2019年高考數(shù)學三輪沖刺 專題04 不等式專項講解與訓練

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1、第4講 不等式 函數(shù)與不等式 考向1 不等式的解法 1.一元二次不等式的解法 先化為一般形式ax2+bx+c>0(a≠0),再求相應一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根據(jù)相應二次函數(shù)圖象與x軸的位置關系,確定一元二次不等式的解集. 2.簡單分式不等式的解法 (1)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0); (2)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 2.利用基本不等式求最大值、最小值的基本法則 (1)如果x>0,y>0,xy=p(定值),當x=y(tǒng)時,x+y有最小值2(簡記為:積定,和有最小值). (2)如果x>0,y>0,x

2、+y=s(定值),當x=y(tǒng)時,xy有最大值s2(簡記為:和定,積有最大值). (1)若直線+=1(a>0,b>0)過點(1,2),則2a+b的最小值為________. (2)若a,b∈R,ab>0,則的最小值為________. 【答案】 (1)8 (2)4 【解析】 (1)因為直線+=1(a>0,b>0)過點(1,2),所以+=1,因為a>0,b>0,所以2a+b=(2a+b)=4++≥4+2=8,當且僅當=,即a=2,b=4時等號成立,所以2a+b的最小值為8. (2)=++,由基本不等式得,++≥2+=4ab+≥4,當且僅當=,4ab=同時成立時等號成立. 利用基本

3、不等式求最值應關注的三點 (1)利用基本不等式必須注意“一正二定三相等”的原則. (2)基本不等式在解題時一般不能直接應用,而是需要根據(jù)已知條件和基本不等式的“需求”尋找“結(jié)合點”,即把研究對象化成適用基本不等式的形式.常見的轉(zhuǎn)化方法有: ①x+=x-a++a(x>a). ②若+=1,則mx+ny=(mx+ny)·1 =(mx+ny)·≥ma+nb+2(字母均為正數(shù)). (3)若兩次連用基本不等式,要注意等號的取得條件的一致性,否則會出錯.  【對點訓練】 1.設x>0,則函數(shù)y=x+-的最小值為(  ) A.0         B. C.1 D. 【答案】A 【

4、解析】:選A.y=x+-=+-2≥2-2=0. 當且僅當x+=,即x=時等號成立. 所以函數(shù)的最小值為0.故選A. 2.已知a>0,b>0,若不等式--≤0恒成立,則m的最大值為(  ) A.4 B.16 C.9 D.3 【答案】B 【解析】:選B.因為a>0,b>0,所以由--≤0恒成立得m≤(3a+b)=10++恒成立.因為+≥2=6,當且僅當a=b時等號成立,故10++≥16,所以m≤16,即m的最大值為16.故選B. 線性規(guī)劃   1.解決線性規(guī)劃問題的一般步驟 (1)作圖——畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標函數(shù)所表示的平面直線系中的任意一條直線l.

5、(2)平移——將l平行移動,以確定最優(yōu)解所對應的點的位置.有時需要對目標函數(shù)l和可行域邊界的斜率的大小進行比較. (3)求值——解有關方程組求出最優(yōu)解的坐標,再代入目標函數(shù),求出目標函數(shù)的最值. 2.目標函數(shù)的三種類型 (1)直線型:z=ax+by+c. (2)斜率型:z=. (3)距離型:z=(x-x0)2+(y-y0)2. (1)(2017·高考全國卷Ⅰ)設x,y滿足約束條件則z=x+y的最大值為(  ) A.0          B.1 C.2 D.3 (2)(2018·成都第一次檢測)若實數(shù)x,y滿足約束條件,則的最小值為________. (3)(2019·太

