數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文-微元法的研究及應(yīng)用.doc

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1、山東輕工業(yè)學(xué)院2011屆本科生畢業(yè)論文0摘要.1第一章微元法理論.11.1選題意義及微元法的產(chǎn)生背景.11.2微元法理論簡介.21.2.1預(yù)備知識-定積分的定義.21.2.2微元法的引入.31.2.3微元法的實質(zhì)及解題步驟.4第二章微元法的應(yīng)用.52.1微元法在幾何中的應(yīng)用.52.1.1微元法證明一類積分學(xué)公式.52.1.2微元法在幾何學(xué)中的具體應(yīng)用.82.2微元法在物理學(xué)中的應(yīng)用.132.2.1概述微元法在物理中的應(yīng)用.132.2.2微元法在大學(xué)物理中的應(yīng)用.13山東輕工業(yè)學(xué)院2011屆本科生畢業(yè)論文1摘要微元法是處理微積分問題的重要方法,微元法的使用使原本復(fù)雜的積分問題變得容易處理。本文將

2、給出微元法的原理、使用方法及使用條件，使對微元法有更深刻的認(rèn)識,然后介紹微元法在幾何學(xué)、物理上的應(yīng)用，解決一些具體的實際問題，并研究如何使用微元法更加簡單、高效。關(guān)鍵詞：微元法微元法幾何應(yīng)用物理應(yīng)用ABSTRACTMicro-elementmethodisanimportanttreatmentmethodforcalculusproblems.TheuseofMicroelementmethodmakeoriginallycomplexintegralproblembecomeseasytodealwith.Thispaperwillgivetheprincipleofmicro-eleme

3、ntmethod,theuseofmethodsandconditionsofuseofmicro-elementmethodtogainadeeperunderstanding.Thenintroduceapplicationsofmicroelementmethodingeometryandphysicstosolvespecificpracticalproblemsandlearnhowtousemicro-elementmethodismoresimpleandefficient.Keywords:micro-elementmethod；micro-element；geometrica

4、pplications；physicsapplication；第一章微元法理論1.1選題意義及微元法的產(chǎn)生背景數(shù)學(xué)的思想、精神、文化對于人類歷史文化變革有著重要的影響。數(shù)學(xué)文化價值的研究有利于促進(jìn)社會的發(fā)展,有利于加強對自然科學(xué)的認(rèn)識，有利于提高山東輕工業(yè)學(xué)院2011屆本科生畢業(yè)論文2素質(zhì)教育水平。數(shù)學(xué)：打開科學(xué)大門的鑰匙，科學(xué)史表明，一些劃時代的科學(xué)理論成就的出現(xiàn)，無一不借助于數(shù)學(xué)的力量。早在古代，希臘的畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）學(xué)派就把數(shù)看作萬物之本源。享有“近代自然科學(xué)之父”尊稱的伽利略（G.Galileo）認(rèn)為，展現(xiàn)在我們眼前的宇宙像一本用數(shù)學(xué)語言寫成的大書，如不掌握數(shù)學(xué)的符號

5、語言，就像在黑暗的迷宮里游蕩，什么也認(rèn)識不清。沒有數(shù)學(xué)就沒有自然科學(xué)的發(fā)展；沒有數(shù)學(xué)就沒有現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展；沒有數(shù)學(xué)，哲學(xué)就會失去支撐，人類就會處于原始生活狀態(tài)。因此，沒有數(shù)學(xué)，人類將無法實現(xiàn)全面發(fā)展，素質(zhì)教育也將面臨極大挑戰(zhàn)，數(shù)學(xué)文化價值的研究將有利于全面提高個人整體素質(zhì)。由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運用的加深，也由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，一門新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學(xué)。微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱，微積分是與應(yīng)用聯(lián)系發(fā)展起來的，它是數(shù)學(xué)的一個重要的分支，其應(yīng)用與發(fā)展已廣泛的滲透到了物理學(xué)，化學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)等各個自然科學(xué)之中，是我們學(xué)習(xí)各門學(xué)科的重要工具。它的創(chuàng)立，被譽為“人類

