2020版高考數(shù)學一輪復習 課后限時集訓30 等比數(shù)列及其前n項和 理（含解析）北師大版

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1、課后限時集訓(三十)　等比數(shù)列及其前n項和 (建議用時：60分鐘) A組　基礎達標 一、選擇題 1．已知數(shù)列{an}滿足3an＋1＋an＝0，a2＝－，則{an}的前10項和等于(　　) A．－6(1－3－10)　　　　　 B．(1－3－10) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10) C　[∵3an＋1＋an＝0，∴＝－，∴數(shù)列{an}是以－為公比的等比數(shù)列，∵a2＝－，∴a1＝4.由等比數(shù)列的求和公式可得，S10＝＝3(1－3－10)．故選C.] 2．(2019·湘潭模擬)已知等比數(shù)列{an}中，a5＝3，a4a7＝45，則的值為(　　) A．3　　　　B．5　

2、　　　C．9　　　　D．25 D　[設等比數(shù)列{an}的公比為q，則a4a7＝·a5q2＝9q＝45，所以q＝5，＝＝q2＝25.故選D．] 3．(2019·太原模擬)已知等比數(shù)列{an}中，a2a5a8＝－8，S3＝a2＋3a1，則a1＝(　　) A. B．－ C．－ D．－ B　[設等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠1)，因為S3＝a1＋a2＋a3＝a2＋3a1，所以＝q2＝2.因為a2a5a8＝a＝－8，所以a5＝－2，即a1q4＝－2，所以4a1＝－2，所以a1＝－，故選B．] 4．已知數(shù)列{an}中，an＝－4n＋5，等比數(shù)列{bn}的公比q滿足q＝an－an－1(n

3、≥2)且b1＝a2，則|b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|bn|＝(　　) A．1－4n B．4n－1 C. D． B　[由已知得b1＝a2＝－3，q＝－4， ∴bn＝(－3)×(－4)n－1， ∴|bn|＝3×4n－1， 即|bn|是以3為首項，4為公比的等比數(shù)列． ∴|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＝4n－1.] 5．(數(shù)學文化題)《九章算術》中有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺．莞生一日，長一尺．蒲生日自半；莞生日自倍．問幾何日而長等？”意思是：蒲第一天長3尺，以后逐日減半；莞第一天長1尺，以后逐日增加一倍，若蒲、莞長度相等，則所需時間約為(　　) 參考數(shù)據(jù)：

4、lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，結(jié)果精確到0.1 A．2.2天 B．2.4天 C．2.6天 D．2.8天 C　[設蒲每天的長度構成等比數(shù)列{an}，其首項a1＝3，公比為，其前n項和為An.設莞每天的長度構成等比數(shù)列{bn}，其首項b1＝1，公比為2，其前n項和為Bn.則An＝，Bn＝.設蒲、莞長度相等時所需時間約為x天，則＝，化簡得2x＋＝7，計算得出2x＝6,2x＝1(舍去)．所以x＝＝1＋≈2.6.則估計2.6天后蒲、莞長度相等．故選C.] 二、填空題 6．(2019·湖南十校聯(lián)考)若等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且＝5，則＝________. 1

5、7　[法一：設數(shù)列{an}的公比為q，由已知得＝1＋＝5，即1＋q2＝5， 所以q2＝4，＝1＋＝1＋q4＝1＋16＝17. 法二：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比數(shù)列， 若設S2＝a，則S4＝5a， 由(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)得S6＝21a，同理得S8＝85a， 所以＝＝17.] 7．在14與之間插入n個數(shù)組成等比數(shù)列，若各項之和為，則此數(shù)列的項數(shù)為________． 5　[設此等比數(shù)列為{am}，公比為q，則該數(shù)列共有n＋2項．∵14≠，∴q≠1.由等比數(shù)列的前n項和公式，得＝，解得q＝－， ∴an＋2＝14×n＋2－1＝，

