2019年高考數(shù)學三輪沖刺 專題01 集合、常用邏輯用語專項講解與訓練

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1、第1講　集合、常用邏輯用語 集合的概念及運算 　 集合的運算性質(zhì)及重要結(jié)論 (1)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A； (2)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A； (3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U； (4)A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A. (1)設(shè)集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{1，2，3，4}，則(A∪B)∩C＝(　　) A．{2}　　　　　　　　 B．{1，2，4} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，6} 【答案】B 【解析】由題意知A∪B＝{1，2，4，6}，所以(A∪B)∩C＝{1，2，4}，故選B

2、. (2)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，則(　　) A．A∩B＝ B．A∩B＝? C．A∪B＝ D．A∪B＝R 【答案】A 【解析】因為A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}＝，所以A∩B＝，A∪B＝{x|x<2}．故選A. (3)已知集合A＝{x|x2－11x－12＜0}，B＝{x|x＝2(3n＋1)，n∈Z}，則A∩B等于(　　) A．{2} B．{2，8} C．{4，10} D．{2，8，10} 【答案】B 集合運算中的常用方法 (1)若已知的集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解； (2)若已知的集合是點集，用數(shù)形結(jié)合法求

3、解； (3)若已知的集合是抽象集合，用Venn圖求解．　 【對點訓練】 1．設(shè)集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，則B＝(　　) A．{1，－3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5} 【答案】C 【解析】因為A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程為x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}，故選C. 2．(2019·洛陽模擬)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|－2≤x≤2}，則如圖所示陰影部分所表示的集合為(　　)

4、A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤2或x≥4} C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2} 【答案】D 【解析】依題意得A＝{x|x＜－1或x＞4}，因此?RA＝{x|－1≤x≤4}，題圖中的陰影部分所表示的集合為(?RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}，選D. 3．(2019·武昌調(diào)研)設(shè)A，B是兩個非空集合，定義集合A－B＝{x|x∈A，且x?B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10＜0}，則A－B＝(　　) A．{0，1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{0，1，2，5} 【答案】D 【解析】選D.A＝{0，1，2，3

5、，4，5}，B＝{x|2＜x＜5}，所以A－B＝{0，1，2，5}． 命題的真假判斷與否定 1．四種命題的關(guān)系 (1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性． (2)兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系． 2．全(特)稱命題及其否定 (1)全稱命題p：?x∈M，p(x)．它的否定﹁p：?x0∈M，﹁p(x0)． (2)特稱命題p：?x0∈M，p(x0)．它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)． 3．復(fù)合命題的真假判斷 命題p∨q，只要p，q有一真，即為真；命題p∧q，只有p，q均為真，才為真；﹁p和p為真假對立的命題． (1)(2019·鄭州質(zhì)量檢測(

6、一))命題“?x0∈R，x－x0－1＞0”的否定是(　　) A．?x∈R，x2－x－1≤0　 B．?x∈R，x2－x－1＞0 C．?x0∈R，x－x0－1≤0 D．?x0∈R，x－x0－1≥0 【答案】A 【解析】依題意得，命題“?x0∈R，x－x0－1＞0”的否定是“?x∈R，x2－x－1≤0”，選A. (2)已知命題p：?x∈R，x2－x＋1≥0；命題q：若a2

7、＝x2－x＋1，其圖象開口向上，所以x2－x＋1>0恒成立，所以p為真命題．對于命題q，取a＝2，b＝－3，22<(－3)2，而2>－3，所以q為假命題，﹁q為真命題．因此p∧﹁q為真命題．選B. (3)能夠說明“設(shè)a，b，c是任意實數(shù)．若a>b>c，則a＋b>c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為________． 【答案】－1，－2，－3 (1)命題真假的判定方法 ①一般命題p的真假由涉及的相關(guān)知識辨別． ②四種命題真假的判斷：一個命題和它的逆否命題同真假，而與它的其他兩個命題的真假無此規(guī)律． ③形如p∨q，p∧q，﹁p命題的真假根據(jù)p，q的真假與聯(lián)結(jié)詞的含義判定．

8、 (2)全稱命題與特稱命題真假的判定 ①全稱命題：要判定一個全稱命題是真命題，必須對限定集合M中的每一個元素x驗證p(x)成立，要判定其為假命題時，只需舉出一個反例即可． ②特稱命題：要判定一個特稱命題為真命題，只要在限定集合M中至少能找到一個元素x0，使得p(x0)成立即可；否則，這一特稱命題就是假命題． (3)(易錯提醒)“否命題”是對原命題“若p，則q”既否定其條件，又否定其結(jié)論；而“命題p的否定”即：非p，只是否定命題p的結(jié)論．　 【對點訓練】 1．(2019·長沙模擬)已知函數(shù)f(x)＝x，則(　　) A．?x0∈R，f(x0)＜0 B．?x∈(0，＋∞)，f(x)

9、≥0 C．?x1，x2∈[0，＋∞)，＜0 D．?x1∈[0，＋∞)，?x2∈[0，＋∞)，f(x1)＞f(x2) 【答案】.B 【解析】冪函數(shù)f(x)＝x的值域為[0，＋∞)，且在定義域上單調(diào)遞增，故A錯誤，B正確，C錯誤，D選項中當x1＝0時，結(jié)論不成立，選B. 2．(2019·山西重點中學五月聯(lián)考)已知命題p：對任意x∈(0，＋∞)，log2x＜log4x，命題q：存在x∈R，使得tan x＝1－x，則下列命題為真命題的是(　　) A．p∧q　　　　　　 B．(﹁p)∧(﹁q) C．p∧(﹁q) D．(﹁p)∧q 【答案】D. 【解析】易知命題p是假命題，命題q是真命

