2019年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題02 函數(shù)的圖像和性質(zhì)專項(xiàng)講解與訓(xùn)練
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1、第2講 函數(shù)圖象與性質(zhì) 函數(shù)及其表示 求函數(shù)值時(shí)的三個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)求形如f(g(x))的函數(shù)值時(shí),應(yīng)遵循先內(nèi)后外的原則. (2)對(duì)于分段函數(shù)的求值(解不等式)問題,必須依據(jù)條件準(zhǔn)確地找出利用哪一段求解. (3)對(duì)于利用函數(shù)性質(zhì)的求值問題,必須依據(jù)條件找到函數(shù)滿足的性質(zhì),利用該性質(zhì)求解. (1)設(shè)f(x)=若f(a)=f(a+1),則f=( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】C (2)設(shè)函數(shù)f(x)=則滿足f(x)+f>1的x的取值范圍是__________. 【答案】(-,+∞) 【解析】當(dāng)x≤0時(shí),由f(x)+f(x-)=(
2、x+1)+(x-+1)=2x+>1,得-
3、 (1)函數(shù)y=的部分圖象大致為( ) 【答案】C (2)某地一年的氣溫Q(t)(單位:℃)與時(shí)間t(月份)之間的關(guān)系如圖所示.已知該年的平均氣溫為10 ℃,令C(t)表示時(shí)間段[0,t]的平均氣溫,下列四個(gè)函數(shù)圖象中,最能表示C(t)與t之間的函數(shù)關(guān)系的是( ) 【答案】A 【解析】 若增加的數(shù)大于當(dāng)前的平均數(shù),則平均數(shù)增大;若增加的數(shù)小于當(dāng)前的平均數(shù),則平均數(shù)減?。?yàn)?2個(gè)月的平均氣溫為10 ℃,所以當(dāng)t=12時(shí),平均氣溫應(yīng)該為10 ℃,故排除B;因?yàn)樵诳拷?2月份時(shí)其溫度小于10 ℃,因此12月份前的一小段時(shí)間內(nèi)的平均氣溫應(yīng)該大于10 ℃,排除C;6月份以后增
4、加的溫度先大于平均值后小于平均值,故平均氣溫不可能出現(xiàn)先減小后增加的情況,故排除D,故選A. 考向2 用 圖 函數(shù)圖象的應(yīng)用 (1)判定函數(shù)的性質(zhì). (2)判定方程根的個(gè)數(shù)及不等式的解. (2019·東北四市模擬)對(duì)?x∈(0,),8x≤logax+1恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) A.(0,) B.(0,] C.[,1) D.[,1) 【答案】 C 【解析】 令f(x)=8x,g(x)=logax+1,由x∈(0,)時(shí)f(x)≤g(x)恒成立,知x∈(0,)時(shí),f(x)的圖象一定在g(x)的圖象的下方,則0<a<1,作圖如下: 由圖可知:,解得
5、≤a<1. (1)由函數(shù)解析式識(shí)別函數(shù)圖象的步驟 (2)利用函數(shù)圖象解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意,正確畫出函數(shù)的圖象.作函數(shù)圖象有兩種基本方法:一是描點(diǎn)法,二是圖象變換法,其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換. 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 1.(2019·武昌調(diào)研) 已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式可以是( ) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)=- D.f(x)= 【答案】D. 【解析】A中,當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)→-∞,與題圖不符,故不成立;B為偶函數(shù),與題圖不符,故不成立;C中,當(dāng)x由+∞→0時(shí),f(x)<0,與題圖不符,故不
6、成立.選D. 2.(2019.泰安模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,對(duì)于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 【答案】:[-1,+∞) 【解析】:如圖,要使f(x)≥g(x)恒成立,則-a≤1, 所以a≥-1. 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 1.與函數(shù)周期性有關(guān)的5條結(jié)論 (1)若f(x+T)=f(x),則T是f(x)的一個(gè)周期; (2)若f(x+T)=,則2T是f(x)的一個(gè)周期; (3)若f(x+T)=-,則2T是f(x)的一個(gè)周期; (4)若對(duì)于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x),且f(2b-x)
7、=f(x)(其中a<b),則y=f(x)是以2(b-a)為周期的周期函數(shù). (5)若對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都有f(x+a)=f(x+b)(a≠b),則函數(shù)f(x)是周期函數(shù),其中一個(gè)周期為T=2|a-b|. 2.與函數(shù)對(duì)稱性有關(guān)的3條結(jié)論 (1)函數(shù)y=f(x)關(guān)于x=對(duì)稱?f(a+x)=f(b-x)?f(x)=f(b+a-x); 特例:函數(shù)y=f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱?f(a+x)=f(a-x)?f(x)=f(2a-x); 函數(shù)y=f(x)關(guān)于x=0對(duì)稱?f(x)=f(-x)(即為偶函數(shù)). (2)函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱?f(a+x)+f(a-x)=2b?f(2a+x
