2020屆高考數(shù)學一輪總復習 第六單元 數(shù)列與算法 第39講 由遞推公式求通項練習 理（含解析）新人教A版

第39講　由遞推公式求通項 1．在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，則其通項公式為an＝(A) A．2n－1 B．2n－1＋1 C．2n－1 D．2(n－1) 由題意知an＋1＋1＝2(an＋1)， 所以數(shù)列{an＋1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列， 所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1. 2．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝an－3，則這個數(shù)列的通項公式為(D) A．a(chǎn)n＝2(n2＋n＋1) B．a(chǎn)n＝3·2n C．a(chǎn)n＝3n＋1 D．a(chǎn)n＝2·3n (方法１)當n＝1時，a1＝a1－3，所以a1＝6，排除C. 當n＝2時，a1＋a2＝a2－3，得a2＝18，排除A、B. (方法２)當n＝1時，a1＝6. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝an－3－(an－1－3)， 故an＝3an－1，所以{an}是首項為6，公比為3的等比數(shù)列． 所以an＝2·3n. 3．(2018·四川模擬)已知數(shù)列{an} 滿足a1 ＝ 0，an＋1 ＝ (n ∈N* )，則a56等于(A) A．－ B．0 C. D. 因為a1＝0，an＋1 ＝ ， 所以a2＝－，a3＝，a4＝0，…. 從而3為最小正周期，從而a56＝a3×18＋2＝a2＝－. 4．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，則a8－a4＝(D) A．7 B．6 C．5 D．4 依題意得：(an＋1＋an)－(an＋an－1)＝(2n－3)－[2(n－1)－3]＝2，所以an＋2－an＝2， 所以a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4. 5．已知在數(shù)列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋，則{an}的通項公式為　an＝　. 因為an＋1－an＝＝(－)， 令n＝1,2,3，…，n－1代入上式，累加得： an－a1＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]． 即an－a1＝(1－)，所以an＝. 6．(2016·浙江卷)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝　1　，S5＝　121　. 因為an＋1＝2Sn＋1，所以Sn＋1－Sn＝2Sn＋1， 所以Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋＝3(Sn＋)， 所以數(shù)列{Sn＋}是公比為3的等比數(shù)列， 所以＝3.又S2＝4，所以S1＝1，所以a1＝1， 所以S5＋＝(S1＋)×34＝×34＝， 所以S5＝121. 7．(2018·全國卷Ⅰ改編)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和．若Sn＝2an＋1. (1)證明{an}是等比數(shù)列，并求S6的值； (2)證明{Sn－1}是等比數(shù)列，并求Sn的表達式． (1)因為Sn＝2an＋1，當n≥2時，Sn－1＝2an－1＋1， 所以an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1， 即an＝2an－1. 當n＝1時，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1. 所以數(shù)列{an}是首項a1為－1，公比q為2的等比數(shù)列， 所以Sn＝＝＝1－2n， 所以S6＝1－26＝－63. (2)由Sn＝2an＋1，得S1＝2S1＋1，所以S1＝－1. n≥2時，Sn＝2an＋1，得Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1， 即Sn＝2Sn－1－1，所以Sn－1＝2(Sn－1－1)，又S1－1＝－2. 所以{Sn－1}是首項為－2，公比為2的等比數(shù)列， 所以Sn－1＝－2×2n－1＝－2n，所以Sn＝1－2n. 8．(2018·河南名校聯(lián)考)設數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，則a20的值是(D) A．4 B．4 C．4 D．4 (方法１)由題意知，當n≥2時， (n＋1)(an＋1－an)＝(n－1)(an－an－1)， 即＝， 則＝，＝，…，＝(n≥3)， 以上各式左右兩邊相乘得， ＝××…×＝＝2(－)(n≥3)， 因為a2－a1＝2， 所以an－an－1＝4(－)，且當n＝2時，a2－a1＝4(－)＝2成立， 所以a2－a1＝4(1－)，a3－a2＝4(－)，…，an－an－1＝4(－)， 以上各式左右兩邊分別相加得an－1＝4(1－)＝， 所以an＝＋1＝(n≥2)．所以a20＝＝4. (方法２)由條件{nan}成等差數(shù)列，且首項1×a1＝1，公差d＝2a2－a1＝5. 所以nan＝1＋(n－1)×5＝4n－4. 所以an＝，所以a20＝＝4. 9．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，?n∈N*，an>0，且(n＋1)a＋anan＋1－na＝0，則數(shù)列{an}的通項公式是an＝　2n　. 由題意，得[(n＋1)an－nan＋1]·(an＋an＋1)＝0， 因為an>0，所以(n＋1)an－nan＋1＝0，所以＝， (方法１)利用累乘法得an＝2n. (方法２)由＝，得＝. 所以{}是常數(shù)列，所以＝＝2.所以an＝2n. 10．根據(jù)下面各式的首項和遞推關系，求出數(shù)列的通項公式． (1)a1＝1，an＋1＝，n∈N*； (2)設a1＝2，an＋1＝，bn＝||，n∈N*，求數(shù)列{bn}的通項公式． (1)由an＋1＝，得＝＝＋， 設＋λ＝2(＋λ)，則λ＝， 所以數(shù)列{＋}是以＋＝為首項，公比為2的等比數(shù)列， 所以＋＝·2n－1＝3·2n－2，所以an＝. (2)因為bn＋1＝||＝||＝2||＝2bn，且b1＝4，所以數(shù)列{bn}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列． 所以bn＝4×2n－1＝2n＋1. 5