2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)29 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 理（含解析）北師大版

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1、課后限時(shí)集訓(xùn)(二十九)　等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 (建議用時(shí)：60分鐘) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1．(2019·南寧模擬)等差數(shù)列{an}中，a3＋a7＝6，則{an}的前9項(xiàng)和等于(　　) A．－18　　　B．27　　　C．18　　　D．－27 B　[S9＝＝＝＝27.故選B．] 2．?dāng)?shù)列{an}滿足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＋a4＋a6＝12，則a3＋a4＋a5＝(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 D　[由2an＝an－1＋an＋1(n≥2)可知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，∴a2＋a4＋a6＝a3＋a4＋a5＝12.故選D．] 3．公差

2、不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a6＝3a4，且S10＝λa4，則λ的值為(　　) A．15 B．21 C．23 D．25 D　[由題意得a1＋5d＝3(a1＋3d)，∴a1＝－2D． ∴λ＝＝＝＝25，故選D．] 4．在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝，則a4＝(　　) A. B．1 C. D． A　[∵an＋1＝，∴－＝，又a1＝3，∴數(shù)列是以＝為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，∴＝＋＝，即an＝.∴a4＝.故選A.] 5．(2019·四川棠湖中學(xué)模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝9，－＝－4，則Sn取最大值時(shí)的n為(　　) A．4

3、 B．5 C．6 D．4或5 B　[由{an}為等差數(shù)列，所以－＝a5－a3＝2d＝－4，即d＝－2.由a1＝9，所以an＝－2n＋11. 所以數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，即Sn存在最大值． 由解得4.5＜n≤5.5. 所以Sn取最大值時(shí)的n為5，故選B．] 二、填空題 6．(2018·北京高考)設(shè){an}是等差數(shù)列，且a1＝3，a2＋a5＝36，則{an}的通項(xiàng)公式為________． an＝6n－3　[∵a1＝3，a2＋a5＝a1＋a6＝36，∴a6＝33， ∴公差d＝＝＝6， ∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)×6＝6n－3.] 7．正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1

4、＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，則a7＝________. 　[由2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，得數(shù)列{a}是等差數(shù)列，公差d＝a－a＝3，首項(xiàng)a＝1，所以a＝1＋3(n－1)＝3n－2，∴an＝，∴a7＝.] 8．(數(shù)學(xué)文化)《九章算術(shù)》是我國第一部數(shù)學(xué)專著，下面有源自其中的一個(gè)問題：“今有金箠(chuí)，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問金箠重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，長5尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問金箠重多少斤？”根據(jù)上面的已知條件，若金箠由粗到細(xì)的重量是均勻變化的，則答案是________．

5、 15斤　[由題意可知金箠由粗到細(xì)各尺的重量成等差數(shù)列，且a1＝4，a5＝2，則S5＝＝15，故金箠重15斤．] 三、解答題 9．(2019·太原模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＜0，S2 019＝0. (1)求Sn的最小值及此時(shí)n的值； (2)求n的取值集合，使其滿足an≥Sn. [解]　(1)設(shè)公差為d，則由S2 019＝0?2 019a1＋d＝0?a1＋1 009d＝0， d＝－a1，a1＋an＝a1， 所以Sn＝(a1＋an)＝·a1＝(2 019n－n2)． 因?yàn)閍1＜0，n∈N*，所以當(dāng)n＝1 009或1 010時(shí)，Sn取最小值505a1. (2

6、)an＝a1， Sn≤an?(2 019n－n2)≤a1. 因?yàn)閍1＜0，所以n2－2 021n＋2020≤0 即(n－1)(n－2 020)≤0， 解得1≤n≤2 020.故所求n的取值集合為{n|1≤n≤2 020，n∈N*}． 10．已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為a,4,3a，前n項(xiàng)和為Sn，且Sk＝110. (1)求a及k的值； (2)已知數(shù)列{bn}滿足bn＝，證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求其前n項(xiàng)和Tn. [解]　(1)設(shè)該等差數(shù)列為{an}，則a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2

7、＝k2＋k. 由Sk＝110，得k2＋k－110＝0， 解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10. (2)由(1)得Sn＝＝n(n＋1)， 則bn＝＝n＋1， 故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1， 即數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以Tn＝＝. B組　能力提升 1．若{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1＞0，a2 019＋a2 020＞0，a2 019·a2 020＜0，則使前n項(xiàng)和Sn＞0成立的最大正整數(shù)n是(　　) A．2 019　　B．2 020　　C．4 038　　D．4 039 C　[因?yàn)閍1＞0，a2 019＋a2 020＞0，a2

8、019·a2 020＜0，所以d＜0，a2 019＞0，a2 020＜0，所以S4 038＝ ＝＞0， S4 039＝＝4 039a2 020＜0，所以使前n項(xiàng)和Sn＞0成立的最大正整數(shù)n是4 038.] 2．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)，則m＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 D　[∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3， ∴am＝2，am＋1＝3， ∴公差d＝1. 又Sm＝＝0，∴a1＋am＝0，∴a1＝－2. ∴am＝－2＋(m－1)×1＝2，∴m＝5.] 3．已知等差數(shù)列2,6,10，…，1

9、90，…，和等差數(shù)列2,8,14，…，200，…，由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列{an}，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________. 12n－10　[兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)為2,14,26，…，即新數(shù)列的首項(xiàng)為2，公差為12，故an＝2＋(n－1)×12＝12n－10.] 4．(2018·綿陽三模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：a1an＝S1＋Sn. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若an＞0，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，試問當(dāng)n為何值時(shí)，Tn最小？并求出最小值． [解]　(1)由已知a1an＝S1＋Sn， 可得當(dāng)n＝1時(shí)，a＝a1＋a1， 可

10、解得a1＝0或a1＝2. 當(dāng)n≥2時(shí)，由已知可得a1an－1＝S1＋Sn－1， 從而可得a1(an－an－1)＝an. 若a1＝0，則an＝0，此時(shí)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝0. 若a1＝2，則2(an－an－1)＝an，化簡得an＝2an－1， 即此時(shí)數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列， 故an＝2n. 綜上所述，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝0或an＝2n. (2)因?yàn)閍n＞0，故an＝2n. 設(shè)bn＝log2，則bn＝n－5，顯然{bn}是等差數(shù)列， 由n－5≥0，得n≥5，且b5＝0， 所以當(dāng)n＝4或n＝5時(shí)，Tn最小，最小值為T4＝T5＝＝－10. - 5 -