6、精神的最高勝利”。在數(shù)學(xué)史上，它的發(fā)展為現(xiàn)代數(shù)學(xué)做出了不朽的功績。恩格斯曾經(jīng)指出：微積分是變量數(shù)學(xué)最重要的部分，是數(shù)學(xué)的一個重要的分支，它實現(xiàn)帶科學(xué)技術(shù)以及自然科學(xué)的各個分支中被廣泛應(yīng)用的最重要的數(shù)學(xué)工具。凡是復(fù)雜圖形的研究，化學(xué)反映過程的分析，物理方面的應(yīng)用，以及彈道氣象的計算，人造衛(wèi)星軌跡的計算，運動狀態(tài)的分析等等，都要用得到，微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是舉足輕重的，可以說它是繼歐式幾何后，全部數(shù)學(xué)中最大的一個創(chuàng)造。微積分學(xué)的應(yīng)用幫助社會學(xué)、心理學(xué)、商學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等許多領(lǐng)域取得巨大的進(jìn)步,這其中最重要的事情就是微元分析法幫助我們建立了各種紛繁復(fù)雜的實際問題的數(shù)學(xué)模型。微元法是伴隨著微

7、積分的產(chǎn)生而產(chǎn)生的，隨著對微積分研究的不斷深入，微元法在積分學(xué)中的地位越來越重要,微元法的使用使原本復(fù)雜的微積分問題變得容易處理，微元法的應(yīng)用十分廣泛，幾何圖形的體積，表面積，弧長；物理中做功，流體，電場問題都可用微元法處理。1.2微元法理論簡介1.2.1預(yù)備知識-定積分的定義應(yīng)用定積分解決實際問題時，通常并不是通過定積分定義中的四步曲“分割，取近似，求和，取極限”得到定積分表達(dá)式的，而是利用步驟更簡單的微元法（又稱元素法）得到定積分表達(dá)式微元法思想是微積分的主要思想，它在處理各類積分的應(yīng)用問題中是一脈相通的，也是學(xué)好各類積分的理論依據(jù)，微元法理論是通過定積分的定義演化而來的要想深刻理解微元法

8、需要先了解定積分的定義設(shè)函數(shù)()fx在,ab上有界，若,ab對任意分法012.naxxxxb，令山東輕工業(yè)學(xué)院2011屆本科生畢業(yè)論文31iiixxx，任取1,iiixx，只要1max0iinx時，1()niiifx趨于確定的值I,則稱此極限值I為函數(shù)()fx在區(qū)間,ab上的定積分,記作()bafxdx，即01()lim()bniiiafxdxfx，此時稱()fx在,ab上可積。計算曲邊梯形面積的具體步驟：1）分割在區(qū)間,ab中任意插入1n個分點，012.naxxxxb，用直線ixx將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形；2）局部近似在第i個窄曲邊梯形上任取1,iiixx，作以1,iixx為底，以()i

9、f為高的窄矩形,并以此窄矩形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積iA，得()iiiAfx1(,1,2.)iiixxxin。3）求和11()nniiiiiAxfxxabyO1xix1ix4）取極限令1maxiinx，則有01lim()niiiAfx1.2.2微元法的引入我們從計算曲邊梯形面積等問題來導(dǎo)出定積分概念時,是通過“分割、近似代替、求和、取極限”這樣四個步驟把所求量（曲邊梯形面積等表示為一個定積分,從而求出其值的因為能用定積分表示和計算的實際問題非常廣泛,所以我們希望簡化上述求值過程的四個步驟,而得出一種簡便、實用、迅速、有效的方法和模式。定積分是分布在區(qū)間上的整體量因為整體是由局部組成的，所

10、以將實際問題山東輕工業(yè)學(xué)院2011屆本科生畢業(yè)論文4抽象為定積分必須從整體著眼，從局部入手具體做法是：首先將區(qū)間上的整體量化成區(qū)間上每一點的微分，亦稱微元，這是“化整為零”其次對區(qū)間上每一點的微分無限累加，連續(xù)作和，這是“積零為整”，從而得到了欲求的定積分這種方法稱為微元法。一般地，若某一實際問題中的所求量U符合下列條件，便可以考慮用定積分來表示這個量U（1）U是與一個變量的變化區(qū)間,ab有關(guān)的量；（2）U對于區(qū)間,ab具有可加性,就是說如果把區(qū)間,ab分成許多部分區(qū)間，U相應(yīng)地分成許多部分量,U而等于所有部分量之和；（3）U在,ab中任一微小區(qū)間xx上的分量()Ufxx，誤差是x的高階無窮小