8、)+f(-x)=2b; 特例:函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱?f(a+x)+f(a-x)=0?f(2a+x)+f(-x)=0; 函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱?f(x)+f(-x)=0(即為奇函數(shù)); (3)y=f(x+a)是偶函數(shù)?函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱; y=f(x+a)是奇函數(shù)?函數(shù)y=f(x)關(guān)于(a,0)對(duì)稱. (1)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若f(1)=-1,則滿足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范圍是( ) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3] 【答案】D 【解析】因
9、為函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減,且f(1)=-1,所以f(-1)=-f(1)=1,由-1≤f(x-2)≤1,得-1≤x-2≤1,所以1≤x≤3,故選D. (2)(2017·高考山東卷)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+4)=f(x-2).若當(dāng)x∈[-3,0]時(shí),f(x)=6-x,則f(919)=________. 【答案】6 【解析】因?yàn)閒(x+4)=f(x-2),所以f(x)的周期為6,因?yàn)?19=153×6+1, 所以f(919)=f(1).又f(x)為偶函數(shù),所以f(919)=f(1)=f(-1)=6. (1)判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法 數(shù)形結(jié)合法、結(jié)論
10、法(增+增得增、減+減得減及復(fù)合函數(shù)的同增異減)、定義法和導(dǎo)數(shù)法. (2)判斷函數(shù)是奇(偶)函數(shù)的關(guān)注點(diǎn) 必須對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x,均有f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x)),而不能說存在x0,使f(-x0)=-f(x0)(f(-x0)=f(x0)). (3)函數(shù)三個(gè)性質(zhì)的應(yīng)用 ①奇偶性:具有奇偶性的函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上其圖象、函數(shù)值、解析式和單調(diào)性聯(lián)系密切,研究問題時(shí)可轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半)區(qū)間上.尤其注意偶函數(shù)f(x)的性質(zhì):f(|x|)=f(x). ②單調(diào)性:可以比較大小,求函數(shù)最值,解不等式,證明方程根的唯一性. ③周期性:利用周期性可以轉(zhuǎn)化函數(shù)的解析式、圖
11、象和性質(zhì),把不在已知區(qū)間上的問題,轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解. 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 1.(2019·成都第一次檢測)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+3)=f(x),且當(dāng)x∈[0,)時(shí),f(x)=-x3,則f()=( ) A.- B. C.- D. 【答案】B. 【解析】由f(x+3)=f(x)知函數(shù)f(x)的周期為3,又函數(shù)f(x)為奇函數(shù),所以f()=f(-)=-f()=()3=. 2.(2018·成都第二次檢測)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x∈[-2,2]時(shí),f(x)單調(diào)遞減,且函數(shù)f(x+2)為偶函數(shù).則下列結(jié)論正確的是( ) A.f(π)<f(3)<f()
12、 B.f(π)<f()<f(3) C.f()<f(3)<f(π) D.f()<f(π)<f(3) 【答案】C. 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x+2)為偶函數(shù),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,又當(dāng)x∈[-2,2]時(shí),f(x)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x∈[2,6]時(shí),f(x)單調(diào)遞增,f()=f(4-),因?yàn)?<4-<3<π,所以f()<f(3)<f(π). 課時(shí)作業(yè) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是( ) A.y= B.y=|x|-1 C.y=lg x D.y= 【答案】B. 【解析】A中函數(shù)y=不是偶函數(shù)且在(0,
