2019高考數(shù)學大二輪復習 專題8 解析幾何 第2講 綜合大題部分真題押題精練 理

上傳人:Sc****h 文檔編號:116585102 上傳時間:2022-07-05 格式:DOC 頁數(shù):7 大?。?.01MB
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1、第2講 綜合大題部分 1. (2017·高考全國卷Ⅰ)已知橢圓C:+=1(a>b>0),四點P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三點在橢圓C上. (1)求C的方程; (2)設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過定點. 解析:(1)由于P3,P4兩點關于y軸對稱, 故由題設知C經(jīng)過P3,P4兩點. 又由+>+知,C不經(jīng)過點P1, 所以點P2在C上.因此解得 故橢圓C的方程為+y2=1. (2)證明:設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2. 如果l與x軸垂直,設l:x=t,由題設知t≠0,且|

2、t|<2, 可得A,B的坐標分別為,. 則k1+k2=-=-1,得t=2,不符合題設.從而可設l:y=kx+m(m≠1). 將y=kx+m代入+y2=1得 (4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0. 由題設可知Δ=16(4k2-m2+1)>0. 設A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=-,x1x2=. 而k1+k2=+=+ =. 由題設k1+k2=-1, 故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0. 即(2k+1)·+(m-1)·=0. 解得k=-. 當且僅當m>-1時,Δ>0,于是l:y=-x+m, 即y+1=-(x-2), 所以l

3、過定點(2,-1). 2.(2017·高考全國卷Ⅲ)已知拋物線C:y2=2x,過點(2,0)的直線l交C于A,B兩點,圓M是以線段AB為直徑的圓. (1)證明:坐標原點O在圓M上; (2)設圓M過點P(4,-2),求直線l與圓M的方程. 解析:(1)證明:設A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2, 由可得y2-2my-4=0,則y1y2=-4. 又x1=,x2=,故x1x2==4. 因此OA的斜率與OB的斜率之積為·==-1,所以OA⊥OB,故坐標原點O在圓M上. (2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4, 故圓心M的坐標

4、為(m2+2,m),圓M的半徑 r=. 由于圓M過點P(4,-2),因此·=0, 故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0, 即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0. 由(1)可知y1y2=-4,x1x2=4, 所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-. 當m=1時,直線l的方程為x-y-2=0,圓心M的坐標為(3,1),圓M的半徑為, 圓M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10. 當m=-時,直線l的方程為2x+y-4=0,圓心M的坐標為, 圓M的半徑為, 圓M的方程為2+2=. 3.(2017·高考全國卷Ⅱ)設O為坐標

5、原點,動點M在橢圓C:+y2=1上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點P滿足= . (1)求點P的軌跡方程; (2)設點Q在直線x=-3上,且·=1.證明:過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F. 解析:(1)設P(x,y),M(x0,y0),則N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0). 由= 得x0=x,y0=y(tǒng). 因為M(x0,y0)在C上,所以+=1. 因此點P的軌跡方程為x2+y2=2. (2)證明:由題意知F(-1,0).設Q(-3,t),P(m,n),則 =(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn, =(m,n),=(-3-m,t-n).

6、由·=1得-3m-m2+tn-n2=1, 又由(1)知m2+n2=2, 故3+3m-tn=0. 所以·=0,即⊥. 又過點P存在唯一直線垂直于OQ, 所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F. 1. 已知動圓M恒過點(0,1),且與直線y=-1相切. (1)求圓心M的軌跡方程; (2)動直線l過點P(0,-2),且與點M的軌跡交于A,B兩點,點C與點B關于y軸對稱,求證:直線AC恒過定點. 解析:(1)由題意得點M與點(0,1)的距離始終等于點M與直線y=-1的距離,由拋物線定義知圓心M的軌跡為以點(0,1)為焦點,直線y=-1為準線的拋物線,則=1,p=2. ∴圓

7、心M的軌跡方程為x2=4y. (2)證明:由題意知直線l的斜率存在,設直線l:y=kx-2,設A(x1,y1),B(x2,y2),則C(-x2,y2), 由得x2-4kx+8=0, ∴x1+x2=4k,x1x2=8. kAC===,直線AC的方程為y-y1=(x-x1). 即y=y(tǒng)1+(x-x1)=x-+=x+, ∵x1x2=8,∴y=x+=x+2, 則直線AC恒過點(0,2). 2.已知橢圓E:+=1(a>b>0),過點(0,1)且離心率為. (1)求橢圓E的方程; (2)設直線l:y=x+m與橢圓E交于A,C兩點,以AC為對角線作正方形ABCD,記直線l與x軸的交點為N

8、,問B,N兩點間的距離是否為定值?如果是,求出定值;如果不是,請說明理由. 解析:(1)由題意可知,橢圓的焦點在x軸上,橢圓過點(0,1),則b=1. 由橢圓的離心率e== =,解得a=2, 所以橢圓E的標準方程為+y2=1. (2)設A(x1,y1),C(x2,y2),線段AC的中點為M(x0,y0). 由整理得x2+2mx+2m2-2=0. 由Δ=(2m)2-4(2m2-2)=8-4m2>0, 解得-

9、x軸的交點為N(-2m,0), 所以|MN|= = , 所以|BN|2=|BM|2+|MN|2=|AC|2+|MN|2=. 故B,N兩點間的距離為定值. 3. 已知矩形EFCD,|EF|=2,|FC|=,以EF的中點O為原點,建立如圖所示的平面直角坐標系xOy. (1)求以E,F(xiàn)為焦點,且過C,D兩點的橢圓的標準方程; (2)在(1)的條件下,過點F作直線l與橢圓交于不同的兩點A,B,設=λ,點T的坐標為(2,0),若λ∈[-2,-1],求|+|的取值范圍. 解析:(1)由題意得E(-1,0),F(xiàn)(1,0),C(1,), 設所求橢圓的標準方程為+=1(a>b>0), 則2a=

10、|CE|+|CF|=2>2, 所以a=,所以b2=a2-c2=1, 故橢圓的標準方程為+y2=1. (2)易知直線l的斜率不為0,故可設直線l的方程為x=ky+1,設A(x1,y1),B(x2,y2), 由得,(k2+2)y2+2ky-1=0. 由根與系數(shù)的關系,得y1+y2=-, ① y1y2=-, ② 因為=λ,所以=λ且λ<0, 將①的平方除以②,得++2=-, 所以λ++2=-, 由λ∈[-2,-1],得-≤λ+≤-2, 所以-≤λ++2≤0, 即-≤-≤0,解得k2≤, 即0≤k2≤. 因為=(x1-2,y1),=(x2-2,y2), 所以+=(x1+x2-4,y1+y2), 又y1+y2=-,x1+x2-4=k(y1+y2)-2=-. 故|+|2=(x1+x2-4)2+(y1+y2)2 =+ = =16-+. 令t=,因為0≤k2≤, 所以≤≤,即≤t≤, 則|+|2=16-28t+8t2=8(t-)2-, 因為≤t≤, 所以|+|2∈[4,], 所以|+|∈[2,]. 即|+|的取值范圍為[2,]. 7

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