11、，即當(dāng)0 x時，()Ufxx。那么就可以考慮通過微元法用定積分來表示這個量。1.2.3微元法的實質(zhì)及解題步驟微元法實質(zhì)是把求累加量問題轉(zhuǎn)化為定積分計算的簡化,它省卻了分微段、近似求和等過程,直接由微元累積導(dǎo)出積分。微元法是指通過從分析事物的極小部分入手,達(dá)到使事物的整體問題得以解決的一種方法.運用微元法,在一定的條件下可以把變化的、運動的、物理規(guī)律不適用的整體對象或整體過程轉(zhuǎn)化為不變的、靜止的、物理規(guī)律適用的元對象或元過程,即變?yōu)槔硐氲膶ο蠡蜻^程.微元法可以是把研究物體取微元部分進(jìn)行分析,也可以是把研究過程取微元階段進(jìn)行分析.微元法的基本數(shù)學(xué)工具是有關(guān)近似、極限、數(shù)列知識以及幾何、三角中的知識

12、。一般情況下，應(yīng)用問題的變化是非均勻的，但在局部變化的一瞬間，改變量可近似地看成是均勻變化的，這一瞬間的改變量往往正是dU。但注意，用()dUfxdx近似代替U時，要求誤差是x的高階無窮，即()0()Ufxxx成立。對某些特殊問題，憑借直觀圖形得出的dU有時是錯誤的，所以使用微元法應(yīng)注意。用微元法求定積分表達(dá)式的具體步驟是：微元法示意圖山東輕工業(yè)學(xué)院2011屆本科生畢業(yè)論文5（1）根據(jù)問題，選取一個變量如x為積分變量，并確定它的變化區(qū)間,ab；（2）設(shè)想把區(qū)間,ab分成n個小區(qū)間，取其中任一個小區(qū)間記,xxx，求出相應(yīng)的部分量U的近似值：Ufxx，稱fxx為量U的元素或微元，記為dufxx；（

13、3）以U的元素dU為被積表達(dá)式，在區(qū)間,ab上作定積分，則得baUfxx第二章微元法的應(yīng)用2.1微元法在幾何中的應(yīng)用2.1.1微元法證明一類積分學(xué)公式1）平面曲線弧長計算公式定理1設(shè)平面曲線:L()xxt，()yyt()t,為光滑曲線(即()xt與()yt在,上連續(xù)且22()()0 xtyt,則曲線L的弧長為22()()sxtytdt證明取參數(shù)t為積分變量,它的變化區(qū)間為,相應(yīng)于,上任一小區(qū)間的小弧段,ttt，22()()sxy()()()xxtdtxtxtdt()()()yytdtytytdt22()()sxtytt22()()dsxtytdt即22()()sxtytdt2）旋轉(zhuǎn)曲面面積計算

14、公式定理2設(shè)平面光滑曲線L的方程為()yfx,xab(0()fx,則由曲線L繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面面積為山東輕工業(yè)學(xué)院2011屆本科生畢業(yè)論文622()1()basfxfxdx證明在點,xxx分別作垂直于x軸的平面,它們在旋轉(zhuǎn)曲面上截下一條狹帶。當(dāng)x很小時,此狹帶的面積近似于一圓臺的側(cè)面積,即22()()()()sfxfxxxy22()1()xfxyxy其中()()yfxxfx由于0lim0 xy220lim1()1()xxfxy因此由()fx的連續(xù)性有222()1()2()1()xfxyxfxfxy其中()xx故22()1()dsfxfx則22()1()basfxfxdx3）曲面面積計算公式

15、定理3設(shè)D為可求面積的平面有界區(qū)域,函數(shù)(,)fxy在D上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則由方程(,)zfxy，(,)xyD所確定的曲面S的面積221(,)(,)xyDSfxyfxydxdy證明在區(qū)域D內(nèi)任取一點并在區(qū)域D內(nèi)取一包含點(,)Pxy的小閉區(qū)域d其面積也記為d在曲面S上點(,(,)Mxyfxy處作曲面S的切平面T,再作以小區(qū)域d的邊界曲線為準(zhǔn)線、母線平行于z軸的柱面。將含于柱面內(nèi)的小塊切平面的面積作為含于柱面內(nèi)的小塊曲面面積的近似值,記為ds。又設(shè)切平面T的法向量與z軸所成的角為,則221(,)(,)cosxyddsfxyfxyd這就是曲面S的面積微元。于是曲面的面積為221(,)(,)xyDSfxyfxydxdy