6、zmin＝1＋2×1＝3.
10．不等式≥2的解集是________．
答案 ∪(1,3]
解析?。?≥0等價于≤0等價于等價于－≤x≤3且x≠1.
所以原不等式的解集為∪(1,3]．
11．(2019·江蘇沭陽期中調研)有下面四個不等式：
①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；②a(1－a)≤；③＋≥2；④≥.其中恒成立的有________個．
答案 2
解析 因為2(a2＋b2＋c2)－2(ab＋bc＋ca)＝(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca成立，①正確；因為a(1－a)＝－a2＋a＝－2＋≤，所以②正確；當a，b同號
7、時，有＋≥2，當a，b異號時，＋≤－2，所以③錯誤；ab＜0時，≥不成立．其中恒成立的個數(shù)是2個．
12．已知f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，則f(－2)的取值范圍為________．
答案 [5,10]
解析 解法一：設f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n為待定系數(shù))，則4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
則解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)，又∵1≤f(－1)≤2，
2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故5≤f(－2)≤10.
解法二：由確定的平面區(qū)域如圖中
8、陰影部分所示，
當f(－2)＝4a－2b過點A時，取得最小值4×－2×＝5，當f(－2)＝4a－2b過點B(3,1)時，取得最大值4×3－2×1＝10，所以5≤f(－2)≤10.
三、解答題
13．已知函數(shù)f(x)＝(a，b為常數(shù))．
(1)若b＝1，解不等式f(x－1)<0；
(2)若a＝1，當x∈[－1,2]時，f(x)>恒成立，求b的取值范圍．
解 (1)∵f(x)＝，b＝1，∴f(x)＝，
∴f(x－1)＝＝，∵f(x－1)<0，
∴<0，等價于x[x－(1－a)]<0，
①當1－a>0，即a<1時，不等式的解集為(0,1－a)；
②當1－a＝0，即a＝1時，不
9、等式的解集為?；
③當1－a<0，即a>1時，不等式的解集為(1－a,0)．
(2)∵a＝1，f(x)>，
∴>?(x＋b)(x＋1)>－1， (※)
顯然x≠－b，易知當x＝－1時，不等式(※)顯然成立；
當－1－－x＝1－，
∵x＋1>0，∴＋(x＋1)≥2＝2，
當且僅當x＝0時，等號成立，故b>－1.
∵x＋b≠0，∴x≠－b，而－b?[－1,2]，
故b<－2或b>1.綜上所述，b>1.
14．電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時，需要播放廣告．已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示：
連
10、續(xù)劇播放時長
(分鐘)
廣告播放時長
(分鐘)
收視人次
(萬)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍．分別用x，y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)．
(1)用x，y列出滿足題目條件的數(shù)學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域；
(2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使收視人次最多？
解 (1)由已知，x，y滿足的數(shù)學關系式為
即
該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖1中的陰影部分：
(2)設
11、總收視人次為z萬，則目標函數(shù)為z＝60x＋25y.
將z＝60x＋25y變形為y＝－x＋，這是斜率為－，隨z變化的一組平行直線，為直線在y軸上的截距，當取得最大值時，z的值最大．又因為x，y滿足約束條件，所以由圖2可知，
當直線z＝60x＋25y經過可行域上的點M時，截距最大，即z最大．
解方程組得點M的坐標為(6,3)．
所以，電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時，才能使總收視人次最多．
一、選擇題
1．(2019·河北石家莊模擬一)設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝x＋3y的最小值為( )
A．6 B．8 C．4 D．3
答案 C
解析 由約束條件作
12、出可行域如圖中陰影部分所示．
聯(lián)立解得A(－2,2)，化目標函數(shù)z＝x＋3y為y＝－＋，由圖可知，當直線y＝－＋過A時，直線y＝－＋在y軸上的截距最小，z有最小值為4.故選C.
2．(2019·廣東六校第四次聯(lián)考)若x，y滿足
則|x－y|的最大值為( )
A．4 B．2 C．1 D．0
答案 A
解析 不等式組對應的可行域如圖中陰影部分所示，令z＝x－y，則y＝x－z，當直線y＝x－z經過點B(2，－2)時，直線的縱截距－z最小，|－z|＝4，當直線過點A(1，－1)時，縱截距－z最大，|－z|＝2，故選A.
3．(2019·安徽合肥第三次質檢)若直線y＝k
13、(x＋1)與不等式組表示的平面區(qū)域有公共點，則實數(shù)k的取值范圍是( )
A．(－∞，1] B．[0,2] C．[－2,1] D．(－2,2]
答案 B
解析 畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，
直線y＝k(x＋1)過定點A(－1,0)，要使得直線y＝k(x＋1)與不等式組表示的平面區(qū)域有公共點，則0≤k≤kAC，∵kAC＝＝2，∴k∈[0,2]．故選B.
4．(2019·河南重點高中4月聯(lián)合質檢)已知實數(shù)x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝2y－3x的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 作出約束條件
表示的可行域如圖中陰
14、影區(qū)域所示，
求得點A的坐標是，點B的坐標是，由z＝2y－3x，得y＝x＋，平移直線y＝x，當直線z＝2y－3x經過點A時，
z＝2×2－3×＝，當直線z＝2y－3x經過點B時，
z＝2×－3×＝－，所以z的取值范圍是.故選A.
