2020版高考數(shù)學二輪復習 專題限時集訓5 概率、隨機變量及其分布 理

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1、專題限時集訓(五)　概率、隨機變量及其分布 [專題通關練] (建議用時：30分鐘) 1．袋中裝有2個紅球，3個黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，則3次中恰有2次抽到黃球的概率是(　　) A.　　　 B. C. D. D　[由題意可知抽到黃球的次數(shù)ξ～B， ∴P(ξ＝2)＝C×＝.] 2．(2019·咸陽二模)已知甲、乙、丙三人去參加某公司面試，他們被公司錄取的概率分別為，，，且三人錄取結果相互之間沒有影響，則他們三人中至少有一人被錄取的概率為(　　) A. B. C. D. B　[甲、乙、丙三人去參加某公司面試，他們被公司錄取的概率分別為，，，且三個錄取結

2、果相互之間沒有影響，∴他們三人中至少有一人被錄取的概率為：P＝1－＝.故選B.] 3.(2019·鄭州二模)在如圖所示的正方形中隨機投擲10 000個點，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(－1,1)的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為(　　) (附：X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 7， P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 5) A．906 B．2 718 C．1 359 D．3 413 C　[∵X～N(－1,1)， ∴陰影部分的面積S＝P(0﹤X≤1) ＝[P(－3﹤x≤1)－P(－2﹤x≤0)]＝(0.954 5－0.682 7)＝0.1

3、35 9， ∴落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值為10 000×0.135 9＝1 359.故選C.] 4．甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結果相互獨立，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進行了三局的概率為(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. B　[由題意，甲獲得冠軍的概率為×＋××＋××＝，其中比賽進行了3局的概率為××＋××＝， ∴所求概率為÷＝，故選B.] 5．(2019·巢湖市一模)某次考試共有12個選擇題，每個選擇題的分值為5分，每個選擇題四個選項且只有一個選項是正確的，A學生對12個選擇題中每個題的

4、四個選擇項都沒有把握，最后選擇題的得分為X分，B學生對12個選擇題中每個題的四個選項都能判斷其中有一個選項是錯誤的，對其它三個選項都沒有把握，選擇題的得分為Y分，則D(Y)－D(X)的值為(　　) A. B. C. D. A　[設A學生答對題的個數(shù)為m，得分5m，則m～B，D(m)＝12××＝， ∴D(X)＝25×＝. 設B學生答對題的個數(shù)為n，得分5n，則n～B， D(n)＝12××＝，∴D(Y)＝25×＝. ∴D(Y)－D(X)＝－＝.故選A.] 6．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(0≤X≤2)＝0.3，則P(X＞4)＝________. 0.2　

5、[由正態(tài)分布的特征可知 P(0≤X≤2)＝P(2≤X≤4)＝0.3. 又P(X≥2)＝0.5，∴P(X＞4)＝0.5－0.3＝0.2.] 7．[易錯題]某種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需要再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學期望為________． 200　[將“沒有發(fā)芽的種子數(shù)”記為ξ，則ξ＝1,2,3，…，1 000，由題意可知ξ～B(1 000,0.1)，所以E(ξ)＝1 000×0.1＝100，又因為X＝2ξ，所以E(X)＝2E(ξ)＝200.] 8．甲、乙、丙三人到三個景點旅游，每人只去一個景點，設事件A為“三個人去的景點

6、不相同”，B為“甲獨自去一個景點”，則概率P(A|B)等于________． 　[由題意可知，n(B)＝C22＝12，n(AB)＝A＝6， 所以P(A|B)＝＝＝.] [能力提升練] (建議用時：30分鐘) 9．根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，某支深受廣大球迷喜歡的足球隊中，乙球員能夠勝任前鋒、中場、后衛(wèi)及守門員四個位置，且出場率分別為0.2,0.5,0.2,0.1，當出任前鋒、中場、后衛(wèi)及守門員時，球隊輸球的概率依次為0.4,0.2,0.6,0.2.則 (1)當他參加比賽時，求球隊某場比賽輸球的概率； (2)當他參加比賽時，在球隊輸了某場比賽的條件下，求乙球員擔當前鋒的概率； (3)如果

