2020高考數(shù)學大一輪復習 第八章 立體幾何 5 第5講 直線、平面垂直的判定與性質練習 理（含解析）

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1、第5講 直線、平面垂直的判定與性質 [基礎題組練] 1．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直線l，則(　　) A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B．垂直于直線l的直線一定垂直于平面α C．垂直于平面β的平面一定平行于直線l D．垂直于直線l的平面一定與平面α，β都垂直 解析：選D.對于A，垂直于平面β的平面與平面α平行或相交，故A錯誤； 對于B，垂直于直線l的直線與平面α垂直、斜交、平行或在平面α內，故B錯誤； 對于C，垂直于平面β的平面與直線l平行或相交，故C錯誤，D正確． 2．設α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β(　　) A．若l

2、⊥β，則α⊥β　　　　 B．若α⊥β，則l⊥m C．若l∥β，則α∥β D．若α∥β，則l∥m 解析：選A.選項A，因為l⊥β，l?α，所以α⊥β，A正確；選項B，α⊥β，l?α，m?β，l與m的位置關系不確定；選項C，因為l∥β，l?α，所以α∥β或α與β相交；選項D，因為α∥β，l?α，m?β，此時l與m的位置關系不確定．故選A. 3.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P為△ABC所在平面外一點，PA⊥平面ABC，則四面體P-ABC中共有直角三角形的個數(shù)為(　　) A．4　　　　　　　　　 B．3 C．2 D．1 解析：選A.由PA⊥平面ABC可得△

3、PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC.又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC為直角三角形，故四面體P-ABC中共有4個直角三角形． 4.如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在(　　) A．直線AB上 B．直線BC上 C．直線AC上 D．△ABC內部 解析：選A.由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1. 因為AC?平面ABC， 所以平面ABC1⊥平面ABC. 所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上． 5.如圖，在正四面體

4、P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結論不成立的是(　　) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC 解析：選D.因為BC∥DF，DF?平面PDF， BC?平面PDF， 所以BC∥平面PDF，故選項A正確； 在正四面體中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E， 且AE，PE?平面PAE， 所以BC⊥平面PAE， 因為DF∥BC，所以DF⊥平面PAE， 又DF?平面PDF， 從而平面PDF⊥平面PAE. 因此選項B，C均正確． 6.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠

5、ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上的一個動點，則PM的最小值為________． 解析：作CH⊥AB于H，連接PH.因為PC⊥平面ABC，所以PH⊥AB，PH為PM的最小值，等于2. 答案：2 7．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可) 解析：連接AC，BD，則AC⊥BD，因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.所以當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MB

6、D. 而PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD. 答案：DM⊥PC(或BM⊥PC) 8.如圖，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AE⊥PC，AF⊥PB，給出下列結論：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中正確結論的序號是________． 解析：①AE?平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA?AE⊥BC，故①正確；②AE⊥PC，AE⊥BC，PB?平面PBC?AE⊥PB，AF⊥PB，EF?平面AEF?EF⊥PB，故②正確；③若AF⊥BC?AF⊥平面PBC，則AF∥AE與已知矛盾，故③錯誤；由①可知④正確． 答案：①②④ 9.如圖，在多

7、面體ABCDPE中，四邊形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F(xiàn)是CE的中點． (1)求證：BF∥平面ADP； (2)已知O是BD的中點，求證：BD⊥平面AOF. 證明：(1)如圖，取PD的中點為G，連接FG，AG， 因為F是CE的中點，所以FG是梯形CDPE的中位線， 因為CD＝3PE，所以FG＝2PE， FG∥CD，因為CD∥AB，AB＝2PE， 所以AB∥FG，AB＝FG， 即四邊形ABFG是平行四邊形， 所以BF∥AG， 又BF?平面ADP，AG?平面ADP， 所以BF∥平

8、面ADP. (2)延長AO交CD于M，連接BM，F(xiàn)M， 因為BA⊥AD，CD⊥DA，AB＝AD，O為BD的中點， 所以ABMD是正方形，則BD⊥AM，MD＝2PE. 所以FM∥PD，因為PD⊥平面ABCD， 所以FM⊥平面ABCD，所以FM⊥BD， 因為AM∩FM＝M，所以BD⊥平面AMF， 所以BD⊥平面AOF. 10．由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐C1-B1CD1后得到的幾何體如圖所示．四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD 的交點，E為AD的中點，A1E⊥平面ABCD. (1)證明：A1O∥平面B1CD1; (2)設M是OD的中點，證明：平面A1E

9、M⊥平面B1CD1. 證明：(1)取B1D1的中點O1，連接CO1，A1O1， 由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱， 所以A1O1∥OC，A1O1＝OC， 因此四邊形A1OCO1為平行四邊形， 所以A1O∥O1C， 又O1C?平面B1CD1，A1O?平面B1CD1， 所以A1O∥平面B1CD1. (2)因為AC⊥BD，E，M分別為AD和OD的中點， 所以EM⊥BD， 又A1E⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， 所以A1E⊥BD， 因為B1D1∥BD， 所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1， 又A1E，EM?平面A1EM，A1E∩EM＝E， 所以B1D1⊥