13、+∞)上單調(diào)遞減,故A錯(cuò)誤;B中函數(shù)滿足題意,故B正確;C中函數(shù)不是偶函數(shù),故C錯(cuò)誤;D中函數(shù)不滿足在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故選B. 2.(2019·廣州市綜合測試(一))已知函數(shù)f(x)=,則f(f(3))=( ) A. B. C.- D.-3 【答案】A. 【解析】因?yàn)閒(3)=1-log23=log2<0,所以f(f(3))=f(log2)=2log2+1=2log2=,故選A. 3.已知函數(shù)f(x)=且f(a)=-2,則f(7-a)=( ) A.-log37 B.- C.- D.- 【答案】D. 【解析】當(dāng)a≤0時(shí),2a-2=-2無解;當(dāng)a>0時(shí),由-
14、log3a=-2,解得a=9,所以f(7-a)=f(-2)=2-2-2=-,故選D. 4.(2019·山西八校聯(lián)考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且滿足f(x+4)=f(x),當(dāng)x∈[-2,0]時(shí),f(x)=-2x,則f(1)+f(4)等于( ) A. B.- C.-1 D.1 【答案】B. 【解析】由f(x+4)=f(x)知f(x)是周期為4的周期函數(shù),又f(x)是定義在R上的偶函數(shù),故f(4)=f(0)=-1,f(1)=f(-1),又-1∈[-2,0],所以f(-1)=-2-1=-,所以f(1)=-,f(1)+f(4)=-,選B. 5.(2019·陜西質(zhì)量檢測(一))
15、奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若f(x+2)為偶函數(shù),則f(8)=( ) A.-1 B.0 C.1 D.-2 【答案】B. 6.已知函數(shù)f(x)=則下列結(jié)論正確的是( ) A.f(x)是偶函數(shù) B.f(x)是增函數(shù) C.f(x)是周期函數(shù) D.f(x)的值域是[-1,+∞) 【答案】D. 【解析】由f(-x)≠f(x)知f(x)不是偶函數(shù),當(dāng)x≤0時(shí),f(x)不是增函數(shù),顯然f(x)也不是周期函數(shù).故選D. 7.(2019·長沙模擬)函數(shù)y=ln|x|-x2的圖象大致為( ) 【答案】A. 【解析】令f(x)=ln|x|-x2,定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,
16、+∞)且f(-x)=ln |x|-x2=f(x),故函數(shù)y=ln|x|-x2為偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,排除B,D;當(dāng)x>0時(shí),y=ln x-x2,則y′=-2x,當(dāng)x∈(0,)時(shí),y′=-2x>0,y=ln x-x2單調(diào)遞增,排除C.選A. 4.(2019·云南第一次統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)=,若f(x-1)<f(2x+1),則x的取值范圍為________. 【答案】:(-∞,-2)∪(0,+∞) 【解析】:若x>0,則-x<0,f(-x)=ln(+x)=ln(+x)=f(x),同理可得,當(dāng)x<0時(shí),f(-x)=f(x),且x=0時(shí),f(0)=f(0),所以f(x)是偶函數(shù).因?yàn)楫?dāng)
17、x>0時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,所以不等式f(x-1)<f(2x+1)等價(jià)于|x-1|<|2x+1|,整理得x(x+2)>0,解得x>0或x<-2. 5.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a>0),F(xiàn)(x)=若f(-1)=0,且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f(x)≥0成立. (1)求F(x)的表達(dá)式; (2)當(dāng)x∈[-2,2]時(shí),g(x)=f(x)-kx是單調(diào)函數(shù),求k的取值范圍. 【解析】:(1)因?yàn)閒(-1)=0, 所以a-b+1=0, 所以b=a+1, 所以f(x)=ax2+(a+1)x+1. 因?yàn)閒(x)≥0恒成立, 所以 即 所以a=1,從而b=2, 所以f(x)=
18、x2+2x+1, 所以F(x)= (2)由(1)知,g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1. 因?yàn)間(x)在[-2,2]上是單調(diào)函數(shù), 所以≤-2或≥2,解得k≤-2或k≥6. 所以k的取值范圍是(-∞,-2]∪[6,+∞). 6.已知函數(shù)g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在區(qū)間[2,3]上有最大值4和最小值1.設(shè)f(x)=. (1)求a,b的值; (2)若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 【解析】:(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a,因?yàn)閍>0, 所以g(x)在區(qū)間[2,3]上是增函數(shù), 故 即解得 (2)f(x)=x+-2,所以f(2x)-k·2x≥0可化為2x+-2≥k·2x,即1+-2·≥k,令t=, 則k≤t2-2t+1, 因?yàn)閤∈[-1,1], 所以t∈, 記h(t)=t2-2t+1, 則h(t)max=h(2)=1, 所以k≤1. 故k的取值范圍是(-∞,1]. 11
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