7、你是教練員，應用概率統(tǒng)計的相關知識分析，如何安排乙球員能使贏球場次更多？ [解]　設A1表示“乙球員擔當前鋒”，A2表示“乙球員擔當中場”，A3表示“乙球員擔當后衛(wèi)”，A4表示“乙球員擔當守門員”，B表示“球隊某場比賽輸球”． (1)P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4)＝0.2×0.4＋0.5×0.2＋0.2×0.6＋0.1×0.2＝0.32. (2)由(1)知，P(B)＝0.32， 所以P(A1|B)＝＝＝0.25. (3)因為P(A1|B)∶P(A2|B)∶P(A3|B)∶P(A4|B)＝0.08∶0.1

8、0∶0.12∶0.02＝4∶5∶6∶1， 所以多安排乙球員擔當守門員，能夠贏球場次更多． 10．為了預防某種流感擴散，某校醫(yī)務室采取積極的處理方式，對感染者進行短暫隔離直到康復．假設某班級已知6位同學中有1位同學被感染，需要通過化驗血液來確定被感染的同學，血液化驗結果呈陽性即被感染，呈陰性即未被感染．下面是兩種化驗方案． 方案甲：逐個化驗，直到能確定被感染的同學為止． 方案乙：先任取3個同學，將他們的血液混在一起化驗，若結果呈陽性則表明被感染同學為這3位中的1位，后再逐個化驗，直到能確定被感染的同學為止；若結果呈陰性，則在另外3位同學中逐個檢測． (1)求方案甲所需化驗次數(shù)等于方案乙

9、所需化驗次數(shù)的概率； (2)η表示方案甲所需化驗次數(shù)，ξ表示方案乙所需化驗次數(shù)，假設每次化驗的費用都相同，請從經(jīng)濟角度考慮哪種化驗的方案最佳． [解]　設Ai(i＝1,2,3,4,5)表示方案甲所需化驗次數(shù)為i次；Bj(j＝2,3)表示方案乙所需化驗的次數(shù)為j次，方案甲與方案乙相互獨立． (1)P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，P(A5)＝， P(B2)＝＋＝，P(B3)＝1－P(B2)＝， 用事件D表示方案甲所需化驗次數(shù)等于方案乙所需化驗次數(shù)， 則P(D)＝P(A2B2＋A3B3)＝P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B3)＝×＋×＝. (2)η的可能取值為1,

10、2,3,4,5.ξ的可能取值為2,3. 由(1)知P(η＝1)＝P(η＝2)＝P(η＝3)＝P(η＝4)＝，P(η＝5)＝， 所以E(η)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝，P(ξ＝2)＝P(B2)＝，P(ξ＝3)＝P(B3)＝，所以E(ξ)＝2×＋3×＝. 因為E(ξ)＜E(η)，所以從經(jīng)濟角度考慮方案乙最佳． 11．(2019·昆明模擬)為了解甲、乙兩種產(chǎn)品的質量，從中分別隨機抽取了10件樣品，測量產(chǎn)品中某種元素的含量(單位：毫克)，如圖所示是測量數(shù)據(jù)的莖葉圖．規(guī)定：當產(chǎn)品中的此種元素的含量不小于18毫克時，該產(chǎn)品為優(yōu)等品． (1)試用樣品數(shù)據(jù)估計甲、乙兩種產(chǎn)品的優(yōu)等品率；

11、(2)從乙產(chǎn)品抽取的10件樣品中隨機抽取3件，求抽到的3件樣品中優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列及其數(shù)學期望E(ξ)； (3)從甲產(chǎn)品抽取的10件樣品中有放回地隨機抽取3件，也從乙產(chǎn)品抽取的10件樣品中有放回地隨機抽取3件，抽到的優(yōu)等品中，記“甲產(chǎn)品恰比乙產(chǎn)品多2件”為事件C，求事件C的概率． [解](1)從甲產(chǎn)品抽取的10件樣品中優(yōu)等品有4件，優(yōu)等品率為＝，從乙產(chǎn)品抽取的10件樣品中優(yōu)等品有5件，優(yōu)等品率為＝. 故甲、乙兩種產(chǎn)品的優(yōu)等品率分別為，. (2)ξ的所有可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0

12、 1 2 3 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (3)抽到的優(yōu)等品中，甲產(chǎn)品恰比乙產(chǎn)品多2件包括兩種情況：“抽到的優(yōu)等品數(shù)甲產(chǎn)品2件且乙產(chǎn)品0件”，“抽到的優(yōu)等品數(shù)甲產(chǎn)品3件且乙產(chǎn)品1件”，分別記為事件A，B，P(A)＝C×C×＝， P(B)＝C×C＝， 故抽到的優(yōu)等品中甲產(chǎn)品恰比乙產(chǎn)品多2件的概率為P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. 12．春節(jié)期間某商店出售某種海鮮禮盒，假設每天該禮盒的需求量在{11,12，…，30}范圍內等可能取值，該禮盒的進貨量也在{11,12，…，30}范圍內取值(每天進1次貨)．商店每銷售1盒禮盒可獲利50元；若供大于求，