6、即n＋1＝，解得n＝3，∴該數(shù)列共有5項．] 8．在正項等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，則n＝________. 14　[設數(shù)列{an}的公比為q，由a1a2a3＝4＝aq3與a4a5a6＝12＝aq12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以3n－6＝36，即n＝14.] 三、解答題 9．(2018·陜西二模)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且滿足Sn－2an＝n－4. (1)證明：{Sn－n＋2}為等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{Sn}的前n項和Tn. [解]　

7、(1)證明：當n＝1時，由Sn－2an＝n－4，得a1＝3. ∴S1－1＋2＝4. 當n≥2時，Sn－2an＝n－4可化為Sn＝2(Sn－Sn－1)＋n－4. 即Sn＝2Sn－1－n＋4，∴Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2]． ∴{Sn－n＋2}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列． (2)由(1)知，Sn－n＋2＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1＋n－2. ∴Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n ＝＋－2n ＝2n＋2＋－4. 10．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)． (1)求a1，a2，a3的值； (2)是否存在

8、常數(shù)λ，使得{an＋λ}為等比數(shù)列？若存在，求出λ的值和通項公式an，若不存在，請說明理由． [解]　(1)當n＝1時，S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3， 當n＝2時，S2＝a1＋a2＝2a2－6，解得a2＝9， 當n＝3時，S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－9，解得a3＝21. (2)假設{an＋λ}是等比數(shù)列，則(a2＋λ)2＝(a1＋λ)(a3＋λ)， 即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3. 下面證明{an＋3}為等比數(shù)列： ∵Sn＝2an－3n，∴Sn＋1＝2an＋1－3n－3，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，即2an＋3＝an＋1，

9、 ∴2(an＋3)＝an＋1＋3，∴＝2， ∴存在λ＝3，使得數(shù)列{an＋3}是首項為a1＋3＝6，公比為2的等比數(shù)列． ∴an＋3＝6×2n－1，即an＝3(2n－1)(n∈N*)． B組　能力提升 1．(2018·合肥一模)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若3Sn＝2an－3n，則a2 018＝(　　) A．22 018－1　　　　　B．32 018－6 C.2 018－ D．2 018－ A　[因為a1＝S1，所以3a1＝3S1＝2a1－3?a1＝－3. 當n≥2時，3Sn＝2an－3n,3Sn－1＝2an－1－3(n－1)，所以an＝－2an－1－3，即an＋1＝－

10、2(an－1＋1)，所以數(shù)列{an＋1}是以－2為首項，－2為公比的等比數(shù)列， 所以an＋1＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n， 則a2 018＝22 018－1.] 2．已知數(shù)列{an}滿足a1a2a3…an＝2n2(n∈N*)，且對任意n∈N*都有 ＋＋…＋＜t，則實數(shù)t的取值范圍為(　　) A. B． C. D． D　[依題意得，當n≥2時，an＝＝＝2n2－(n－1)2＝22n－1，又a1＝21＝22×1－1，因此an＝22n－1，＝，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，等比數(shù)列的前n項和等于＝＜，因此實數(shù)t的取值范圍是.] 3．已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n

11、項和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，a2＋a5＝4，則a8＝________. 2　[因為S3，S9，S6成等差數(shù)列，所以公比q≠1，＝＋，整理得2q6＝1＋q3，所以q3＝－，故a2·＝4，解得a2＝8，故a8＝8×＝2.] 4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)． (1)求證：{an＋1＋2an}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項公式． [解]　(1)證明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)， ∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)． ∵a1＝5，a2＝5， ∴a2＋2a1＝15， ∴an＋2an－1≠0(n≥2)， ∴＝3(n≥2)， ∴數(shù)列{an＋1＋2an}是以15為首項，3為公比的等比數(shù)列． (2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n， 則an＋1＝－2an＋5×3n， ∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)． 又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0， ∴{an－3n}是以2為首項，－2為公比的等比數(shù)列． ∴an－3n＝2×(－2)n－1，即an＝2×(－2)n－1＋3n. - 5 -