2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)46 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 理（含解析）新人教A版

課后限時(shí)集訓(xùn)(四十六)　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 (建議用時(shí)：60分鐘) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1．(2019·唐山模擬)直線4x－3y＝0與圓(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦長(zhǎng)為(　　) A．6　　　 B．3 C．6 D．3 A　[假設(shè)直線4x－3y＝0與圓(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦為AB.∵圓的半徑r＝，圓心到直線的距離d＝＝1，∴弦長(zhǎng)|AB|＝2×＝2＝2×3＝6.故選A.] 2．圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線有且僅有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 B　[易得C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4.圓心距d＝|C1C2|＝＝.∵0＜d＜4，∴圓C1與C2相交，故兩圓有2條公切線．] 3．圓C：x2＋y2－ax＋2＝0與直線l相切于點(diǎn)A(3,1)，則直線l的方程為(　　) A．2x－y－5＝0 B．x－2y－1＝0 C．x－y－2＝0 D．x＋y－4＝0 D　[由已知條件可得32＋12－3a＋2＝0，解得a＝4，此時(shí)圓x2＋y2－4x＋2＝0的圓心為C(2,0)，半徑為，所以kAC＝1，則直線l的方程為y－1＝－x＋3，即x＋y－4＝0.] 4．(2019·湘東五校聯(lián)考)圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0 的距離等于2的點(diǎn)有(　　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) B　[圓(x－3)2＋(y－3)2＝9的圓心為(3,3)，半徑為3，圓心到直線3x＋4y－11＝0的距離d＝＝2，∴圓上到直線3x＋4y－11＝0的距離為2的點(diǎn)有2個(gè)．故選B.] 5．(2019·福州模擬)過點(diǎn)P(1，－2)作圓C：(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則AB所在直線的方程為(　　) A．y＝－ B．y＝－ C．y＝－ D．y＝－ B　[圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為(1,0)，半徑為1，以|PC|＝＝2為直徑的圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝1， 將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y＋1＝0，即y＝－.] 二、填空題 6．若P(2，－1)為圓(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程是________． x－y－3＝0　[記題中圓的圓心為O，則O(1,0)，因?yàn)镻(2，－1)是弦AB的中點(diǎn)，所以直線AB與直線OP垂直，易知直線OP的斜率為－1，所以直線AB的斜率為1，故直線AB的方程為x－y－3＝0.] 7．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則圓C的面積為________． 4π　[圓C：x2＋y2－2ay－2＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2， 所以圓心C(0，a)，半徑r＝.|AB|＝2，點(diǎn)C到直線y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距離d＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2， 所以r＝2，所以圓C的面積為π×22＝4π.] 8．點(diǎn)P在圓C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，點(diǎn)Q在圓C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，則|PQ|的最小值是________． 3－5　[把圓C1、圓C2的方程都化成標(biāo)準(zhǔn)形式，得 (x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4. 圓C1的圓心坐標(biāo)是(4,2)，半徑長(zhǎng)是3；圓C2的圓心坐標(biāo)是(－2，－1)，半徑是2. 圓心距d＝＝3＞5.故圓C1與圓C2相離，所以|PQ|的最小值是3－5.] 三、解答題 9．已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2，－1)，和直線x＋y＝1相切，且圓心在直線y＝－2x上． (1)求圓C的方程； (2)已知直線l經(jīng)過原點(diǎn)，并且被圓C截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程． [解]　(1)設(shè)圓心的坐標(biāo)為C(a，－2a)， 則＝. 化簡(jiǎn)，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1. 所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－2)， 半徑r＝|AC|＝＝. 故圓C的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝2. (2)①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝0，此時(shí)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為2，滿足條件． ②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx， 由題意得＝1，解得k＝－， 則直線l的方程為y＝－x. 綜上所述，直線l的方程為x＝0或3x＋4y＝0. 10．圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，圓O2的圓心坐標(biāo)為(2,1)． (1)若圓O1與圓O2外切，求圓O2的方程； (2)若圓O1與圓O2相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，求圓O2的方程． [解]　(1)因?yàn)閳AO1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，所以圓心O1(0，－1)，半徑r1＝2. 設(shè)圓O2的半徑為r2，由兩圓外切知|O1O2|＝r1＋r2. 又|O1O2|＝＝2， 所以r2＝|O1O2|－r1＝2－2. 所以圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝12－8. (2)設(shè)圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝r， 又圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝4， 相減得AB所在的直線方程為4x＋4y＋r－8＝0. 設(shè)線段AB的中點(diǎn)為H， 因?yàn)閞1＝2，所以|O1H|＝＝. 又|O1H|＝＝， 所以＝，解得r＝4或r＝20. 所以圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20. B組　能力提升 1．一條光線從點(diǎn)(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為(　　) A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ D　[圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圓心為(－3,2)，半徑r＝1.作出點(diǎn)(－2，－3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)(2，－3)．由題意可知，反射光線的反向延長(zhǎng)線一定經(jīng)過點(diǎn)(2，－3)．設(shè)反射光線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y－(－3)＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光線與圓相切可得＝1，即|5k＋5|＝，整理得12k2＋25k＋12＝0，即(3k＋4)(4k＋3)＝0，解得k＝－或k＝－.故選D.] 2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y＝2x－4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．若圓C上存在點(diǎn)M，使MA＝2MO，則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍是(　　) A. B．[0,1] C. D. A　[因?yàn)閳A心在直線y＝2x－4上，所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1，設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)镸A＝2MO，所以＝2， 化簡(jiǎn)得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以點(diǎn)M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上． 由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則|2－1|≤|CD|≤2＋1，即1≤≤3. 由≥1得5a2－12a＋8≥0，解得a∈R；由≤3得5a2－12a≤0，解得0≤a≤. 所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.故選A.] 3．(2019·唐山模擬)已知直線l：kx－y－k＋2＝0與圓C：x2＋y2－2y－7＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為________． 2　[kx－y－k＋2＝0.化為y－2＝k(x－1)，直線過定點(diǎn)E(1,2)，又E(1,2)在圓x2＋y2－2y－7＝0內(nèi)， 所以，當(dāng)E是AB中點(diǎn)時(shí)，|AB|最小， 由x2＋y2－2y－7＝0得x2＋(y－1)2＝8，圓心C(0,1)，半徑2，|AB|＝2＝2＝2.] 4．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2＋mx－2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1)．當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問題： (1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由； (2)證明過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值． [解]　(1)不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況．理由如下： 設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，則x1，x2滿足x2＋mx－2＝0， 所以x1x2＝－2. 又點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1)， 故AC的斜率與BC的斜率之積為·＝－， 所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況． (2)證明：BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，可得BC的中垂線方程為y－＝x2. 由(1)可得x1＋x2＝－m， 所以AB的中垂線方程為x＝－. 聯(lián)立 又x＋mx2－2＝0，可得 所以過A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑r＝. 故圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為2＝3， 即過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值． - 5 -