5．(2019·河北衡水質檢四)設x，y滿足約束條件則下列恒成立的是( )
A．x≥3 B．y≥4
C．2x－y＋1≥0 D.的最小值為1
答案 D
解析 可行域如圖陰影部分，其中A(2,3)，顯然A，B，C選項都不成立，表示可行域內點到點(0,1)的斜率，由圖可得最小值為1，故選D.
6．(2019·福建龍巖質檢)已知x>0，y>
15、0，且＋＝，則x＋y的最小值為( )
A．3 B．5 C．7 D．9
答案 C
解析 由x＋y＝(x＋1)＋y－1＝[(x＋1)＋y]·1－1＝[(x＋1)＋y]·2－1＝2－1≥3＋4＝7.當且僅當x＝3，y＝4時取得最小值7.故選C.
7．已知實數(shù)x，y滿足條件若z＝y(tǒng)－ax取得最大值時的最優(yōu)解有且只有一個，則實數(shù)a的取值集合為( )
A．{2，－1} B．{a∈R|a≠2}
C．{a∈R|a≠－1} D．{a∈R|a≠2且a≠－1}
答案 D
解析 不等式組對應的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．
由z＝－ax＋y得y＝ax＋z，若a＝0，直線y＝ax＋z可
16、化為y＝z，此時取得最大值時的最優(yōu)解有且只有一個，滿足條件．若a>0，則直線y＝ax＋z的縱截距最大時，z取得最大值，若z＝y(tǒng)－ax取得最大值時的最優(yōu)解有且只有一個，則a≠2.若a<0，則直線y＝ax＋z的縱截距最大時，z取得最大值，若z＝y(tǒng)－ax取得最大值時的最優(yōu)解有且只有一個，則a≠－1.故選D.
8．設0(ax)2的解集中的整數(shù)恰有4個，則的取值范圍為( )
A．(3,4] B．(3,4) C．(2,3] D．(2,3)
答案 A
解析 整理不等式得[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]>0，因為整數(shù)解只有4個，且1＋a>0，
17、可得1－a<0，所以a>1.其解集為，又0
18、部分所示．
m＝＝＝1＋3·，可看作(x，y)與(－1，－1)連線的斜率，觀察圖象可知，kPC≤≤kPB，即≤≤2，所以2≤m≤7.
11．已知正數(shù)a，b滿足a2＋ab－3＝0，則4a＋b的最小值為________．
答案 6
解析 因為正數(shù)a，b滿足a2＋ab－3＝0，所以3a·(a＋b)＝9，則4a＋b＝3a＋(a＋b)≥2＝2＝6，當且僅當3a＝a＋b時等號成立．
此時由解得所以4a＋b的最小值為6.
12．某高科技企業(yè)生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料．生產一件產品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產一件產品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0
19、.3 kg，用3個工時．生產一件產品A的利潤為2100元，生產一件產品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產產品A，B的利潤之和的最大值為________元．
答案 216000
解析 設生產產品A，B分別為x，y件，利潤之和為z元，
那么 ?、?
目標函數(shù)z＝2100x＋900y，
二元一次不等式組①等價于 ?、?
作出二元一次不等式組②表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分：
將z＝2100x＋900y變形，得y＝－x＋，當直線y＝－x＋經過點M時，z取得最大值．
解方程組得點M(60,100)．
所以
20、當x＝60，y＝100時，zmax＝2100×60＋900×100＝216000.
故生產產品A，B的利潤之和的最大值為216000元．
三、解答題
13．某地需要修建一條大型輸油管道通過240 km寬的沙漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程是在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設輸油管道和等距離修建增壓站(又稱泵站)．經預算，修建一個增壓站的費用為400萬元，鋪設距離為x km的相鄰兩增壓站之間的輸油管道的費用為(x2＋x)萬元．設余下工程的總費用為y萬元．
(1)試將y表示成x的函數(shù)；
(2)需要修建多少個增壓站才能使y最小，其最小值為多少？
解 (1)設需要修建k個增壓
21、站，
則(k＋1)x＝240，即k＝－1.
所以y＝400k＋(k＋1)(x2＋x)＝400＋(x2＋x)＝＋240x－160.
因為x表示相鄰兩增壓站之間的距離，所以00，b>0且a＋b＝f(3)，求證：＋≤2.
解 (1)因為f(x)＝|x－1|，
所以f(2x)－f(x＋1)＝|2x－1|－|x|
＝
由f(2x)－f(x＋1)≥2，
得或或
得x≤－1或x≥3，
所以不等式的解集為(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(2)證明：a＋b＝f(3)＝2，又a>0，b>0，
所以·＝，·≤，
故·＋·≤＋＝4，
所以＋≤2成立．
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2020屆高考數(shù)學大二輪復習 刷題首選卷 第一部分 刷考點 考點六 不等式及線性規(guī)劃 文
