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1、專題限時集訓(xùn)(五) 概率
[專題通關(guān)練]
(建議用時:30分鐘)
1.[一題多解](2019·全國卷Ⅲ)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶,并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況,隨機調(diào)查了100位學(xué)生,其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位,閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位,閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位,則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為( )
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
C [法一:設(shè)調(diào)查的100位學(xué)生中閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為x
2、,則x+80-60=90,解得x=70,
所以該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為=0.7.
故選C.
法二:用Venn圖表示閱讀過《西游記》和《紅樓夢》的人數(shù)之間的關(guān)系如圖:
易知調(diào)查的100位學(xué)生中閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為70,所以該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為=0.7.故選C.]
2.已知定義在區(qū)間[-3,3]上的函數(shù)f(x)=2x+m滿足f(2)=6,在[-3,3]上任取一個實數(shù)x,則使得f(x)的值不小于4的概率為( )
A. B. C. D.
B [∵f(2)=6,∴22+m=6,解得m=2.由f(x)
3、≥4,得2x+2≥4,即x≥1,而x∈[-3,3],
故根據(jù)幾何概型的概率計算公式,得f(x)的值不小于4的概率P==.故選B.]
3.標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的卡片各1張,從這5張卡片中隨機抽取1張,不放回地再隨機抽取1張,則抽取的第1張卡片上的數(shù)大于第2張卡片上的數(shù)的概率為 ( )
A. B. C. D.
A [5張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5,從這5張卡片中隨機抽取2張,基本事件的總數(shù)n=5×4=20,抽得的第1張卡片上的數(shù)大于第2張卡片上的數(shù)的情況有:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),
4、(5,4),共10種.故抽取的第1張卡片上的數(shù)大于第2張卡片上的數(shù)的概率P==,故選A.]
4.(2019·鄭州模擬)在區(qū)間(0,2)內(nèi)隨機取一個實數(shù)a,則滿足的點(x,y)構(gòu)成區(qū)域的面積大于1的概率是( )
A. B. C. D.
C [作出約束條件表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,則陰影部分的面積S=×a×2a=a2>1,∴1<a<2,根據(jù)幾何概型的概率計算公式得所求概率為=,故選C.]
5.《九章算術(shù)》中有如下問題:“今有勾八步,股一十五步,問勾中容圓徑幾何.”其大意:“已知直角三角形兩直角邊長分別為8步和15步,問其內(nèi)切圓的直徑為多少步.”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機投一粒豆子
5、,則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是( )
A. B.
C.1- D.1-
D [如圖,直角三角形的斜邊長為=17,設(shè)其內(nèi)切圓的半徑為r,則8-r+15-r=17,解得r=3,∴內(nèi)切圓的面積為πr2=9π,∴豆子落在內(nèi)切圓外的概率P=1-=1-.]
6.(2019·全國卷Ⅱ)我國高鐵發(fā)展迅速,技術(shù)先進.經(jīng)統(tǒng)計,在經(jīng)停某站的高鐵列車中,有10個車次的正點率為0.97,有20個車次的正點率為0.98,有10個車次的正點率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為________.
0.98 [==0.98.
則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為0.
6、98.]
7.已知實數(shù)x,y滿足|x|≤3,|y|≤2,則任取其中的一對實數(shù)x,y,使得x2+y2≤4的概率為________.
[如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,滿足|x|≤3,|y|≤2的點在矩形ABCD內(nèi)(包括邊界),使得x2+y2≤4的點在圖中圓O內(nèi)(包括邊界).由題意知,S矩形ABCD=4×6=24,S圓O=4π,故任取其中的一對實數(shù)x,y,使得x2+y2≤4的概率P===.]
8.從正五邊形ABCDE的5個頂點中隨機選擇3個頂點,則以它們作為頂點的三角形是銳角三角形的概率是________.
[從正五邊形ABCDE的5個頂點中隨機選擇3個頂點,基本事件總數(shù)為10,即AB
7、C,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,以它們作為頂點的三角形是銳角三角形的種數(shù)為5,即△ABD,△ACD,△ACE,△BCE,△BDE,所以以它們作為頂點的三角形是銳角三角形的概率P==.]
[能力提升練]
(建議用時:15分鐘)
9.某港口有一個泊位,現(xiàn)統(tǒng)計了某月100艘輪船在該泊位的??繒r間(單位:小時),如果停靠時間不足半小時按半小時計時,超過半小時不足1小時按1小時計時,依此類推,統(tǒng)計結(jié)果如表:
??繒r間
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
輪船數(shù)量
12
12
17
20
15
13
8
3
8、
(1)設(shè)該月這100艘輪船在該泊位的平均??繒r間為a小時,求a的值;
(2)假定某天只有甲、乙兩艘輪船需要在該泊位停靠a小時,且在一晝夜的時間段中隨機到達(dá),求這兩艘輪船中至少有一艘在??吭摬次粫r必須等待的概率.
[解] (1)a=×(2.5×12+3×12+3.5×17+4×20+4.5×15+5×13+5.5×8+6×3)=4.
(2)設(shè)甲船到達(dá)的時間為x,乙船到達(dá)的時間為y,
則
若這兩艘輪船中至少有一艘在??吭摬次粫r必須等待,則|y-x|<4,
符合題意的區(qū)域如圖中陰影部分(不包括x,y軸)所示.
記“這兩艘輪船中至少有一艘在??吭摬次粫r必須等待”為事件A,
則P(A)
9、==.
所以這兩艘輪船中至少有一艘在??吭摬次粫r必須等待的概率為.
10.一汽車廠生產(chǎn)A,B,C三類轎車,每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號,某月的產(chǎn)量(單位:輛)如表:
A類轎車
B類轎車
C類轎車
舒適型
100
150
z
標(biāo)準(zhǔn)型
300
450
600
按類用分層抽樣的方法從這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛,其中有A類轎車10輛.
