2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六單元 數(shù)列與算法 第36講 數(shù)列的概念及其表示法練習(xí) 理（含解析）新人教A版

第36講 數(shù)列的概念及其表示法 1．?dāng)?shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－7n＋3，則(D) A．S3最小 B．S4最小 C．S7最小 D．S3、S4最小 因為Sn＝n2－7n＋3＝(n－)2－(n∈N*)， 所以n＝3或n＝4時取到最小值． 2．(2018·北京海淀模擬)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，則a1＋a3的值為(C) A．1 B．3 C．5 D．6 由條件，當(dāng)n≥2時，an＝2n－1， 令n＝2，則S2－S1＝3，又S2＝3，所以a1＝0. a3＝2×3－1＝5. 故a1＋a3＝5. 3．(2018·河南洛陽模擬)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式是(C) A．a(chǎn)n＝ B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝ 設(shè){2n－1an}的前n項和為Tn， 因為數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝， 所以Tn＝， 所以2n－1an＝Tn－Tn－1＝－＝(n≥2)， 所以an＝＝(n≥2)， 經(jīng)檢驗，當(dāng)n＝1時也成立，所以an＝ . 4．(2018·哈師大附中模擬)已知{an}是遞增數(shù)列，對于任意的正整數(shù)n，均有an＝n2＋λn，則實數(shù)λ的取值范圍是(B) A．[－2，＋∞) B．(－3，＋∞) C．R D．? 因為{an}是遞增數(shù)列，對于任意的正整數(shù)n均有an＝n2＋λn，所以(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn， 所以λ>－(2n＋1)，所以λ>－3. 5．?dāng)?shù)列1，2，3，4，…的一個通項公式為　an＝n＋　. 每一項都可以分成三部分，整數(shù)部分、分子、分母，注意到整數(shù)部分就等于序號n，分子是序號n的平方，分母是分子加1，所以an＝n＋. 6．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝an＋2n，那么a100＝　9900　. 因為an－an－1＝2(n－1)， 所以an－a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＝n(n－1)， 因為a1＝0，所以an＝n(n－1)． 所以a100＝100×99＝9900. 7．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值為8，求數(shù)列{an}的通項公式． 因為Sn＝－(n－k)2＋k2， 所以當(dāng)n＝k時，Sn的最大值為k2. 所以k2＝8，所以k∈N*，所以k＝4. 所以Sn＝－n2＋4n. 當(dāng)n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝－n2＋4n－[－(n－1)2＋4(n－1)] ＝－(2n－1)＋4＝－n； 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝－＋4＝＝－1. 所以an＝－n(n∈N*)． 8．(2018·山東濟南模擬)已知數(shù)列{an}中，a2＝102，an＋1－an＝4n，則數(shù)列{}中的最小項是(B) A．第6項 B．第7項 C．第8項 D．第9項 由an＋1－an＝4n，得a2－a1＝4，又a2＝102， 所以a1＝98. 當(dāng)n≥2時，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝98＋4×1＋4×2＋…＋4(n－1)＝98＋2n(n－1)， 又n＝1時適合上式，故an＝98＋2n(n－1)，n∈N*. 故＝＋2n－2≥2－2＝26， 當(dāng)且僅當(dāng)＝2n，即n＝7時，等號成立． 9．(2018·石家莊二模)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝(－)n，如果存在正整數(shù)n，使得(m－an)(m－an＋1)<0成立，則實數(shù)m的取值范圍是__(－，)__． 因為Sn＝(－)n，所以a1＝S1＝－， a2＝S2－S1＝＋＝， a2n＝S2n－S2n－1＝(－)2n－(－)2n－1 ＝()2n＋2()2n＝3×()2n>0， a2n＋1＝S2n＋1－S2n＝(－)2n＋1－(－)2n ＝－×()2n－()2n＝－×()2n<0， 所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項為遞增的等比數(shù)列，且各項為負；偶數(shù)項為遞減的等比數(shù)列，且各項為正． 所以a1<a3<…<a2n＋1<m<a2n<…<a4<a2， 如果存在正整數(shù)n，使得(m－an)(m－an＋1)<0成立， 則a1<m<a2，所以－<m<. 即實數(shù)m的取值范圍是(－，)． 10．已知數(shù)列{an}滿足－an＝2，且an>0. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)證明Sn＝a1＋a2＋…＋an<； (3)數(shù)列{an}是否存在最大項？若存在最大項，求出該項和相應(yīng)的項數(shù)；若不存在，說明理由． (1)由－an＝2，得a＋2an－1＝0， 由一元二次方程的求根公式得： an＝＝－±， 因為an>0，所以an＝－. (2)證明：因為an＝－， 所以Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝(－1)＋(－)＋…＋(－) ＝－1. 因為－1－＝－1<0， 所以－1<. 所以Sn＝a1＋a2＋…＋an<. (3)(方法1)因為an＝－>0， 所以＝＝<1， 所以an＋1<an，所以數(shù)列{an}是遞減數(shù)列， 所以數(shù)列{an}有最大項，最大項為第一項a1＝－1. (方法2)由an＝－知數(shù)列{an}各項滿足函數(shù)f(x)＝－， 因為f′(x)＝－， x>0時，<，所以x>0時，f′(x)<0， 即函數(shù)f(x)＝－在(0，＋∞)上為減函數(shù)， 由此得到an＝－為遞減數(shù)列， 所以數(shù)列{an}有最大項，最大項為第一項a1＝－1. 5