10、題，故﹁p是真命題，因此(﹁p)∧q是真命題，故選D. 充要條件的判斷 充分條件與必要條件的三種判定方法 (1)定義法：正、反方向推理，若p?q，則p是q的充分條件(或q是p的必要條件)；若p?q，且q?p，則p是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件)． (2)集合法：利用集合間的包含關(guān)系．例如，若A?B，則A是B的充分條件(B是A的必要條件)；若A＝B，則A是B的充要條件． (3)等價法：將命題等價轉(zhuǎn)化為另一個便于判斷真假的命題． (1)設(shè)x∈R，則“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件

11、 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】由2－x≥0，得x≤2；由|x－1|≤1，得0≤x≤2，因為0≤x≤2?x≤2，x≤20≤x≤2，故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分條件，故選B. (2)設(shè)m, n為非零向量，則“存在負數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A 判斷充分、必要條件時應(yīng)關(guān)注的三點 (1)要弄清先后順序：“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，且B不能推出A.

12、 (2)要善于舉出反例：當從正面判斷或證明一個命題的正確或錯誤不易進行時，可以通過舉出恰當?shù)姆蠢齺碚f明． 法二：因為1?A，所以1?A∩B，故排除D；因為1.1?B，所以1.1?A∩B，故排除B；因為2∈A，2∈B，所以2∈A∩B，故排除A.故選C. 9．(2019·長沙模擬)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠?，則a的值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．1或2 【答案】B. 【解析】當a＝1時，B中元素均為無理數(shù)，A∩B＝?；當a＝2時，B＝{1，2}，A∩B＝{1，2}≠?；當a＝3時，B＝?，則A∩B＝?.故a的值為2.

13、選B. 10．(2019·山西八校聯(lián)考)已知命題p：存在n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是冪函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；命題q：“?x∈R，x2＋2＞3x”的否定是“?x∈R，x2＋2＜3x”．則下列命題為真命題的是(　　) A．p∧q B．﹁p∧q C．p∧﹁q D．﹁p∧﹁q 【答案】C. 【解析】當n＝1時，f(x)＝x3為冪函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故p是真命題，則﹁p是假命題；“?x∈R，x2＋2＞3x”的否定是“?x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命題，﹁q是真命題．所以p∧q，﹁p∧q，﹁p∧﹁q均為假命題，p∧﹁q為真命題，選C. 11．(2

14、019·蘭州模擬)下列命題中，真命題為(　　) A．?x0∈R，ex0≤0 B．?x∈R，2x＞x2 C．已知a，b為實數(shù)，則a＋b＝0的充要條件是＝－1 D．已知a，b為實數(shù)，則a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要條件 【答案】D. 12．(2019·鄭州質(zhì)量預(yù)測(二))下列命題是真命題的是(　　) A．?φ∈R，函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函數(shù) B．?α，β∈R，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β C．向量a＝(2，1)，b＝(－1，0)，則a在b的方向上的投影為2 D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分也不必要條件 【答案】B. 【解析】選項

15、A，當φ＝時，f(x)＝cos 2x，其為偶函數(shù)，故A為假命題；選項B，令α＝，β＝－，則cos(α＋β)＝cos(－)＝，cos α＋cos β＝＋0＝，cos(α＋β)＝cos α＋cos β成立，故B為真命題；選項C，設(shè)a與b的夾角為θ，則a在b的方向上的投影為＝＝－2，故C為假命題；選項D，|x|≤1，－1≤x≤1，故充分性成立，若x≤1，|x|≤1不一定成立，故為充分不必要條件，D為假命題． 13．(2017·高考江蘇卷)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，則實數(shù)a的值為________． 【答案】：1 【解析】：因為B＝{a，a2＋3}，A∩B＝{

16、1}， 所以a＝1或a2＋3＝1， 因為a∈R， 所以a＝1.經(jīng)檢驗，滿足題意． 14．若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，則A∩B＝________． 【答案】：{x|0≤x≤1} 【解析】：依題意得A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}， 所以A∩B＝{x|0≤x≤1}． 15．(2019·太原模擬(二))若命題“?x∈(0，＋∞)，x＋≥m”是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是________． 【答案】：(2，＋∞) 【解析】：當x＞0時，x＋≥2(當且僅當x＝1時等號成立)．若命題“?x∈(0，＋∞)，x＋≥m”為假命題，則m＞2. 16．設(shè)A＝{x|(x－3)(x＋a2)＜0}，B＝{x|x2－5x＋4＜0}．定義集合M＝{x|m＜x＜n}(m＜n)的長度為dim M＝n－m.則dim(A∩B)＝________． 【答案】：2 【解析】A＝{x|(x－3)(x＋a2)＜0}＝{x|－a2＜x＜3}， B＝{x|x2－5x＋4＜0}＝{x|1＜x＜4}． 所以A∩B＝{x|1＜x＜3}，所以dim(A∩B)＝2. 8