13、剩余的削價處理，每處理1盒禮盒虧損10元；若供不應求，可從其他商店調撥，銷售1盒禮盒可獲利30元．設該禮盒每天的需求量為x盒，進貨量為a盒，商店的日利潤為y元． (1)求商店的日利潤y關于需求量x的函數(shù)表達式； (2)試計算進貨量a為多少時，商店日利潤的期望值最大？并求出日利潤期望值的最大值． [解](1)由題意得商店的日利潤y關于需求量x的函數(shù)表達式為y＝ 化簡得y＝ (2)日利潤y的分布列為 y 60×11－10a 60×12－10a … 60×(a－1)－10a 30a＋20a p … y 30(a＋1)＋20a … 30×29＋20

14、a 30×30＋20a p … 日利潤y的數(shù)學期望為 E(y)＝·{(60×11－10a)＋(60×12－10a)＋…＋[60×(a－1)－10a]}＋·{(30a＋20a)＋[30(a＋1)＋20a]＋…＋(30×30＋20a)} ＝＋30×＋20a(31－a) ＝－a2＋a＋， 結合二次函數(shù)的知識， 當a＝24時，日利潤y的數(shù)學期望最大，最大值為958.5元． 題號 內容 押題依據(jù) 1 相互獨立事件的概率 依據(jù)概率知識對生產(chǎn)實際作出指導，體現(xiàn)數(shù)學應用的能力 2 期望、方差、決策性問題、條件概率、二項分布 高考熱點，結合二項分布考查離散型隨

15、機變量的分布列、期望并對實際問題作出決策 【押題1】　三個元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為，，，將T2，T3兩個元件并聯(lián)后再和T1串聯(lián)接入電路，如圖所示，則電路不發(fā)生故障的概率為________． 　[三個元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為，，，將T2，T3兩個元件并聯(lián)后再和T1串聯(lián)接入電路，則電路不發(fā)生故障的概率為： p＝×＝.] 【押題2】　某企業(yè)打算處理一批產(chǎn)品，這些產(chǎn)品每箱100件，以箱為單位銷售．已知這批產(chǎn)品中每箱出現(xiàn)的廢品率只有兩種可能10%或者20%，兩種可能對應的概率均為0.5.假設該產(chǎn)品正品每件市場價格為100元，廢品不值錢．現(xiàn)處理價格為每箱8 40

16、0元，遇到廢品不予更換．以一箱產(chǎn)品中正品的價格期望值作為決策依據(jù)． (1)在不開箱檢驗的情況下，判斷是否可以購買； (2)現(xiàn)允許開箱，有放回地隨機從一箱中抽取2件產(chǎn)品進行檢驗． ①若此箱出現(xiàn)的廢品率為20%，記抽到的廢品數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望； ②若已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，判斷是否可以購買． [解](1)在不開箱檢驗的情況下，一箱產(chǎn)品中正品的價格期望值為： E(ξ)＝100×(1－0.2)×100×0.5＋100×(1－0.1)×100×0.5＝8 500＞8 400， ∴在不開箱檢驗的情況下，可以購買． (2)①X的可能取值為0,1,2，

17、P(X＝0)＝C×0.20×0.82＝0.64， P(X＝1)＝C×0.21×0.81＝0.32， P(X＝2)＝C×0.80×0.22＝0.04， ∴X的分布列為： X 0 1 2 P 0.64 0.32 0.04 E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4. ②設事件A：發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品， 則P(A)＝C×0.2×0.8×0.5＋C×0.1×0.9×0.5＝0.25， 一箱產(chǎn)品中，設正品的價格的期望值為η，則η＝8 000,9 000， 事件B1：抽取的廢品率為20%的一箱，則P(η＝8 000)＝P(B1|A)＝＝＝0.64， 事件B2：抽取的廢品率為10%的一箱，則P(η＝9 000)＝P(B2|A)＝＝＝0.36， ∴E(η)＝8 000×0.64＋9 000×0.36＝8 360＜8 400， ∴已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，不可以購買． - 8 -