2021高考數(shù)學一輪復習 課后限時集訓27 正弦定理、余弦定理 理 北師大版

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1、課后限時集訓27 正弦定理、余弦定理 建議用時：45分鐘 一、選擇題 1．已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，則b等于(　　) A．2　　　　 B．1　　　　 C.　　　　 D. D　[由正弦定理＝，得＝，所以＝，所以b＝.] 2．(2019·成都模擬)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，則B＝(　　) A. B. C. D. A　[由正弦定理得，sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，因為sin B≠0，所以sin Acos C＋sin Ccos

2、 A＝，即sin(A＋C)＝，所以sin B＝.已知a＞b，所以B不是最大角，所以B＝.] 3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若＝，則cos B等于(　　) A．－ B. C．－ D. B　[由正弦定理知＝＝1，即tan B＝， 由B∈(0，π)，所以B＝，所以cos B＝cos ＝，故選B.] 4．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為，則C＝(　　) A. B. C. D. C　[由題可知S△ABC＝absin C＝，所以a2＋b2－c2＝2absin C，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，所以si

3、n C＝cos C．因為C∈(0，π)，所以C＝.故選C.] 5．在△ABC中，若＝，則△ABC的形狀是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 D　[由已知＝＝＝，所以＝或＝0，即C＝90°或＝.當C＝90°時，△ABC為直角三角形．當＝時，由正弦定理，得＝，所以＝，即sin Ccos C＝sin Bcos B，即sin 2C＝sin 2B.因為B，C均為△ABC的內角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形，故選D.] 二、填空題 6．在銳角△ABC中，角A，B所

4、對的邊分別為a，b，若2asin B＝b，則角A＝________. 　[因為2asin B＝b，所以2sin Asin B＝sin B，得sin A＝，所以A＝或A＝.因為△ABC為銳角三角形，所以A＝.] 7．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________. 　[在△ABC中，由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos A·sin C＝，由正弦定理得b＝＝.] 8．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，則△AB

5、C的面積為________． ＋1　[∵b＝2，B＝，C＝， 由正弦定理＝， 得c＝＝＝2，A＝π－＝， ∴sin A＝sin＝sin cos ＋cos sin ＝. 則S△ABC＝bc·sin A＝×2×2×＝＋1.] 三、解答題 9．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－. (1)求b，c的值； (2)求sin(B－C)的值． [解]　(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得 b2＝32＋c2－2×3×c×. 因為b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×. 解得c＝5.所以b＝7. (2)由cos B＝

6、－得sin B＝. 由正弦定理得sin C＝sin B＝. 在△ABC中，∠B是鈍角，所以∠C為銳角． 所以cos C＝＝. 所以sin(B－C)＝sin Bcos C－cos Bsin C＝. 10．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為. (1)求sin Bsin C； (2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周長． [解]　(1)由題設得acsin B＝， 即csin B＝. 由正弦定理，得sin Csin B＝， 故sin Bsin C＝. (2)由題設及(1)，得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，

7、即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝. 由題意得bcsin A＝，a＝3，所以bc＝8. 由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9， 即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝. 故△ABC的周長為3＋. 1．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acos B－c－＝0，a2＝bc，b＞c，則＝(　　) A． B．2 C．3 D． B　[由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B可得acos B＝，又acos B－c－＝0，a2＝bc，所以c＋＝，即2b2－5bc＋2c2＝0，所以有(b－2c)·(2b－c)＝0.所以b＝2c或c＝2b，又

8、b＞c，所以＝2.故選B.] 2．在△ABC中，B＝30°，AC＝2，D是AB邊上的一點，CD＝2，若∠ACD為銳角，△ACD的面積為4，則sin A＝________，BC＝________. 　4　[依題意得S△ACD＝CD·AC·sin∠ACD＝2·sin∠ACD＝4，解得sin∠ACD＝.又∠ACD是銳角，所以cos∠ACD＝.在△ACD中，AD＝＝4.由正弦定理得，＝，即sin A＝＝.在△ABC中，＝，即BC＝＝4.] 3．(2019·西安質檢)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，已知2acos2＋2ccos2＝b. (1)求證：2(a＋c)＝3b；

9、 (2)若cos B＝，S＝，求b. [解]　(1)證明：由已知得， a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝b. 在△ABC中，過B作BD⊥AC，垂足為D， 則acos C＋ccos A＝b. 所以a＋c＝b，即2(a＋c)＝3b. (2)因為cos B＝，所以sin B＝. 因為S＝acsin B＝ac＝，所以ac＝8. 又b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，2(a＋c)＝3b， 所以b2＝－16×，所以b＝4. 1．在△ABC中，三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos C，

10、則c等于(　　) A．2 B．4 C．2 D．3 C　[∵＝2cos C， 由正弦定理， 得sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Ccos C， ∴sin(A＋B)＝sin C＝2sin Ccos C， 由于0＜C＜π，sin C≠0，∴cos C＝，∴C＝， ∵S△ABC＝2＝absin C＝ab，∴ab＝8， 又a＋b＝6，解得或 c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋16－8＝12， ∴c＝2，故選C.] 2．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sin Asin B＝cos2，BC邊上的中線A

11、M的長為. (1)求角A和角B的大??； (2)求△ABC的面積． [解]　(1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc， 得a2－b2－c2＝－bc，∴cos A＝＝， 又0＜A＜π，∴A＝. 由sin Asin B＝cos2， 得sin B＝，即sin B＝1＋cos C， 則cos C＜0，即C為鈍角， ∴B為銳角，且B＋C＝， 則sin＝1＋cos C， 化簡得cos＝－1， 解得C＝，∴B＝. (2)由(1)知，a＝b，在△ACM中， 由余弦定理得AM2＝b2＋2－2b··cos C＝b2＋＋＝()2， 解得b＝2， 故S△ABC＝absin C＝×2×2×＝. 7