6、原模擬)已知實數(shù)x,y滿足條件,則z=x2+y2的取值范圍為________. 【答案】 (1)D (2)- (3)[,13] 【解析】 (1)不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,平移直線y=-x,當直線經(jīng)過點A(3,0)時,z=x+y取得最大值,此時zmax=3+0=3.故選D. (2) 作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示,因為表示平面區(qū)域內(nèi)的點與定點P(0,1)連線的斜率.由圖知,點P與點A(1,-)連線的斜率最小, 所以()min=kPA==-. (3)不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,由此得z=x2+y2的最小值為點O到直線BC:2x-y

7、+2=0的距離的平方,zmin=,最大值為點O與點A(-2,3)的距離的平方,zmax=|OA|2=13. 解決線性規(guī)劃問題應關注的三點 (1)首先要找到可行域,再注意目標函數(shù)所表示的幾何意義,找到目標函數(shù)達到最值時可行域的頂點(或邊界上的點),但要注意作圖一定要準確,整點問題要驗證解決. (2)畫可行域時應注意區(qū)域是否包含邊界. (3)對目標函數(shù)z=Ax+By中B的符號,一定要注意B的正負與z的最值的對應,要結(jié)合圖形分析.  【對點訓練】 1.設x,y滿足約束條件,則z=x-y的取值范圍是(  ) A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3

8、] 【答案】B. 【解析】不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,作出直線l0:y=x,平移直線l0,當直線z=x-y過點A(2,0)時,z取得最大值2,當直線z=x-y過點B(0,3)時,z取得最小值-3,所以z=x-y的取值范圍是[-3,2],故選B. 2.(2018·惠州第三次調(diào)研)已知實數(shù)x,y滿足:,若z=x+2y的最小值為-4,則實數(shù)a=(  ) A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】B. 【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示,當直線z=x+2y經(jīng)過點C(-a,)時,z取得最小值-4,所以-a+2·=-4,解得a=2,選B. 3.某

9、高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5個工時;生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3個工時.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg,乙材料90 kg,則在不超過600個工時的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為__________元. 【答案】:216 000 課時作業(yè) [基礎達標] 1.已知關于x的不等式(ax-1)(x+1)<0的解集是(-∞,-1)∪,則a=(  ) A.2          B.-2 C.-

10、 D. 【答案】B. 【解析】根據(jù)不等式與對應方程的關系知-1,-是一元二次方程ax2+x(a-1)-1=0的兩個根,所以-1×=-,所以a=-2,故選B. 2.對于任意實數(shù)a,b,c,d,有以下四個命題: ①若ac2>bc2,且c≠0,則a>b; ②若a>b,c>d,則a+c>b+d; ③若a>b,c>d,則ac>bd; ④若a>b,則>. 其中正確的有(  ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 【答案】B 【解析】:選B.①ac2>bc2,且c≠0,則a>b,①正確;②由不等式的同向可加性可知②正確;③需滿足a,b,c,d均為正數(shù)才成立;④錯誤,比如:令a

11、=-1,b=-2,滿足-1>-2,但<.故選B. 3.設x、y滿足約束條件則z=2x+y的最小值是(  ) A.-15 B.-9 C.1 D.9 【答案】A 【解析】法一:作出不等式組對應的可行域,如圖中陰影部分所示.易求得可行域的頂點A(0,1),B(-6,-3),C(6,-3),當直線z=2x+y過點B(-6,-3)時,z取得最小值,zmin=2×(-6)-3=-15,選擇A. 6.(2017·高考天津卷)電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇,每次播放連續(xù)劇時,需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時,連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示: 連續(xù)劇播放 時長

12、(分鐘) 廣告播放 時長(分鐘) 收視 人次(萬) 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘,廣告的總播放時間不少于30分鐘,且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍.分別用x,y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù). (1)用x,y列出滿足題目條件的數(shù)學關系式,并畫出相應的平面區(qū)域; (2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次,才能使總收視人次最多? 【解析】:(1)由已知,x,y滿足的數(shù)學關系式為 即 該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖1中的陰影部分. 解方程組得點M的坐標為(6,3). 所以,電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時才能使總收視人次最多. 9

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