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1、課后限時集訓(xùn)60
圓錐曲線中的證明、探索性問題
建議用時：45分鐘
1．(2019·長沙模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且點(diǎn)F1到橢圓C上任意一點(diǎn)的最大距離為3，橢圓C的離心率為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)是否存在斜率為－1的直線l與以線段F1F2為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓相交于C，D，且＝？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．
[解] (1)根據(jù)題意，設(shè)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(－c,0)，(c,0)，由題意可得
解得a＝2，c＝1，則b2＝a2－c2＝3，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)假設(shè)存在斜率為－
2、1的直線l，設(shè)為y＝－x＋m，
由(1)知F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(－1,0)，(1,0)，
所以以線段F1F2為直徑的圓為x2＋y2＝1，
由題意知圓心(0,0)到直線l的距離d＝<1，
得|m|<.
|AB|＝2＝2＝×，
聯(lián)立得 消去y，得7x2－8mx＋4m2－12＝0，
由題意得Δ＝(－8m)2－4×7(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)>0，解得m2<7.
設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，
則x1＋x2＝，x1x2＝，
|CD|＝|x1－x2|＝×
＝×＝×＝|AB|
＝××，解得m2＝<7，得m＝±.
即存在符合條件的直線l，其方程為
3、y＝－x±.
2．(2019·全國卷Ⅲ)已知曲線C：y＝，D為直線y＝－上的動點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.
(1)證明：直線AB過定點(diǎn)；
(2)若以E為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積．
[解] (1)證明：設(shè)D，A(x1，y1)，則x＝2y1.
由于y′＝x，所以切線DA的斜率為x1，故＝x1.
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
設(shè)B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.
故直線AB的方程為2tx－2y＋1＝0.
所以直線AB過定點(diǎn).
(2)由(1)得直線AB的方程為y＝tx＋.
由
可得x2－2tx－1
4、＝0.
于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，
|AB|＝|x1－x2|＝×＝2(t2＋1)．
設(shè)d1，d2分別為點(diǎn)D，E到直線AB的距離，則d1＝，d2＝.
因此，四邊形ADBE的面積S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3).
設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則M.
由于⊥，而＝(t，t2－2)，與向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0.
解得t＝0或t＝±1.
當(dāng)t＝0時，S＝3；當(dāng)t＝±1時，S＝4.
因此，四邊形ADBE的面積為3或4.
3．已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A(－2,0)，B(2,0)，C
5、三點(diǎn)．
(1)求橢圓E的方程；
(2)若直線l：y＝k(x－1)(k≠0)與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，證明直線AM與直線BN的交點(diǎn)在直線x＝4上．
[解] (1)設(shè)橢圓E的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，
將A(－2,0)，B(2,0)，C代入橢圓E的方程，得
解得
∴橢圓E的方程為＋＝1.
(2)證明：將直線l：y＝k(x－1)代入橢圓方程＋＝1并整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.
設(shè)直線l與橢圓E的交點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝，x1x2＝.
消去k2，得2x1x2＝5(x1＋x2)－8.
直線AM的方程為y＝(x＋2)，即y＝(x＋2)．
直線BN的方程為y＝(x－2)，即y＝(x－2)．
由直線AM與直線BN的方程消去y，得
x＝＝＝4.
∴直線AM與直線BN的交點(diǎn)在直線x＝4上．
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