10、平面A1EM， 又B1D1?平面B1CD1， 所以平面A1EM⊥平面B1CD1. [綜合題組練] 1．(創(chuàng)新型)如圖，邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點G，已知△A′DE是△ADE繞DE旋轉過程中的一個圖形，則下列命題中正確的是(　　) ①動點A′在平面ABC上的射影在線段AF上； ②BC∥平面A′DE； ③三棱錐A′-FED的體積有最大值． A．①　　　　　　　　　 B．①② C．①②③ D．②③ 解析：選C.①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC， 所以點A′在平面ABC上的射影在線段AF上． ②BC∥DE，根據線面平行的判定定理可得BC

11、∥平面A′DE. ③當平面A′DE⊥平面ABC時，三棱錐A′-FED的體積達到最大，故選C. 2．(創(chuàng)新型)如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，將四邊形ADFE沿直線EF進行翻折，給出下列四個結論：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面BDF⊥平面BCF；④平面DCF⊥平面BCF，則上述結論可能正確的是(　　) A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 解析：選B.對于①，因為BC∥AD，AD與DF相交但不垂直，所以BC與DF不垂直，則①不成立；對于②，設點D在平面BCF上的射影為點P，當BP⊥CF時就有B

12、D⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使條件滿足，所以②正確；對于③，當點D在平面BCF上的射影P落在BF上時，DP?平面BDF，從而平面BDF⊥平面BCF，所以③正確；對于④，因為點D在平面BCF上的射影不可能在FC上，所以④不成立． 3．(創(chuàng)新型)在矩形ABCD中，AB＜BC，現(xiàn)將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折的過程中，給出下列結論： ①存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直； ②存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直； ③存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直． 其中正確結論的序號是________．(寫出所有正確結論的序號) 解析：①假設AC

13、與BD垂直，過點A作AE⊥BD于E，連接CE.則?BD⊥平面AEC?BD⊥CE，而在平面BCD中，EC與BD不垂直，故假設不成立，①錯． ②假設AB⊥CD，因為AB⊥AD，所以AB⊥平面ACD，所以AB⊥AC，由AB＜BC可知，存在這樣的等腰直角三角形，使AB⊥CD，故假設成立，②正確． ③假設AD⊥BC， 因為DC⊥BC，所以BC⊥平面ADC， 所以BC⊥AC，即△ABC為直角三角形，且AB為斜邊，而AB＜BC，故矛盾，假設不成立，③錯．綜上，填②. 答案：② 4．(應用型)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，F(xiàn)

14、是BB1上的動點，AB1，DF交于點E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長為________． 解析：設B1F＝x，因為AB1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1⊥DF. 由已知可以得A1B1＝， 設Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，則DE＝h， 又2×＝h×， 所以h＝，DE＝. 在Rt△DB1E中，B1E＝＝. 由面積相等得× ＝x，得x＝.即線段B1F的長為. 答案： 5.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，AD＝SD，BC＝CD＝AB，側面SAD⊥底面ABCD. (1)求證：平面SBD⊥平面SAD；

15、 (2)若∠SDA＝120°，且三棱錐S-BCD的體積為，求側面△SAB的面積． 解：(1)證明：設BC＝a，則CD＝a，AB＝2a，由題意知△BCD是等腰直角三角形，且∠BCD＝90°， 則BD＝a，∠CBD＝45°， 所以∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝45°， 在△ABD中， AD＝＝a， 因為AD2＋BD2＝4a2＝AB2，所以BD⊥AD， 由于平面SAD⊥底面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD， 所以BD⊥平面SAD， 又BD?平面SBD，所以平面SBD⊥平面SAD. (2)由(1)可知AD＝SD＝a，在△SAD中，∠SDA＝120°，SA

16、＝2SDsin 60°＝a， 作SH⊥AD，交AD的延長線于點H， 則SH＝SDsin 60°＝a， 由(1)知BD⊥平面SAD， 因為SH?平面SAD，所以BD⊥SH， 又AD∩BD＝D，所以SH⊥平面ABCD， 所以SH為三棱錐S-BCD的高， 所以VS-BCD＝×a××a2＝， 解得a＝1，由BD⊥平面SAD，SD?平面SAD，可得BD⊥SD， 則SB＝＝＝2， 又AB＝2，SA＝， 在等腰三角形SBA中， 邊SA上的高為 ＝， 則△SAB的面積為××＝. 6．如圖1，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F(xiàn)分別為CD，AB邊上的點，且DE＝3，BF＝

17、4，將△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如圖2所示)，連接AP，PF，其中PF＝2. (1)求證：PF⊥平面ABED； (2)求點A到平面PBE的距離． 解：(1)證明：在題圖2中，連接EF， 由題意可知，PB＝BC＝AD＝6，PE＝CE＝CD－DE＝9， 在△PBF中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2， 所以PF⊥BF. 在題圖1中，連接EF，作EH⊥AB于點H，利用勾股定理，得EF＝＝， 在△PEF中，EF2＋PF2＝61＋20＝81＝PE2，所以PF⊥EF， 因為BF∩EF＝F，BF?平面ABED，EF?平面ABED，所以PF⊥平面ABED. (2)如圖，連接AE，由(1)知PF⊥平面ABED， 所以PF為三棱錐P-ABE的高． 設點A到平面PBE的距離為h， 因為VA-PBE＝VP-ABE，即××6×9×h＝××12×6×2，所以h＝， 即點A到平面PBE的距離為. - 8 -