(1)求z的值;
(2)用分層抽樣的方法從C類轎車中抽取一個容量為5的樣本,將該樣本看成一個總體,從中任取2輛,求至少有1輛舒適型轎車的概率;
(3)用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛,經(jīng)檢測它們的得分如下:9.4,
10、8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把這8輛轎車的得分看成一個總體,從中任取一個數(shù)xi(1≤i≤8,i∈N),設(shè)樣本平均數(shù)為,求|xi-|≤0.5的概率.
[解] (1)設(shè)該廠這個月共生產(chǎn)轎車n輛,由題意得=,所以n=2 000,則z=2 000-(100+300)-(150+450)-600=400.
(2)設(shè)所抽樣本中有a輛舒適型轎車,由題意得=,得a=2,
所以抽取的容量為5的樣本中,有2輛舒適型轎車,3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車.
用A1,A2分別表示2輛舒適型轎車,用B1,B2,B3分別表示3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車,用E表示事件“在該樣本中任取2輛,至少有1輛舒適型轎車”.從該樣
11、本中任取2輛包含的基本事件有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共10個,
其中事件E包含的基本事件有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共7個.
故P(E)=,即所求的概率為.
(3)樣本平均數(shù)=×(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.設(shè)D表示事件“從樣本中任取一個數(shù)xi(1≤i≤8,i∈N),|xi-|≤0.5”,則從樣本中任取一個數(shù)有8個基本事件,事件
12、D包括的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共6個.
所以P(D)==,即所求的概率為.
題號
內(nèi)容
押題依據(jù)
1
幾何概型
本題將半圓、圓、圓環(huán)的面積等知識融入到幾何概型中,既為幾何概型輸送了新鮮的“血液”,又為圓的知識找到了堅定的“著陸點”,使呆板、平淡的幾何概型充滿活力,很好地考查了考生的直觀想象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)
2
頻率分布直方圖、分層抽樣、概率
本題是以臨潼石榴為背景設(shè)的頻率分布直方圖、概率、決策型問題相交匯的試題,設(shè)問角度新穎、典型,有代表性,意在考查考生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)
【押題1】 如圖,半圓
13、、較大圓、小圓的直徑比為4∶2∶1.若在該半圓內(nèi)隨機取一點,則該點取自陰影部分的概率是( )
A. B. C. D.
C [設(shè)小圓的半徑為r,因為半圓、較大圓、小圓的直徑比為4∶2∶1,所以陰影部分的面積S1=π(2r)2-πr2=3πr2,半圓的面積S=π(4r)2=8πr2,根據(jù)幾何概型的概率計算公式,得該點取自陰影部分的概率P===.故選C.]
【押題2】 臨潼石榴集中國石榴之優(yōu),素以色澤艷麗,果大皮薄,汁多味甜,品質(zhì)優(yōu)良等特點而著稱.臨潼石榴名居中國五大名榴之冠,被列為果中珍品.白居易曾寫詩贊美:“日照血球?qū)⒌蔚?,風(fēng)翻火焰欲燒人.”現(xiàn)從該地區(qū)某村的石榴樹上隨機
14、摘下100個石榴進行測重,其質(zhì)量分布在區(qū)間[200,500]內(nèi)(單位:克),根據(jù)統(tǒng)計的數(shù)據(jù)作出頻率分布直方圖如圖所示:
(1)按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在[350,400),[400,450)內(nèi)的石榴中隨機抽取5個,再從這5個石榴中隨機抽取2個,求這2個石榴中質(zhì)量至少有一個不小于400克的概率;
(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù),以頻率代表概率,已知該村大約還有100 000個石榴待出售,某電商提出如下兩種收購方案:
方案A:所有石榴均以20元/千克的價格收購.
方案B:低于350克的石榴以5元/個的價格收購,高于或等于350克的以9元/個的價格收購.
請你通過計算為該村選擇
15、收益最好的方案.
[解] (1)由題得石榴質(zhì)量在[350,400)和[400,450)內(nèi)的比例為3∶2,
所以應(yīng)分別在質(zhì)量在[350,400)和[400,450)內(nèi)的石榴中各抽取3個和2個.
記所抽取的質(zhì)量在[350,400)內(nèi)的石榴為A1,A2,A3,質(zhì)量在[400,450)內(nèi)的石榴為B1,B2,
則從這5個石榴中隨機抽取2個的情況共有以下10種:
{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A2,B1},{A3,B1},{A1,B2},{A2,B2},{A3,B2},{B1,B2}.
其中質(zhì)量至少有一個不小于400克的有7種情況,故所求概率為.
(2)方
16、案B好,理由如下:
由頻率分布直方圖可知,石榴質(zhì)量在[200,250)內(nèi)的頻率為50×0.001=0.05,
同理,石榴質(zhì)量在[250,300),[300,350),[350,400),[400,450),[450,500]內(nèi)的頻率依次為0.16,0.24,0.3,0.2,0.05.
若按方案B收購:
因為石榴質(zhì)量低于350克的個數(shù)為(0.05+0.16+0.24)×100 000=45 000,
石榴質(zhì)量不低于350克的個數(shù)為55 000個,
所以總收益為45 000×5+55 000×9=720 000(元).
若按方案A收購:
根據(jù)題意各區(qū)間段內(nèi)石榴個數(shù)依次為5 000,16 000,24 000,30 000,20 000,5 000,
于是總收益為(225×5 000+275×16 000+325×24 000+375×30 000+425×20 000+475×5 000)×=709 000(元).
因為720 000>709 000,即方案B的收益比方案A的收益高,所以該村應(yīng)選擇方案B.
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