所以f(x)=f(-x),所以2f(x)>x. 作出函數(shù)f(x)在[-3,3]上的圖象如圖所示, 當(dāng)x∈[-3,0)時(shí),y=2f(x)的圖象在y=x的上方, 當(dāng)x∈[0,3]時(shí),令2f(x)=x,得x=, 所以滿足2f(x)>x的x的范圍為0≤x<, 當(dāng)x∈時(shí),2f(x)>x恒成立. 即當(dāng)x∈時(shí),滿足2f(x)>x, 故f(x)+f(-x)>x的解集為. 答案: 素養(yǎng)三　邏輯推理 角度　函數(shù)

10、的單調(diào)性與奇偶性 【典例4】已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-2x. (1)求函數(shù)f(x)在R上的解析式. (2)畫出函數(shù)f(x)的圖象,并根據(jù)圖象寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間. (3)若關(guān)于x的方程f(x)=2a+1有三個(gè)不同的解,求a的取值范圍. 【解析】(1)①由于函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),則f(0)=0. ②當(dāng)x<0時(shí),-x>0,因?yàn)閒(x)是奇函數(shù), 所以f(-x)=-f(x). 所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)] =-x2-2x.綜上:f(x)= (2)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示: 單調(diào)增區(qū)間:(-∞

11、,-1],[1,+∞), 單調(diào)減區(qū)間:(-1,1). (3)因?yàn)榉匠蘤(x)=2a+1有三個(gè)不同的解, 所以-1<2a+1<1,所以-11,解得a<-1或a>0. 【類題·通】 　函數(shù)單調(diào)性與奇偶性應(yīng)用的常見題型 (1)用定義判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性. (2)利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求單調(diào)區(qū)間. (3)利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性比較大小,解不等式. (4)利用函數(shù)的單

12、調(diào)性和奇偶性求參數(shù)的取值范圍. 【加練·固】 已知函數(shù)f(x)=x+. (1)證明:函數(shù)f(x)=x+在x∈[2,+∞)上是單調(diào)遞增的. (2)求f(x)在[4,8]上的值域. 【解析】(1)設(shè)x1,x2為[2,+∞)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且x1x1≥2, 所以x1-x2<0,1->0, 則f(x1)-f(x2)=(x1-x2)<0, 即f(x1)

13、增的,所以f(x)在[4,8]上是單調(diào)遞增的, 則f(x)min=f(4)=5,f(x)max=f(8)=8+=. 所以f(x)在[4,8]上的值域?yàn)? 素養(yǎng)四　數(shù)學(xué)建模 角度　函數(shù)的應(yīng)用 【典例5】某商場經(jīng)營一批進(jìn)價(jià)是每件30元的商品,在市場試銷中發(fā)現(xiàn),該商品銷售單價(jià)x(不低于進(jìn)價(jià),單位:元)與日銷售量y(單位:件)之間有如下關(guān)系: x 45 50 y 27 12 (1)確定y與x的一個(gè)一次函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)(注明函數(shù)定義域). (2)若日銷售利潤為P元,根據(jù)(1)中的關(guān)系式寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并指出當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí),才能獲得最大的日銷售利潤? 【解

14、析】(1)因?yàn)閒(x)是一次函數(shù),設(shè)f(x)=ax+b, 由表格得方程組 解得 所以y=f(x)=-3x+162.又y≥0,所以30≤x≤54, 故所求函數(shù)關(guān)系式為y=-3x+162,x∈[30,54]. (2)由題意得,P=(x-30)y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4 860=-3(x-42)2+432,x∈[30,54]. 當(dāng)x=42時(shí),最大的日銷售利潤為432元,即當(dāng)銷售單價(jià)為42元時(shí),獲得最大的日銷售利潤. 【類題·通】 　解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟 (1)審題:弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,初步選擇數(shù)學(xué)模型. (2)建模:將自然語言轉(zhuǎn)化

15、為數(shù)學(xué)語言,將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言,利用數(shù)學(xué)知識(shí),建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型. (3)求模:求解數(shù)學(xué)模型,得出數(shù)學(xué)結(jié)論. (4)還原:將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題的意義. 【加練·固】 共享單車是城市慢行系統(tǒng)的一種模式創(chuàng)新,對于解決民眾出行“最后一公里”的問題特別見效,由于停取方便、租用價(jià)格低廉,各色共享單車受到人們的熱捧.某自行車廠為共享單車公司生產(chǎn)新樣式的單車,已知生產(chǎn)新樣式單車的固定成本為20 000元,每生產(chǎn)一件新樣式單車需要增加投入100元.根據(jù)初步測算,自行車廠的總收益(單位:元)滿足分段函數(shù)h(x),其中h(x)= x是新樣式單車的月產(chǎn)量(單位:件),利潤=總收益-總成本. (1)試將自行車廠的利潤y元表示為月產(chǎn)量x的函數(shù). (2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少件時(shí)自行車廠的利潤最大?最大利潤是多少? 【解析】(1)依題設(shè),總成本為20 000+100x,則y= (2)當(dāng)0400且x∈N時(shí),y=60 000-100x是單調(diào)遞減的, 則y<60 000-100×400=20 000, 所以,當(dāng)月產(chǎn)量x=300件時(shí),自行車廠的利潤最大,最大利潤為25 000元. 11