中考數(shù)學(xué)專題總復(fù)習(xí) 專題七 與幾何測量有關(guān)的應(yīng)用試題

專題七　與幾何測量有關(guān)的應(yīng)用 (針對四川中考三角函數(shù)的應(yīng)用) 1．(2017巴中預(yù)測)如圖，天星山山腳下西端A處與東端B處相距800(1＋)米，小軍和小明同時(shí)分別從A處和B處向山頂C勻速行走．已知山的西端的坡角是45，東端的坡角是30，小軍的行走速度為米/秒．若小明與小軍同時(shí)到達(dá)山頂C處，則小明的行走速度是多少？ 解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，設(shè)AD＝x米，小明的行走速度是a米/秒，∵∠A＝45，CD⊥AB，∴AD＝CD＝x米，∴AC＝x.在Rt△BCD中，∵∠B＝30，∴BC＝＝＝2x，∵小軍的行走速度為米/秒．若小明與小軍同時(shí)到達(dá)山頂C處，∴＝，解得a＝1.答：小明的行走速度是1米/秒 2．(導(dǎo)學(xué)號　14952480)(2017廣安預(yù)測)如圖，把一張長方形卡片ABCD放在每格寬度為12 mm的橫格紙中，恰好四個(gè)頂點(diǎn)都在橫格線上，已知∠α＝36，求長方形卡片的周長．(精確到1 mm，參考數(shù)據(jù)：sin36≈0.60，cos36≈0.80，tan36≈0.75) 解： 作BE⊥l于點(diǎn)E，DF⊥l于點(diǎn)F.∵∠α＋∠DAF＝180－∠BAD＝180－90＝90，∠ADF＋∠DAF＝90，∴∠ADF＝∠α＝36.根據(jù)題意，得BE＝24 mm，DF＝48 mm.在Rt△ABE中，sinα＝，∴AB＝≈＝40 mm，在Rt△ADF中，cos∠ADF＝，∴AD＝≈＝60 mm.∴矩形ABCD的周長＝2(40＋60)＝200 mm 3．(導(dǎo)學(xué)號　14952481)(2016深圳)如圖，河壩橫截面背水坡AB的坡角是45，背水坡AB的長度為20米，現(xiàn)在為加固堤壩，將斜坡AB改成坡度為1∶2的斜坡AD(備注：AC⊥CB)． (1)求加固部分即△ABD的橫截面的面積； (2)若該堤壩的長度為100米，某工程隊(duì)承包了這一加固的土石方工程，為搶在汛期到來之前提前完成這一工程，現(xiàn)在每天完成的土石方比原計(jì)劃增加25%，這樣實(shí)際比原計(jì)劃提前10天完成了，求原計(jì)劃每天完成的土石方．(提示：土石方＝橫截面堤壩長度) 解：(1)∵∠ABC＝45，AB＝20，∴AC＝BC＝20.∵AC∶CD＝1∶2，∴CD＝40，BD＝20，∴△ABD的面積＝200 (2)堤壩的土石方總量＝100200＝20 000.設(shè)原計(jì)劃每天完成的土石方為x立方米，則實(shí)際每天完成的土石方為(1＋25%)x，由題意可得：－＝10，解得 x＝400.經(jīng)檢驗(yàn)x＝400是原方程的解．答：原計(jì)劃每天完成的土石方為400立方米 4.(導(dǎo)學(xué)號　14952482)(2016河南模擬)如圖1是安裝在斜屋面上的熱水器，圖2是安裝該熱水器的側(cè)面示意圖．已知，斜屋面的傾角為25，長為2.1米的真空管AB與水平線AD的夾角為40，安裝熱水器的鐵架水平橫管BC長0.2米，求鐵架垂直管CE的長．(結(jié)果精確到0.01米，sin40≈0.6428，cos40≈0.7660，tan25≈0.4663) 解： 如圖：過B作BF⊥AD于F.在Rt△ABF中，∵sin∠BAF＝，∴BF＝ABsin∠BAF＝2.1sin40≈1.350.∴真空管上端B到AD的距離約為1.35米．在Rt△ABF中，∵cos∠BAF＝，∴AF＝ABcos∠BAF＝2.1cos40≈1.609.∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，∴四邊形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD.∴AD＝AF＋FD＝1.809，在Rt△EAD中，∵tan∠EAD＝，∴ED＝ADtan∠EAD＝1.809tan25≈0.844，∴CE＝CD－ED＝1.350－0.844＝0.506≈0.51.∴安裝鐵架垂直管CE的長約為0.51米 5．(導(dǎo)學(xué)號　14952483)(2016內(nèi)江)禁漁期間，我漁政船在A處發(fā)現(xiàn)正北方向B處有一艘可疑船只，測得A，B兩處距離為200海里，可疑船只正沿南偏東45方向航行，我漁政船迅速沿北偏東30方向前去攔截，經(jīng)歷4小時(shí)剛好在C處將可疑船只攔截．求該可疑船只航行的平均速度(結(jié)果保留根號)． 解： 過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，設(shè)BD＝x，則AD＝(200－x)，∵∠ABC＝45，∴BD＝CD＝x，∵∠BAC＝30，∴tan30＝，在Rt△ACD中，則CD＝ADtan30＝(200－x)，則x＝(200－x)，解得x＝100－100，即BD＝100－100，在Rt△BCD中，cos45＝，解得BC＝100－100，則(100－100)4＝25(－)，則該可疑船只的航行速度約為25(－)海里/時(shí) 6．(導(dǎo)學(xué)號　14952484)(2017宜賓預(yù)測)閱讀材料：關(guān)于三角函數(shù)還有如下的公式： sin(αβ)＝sinαcosβcosαsinβ tan(αβ)＝ 利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值． 例：tan75＝tan(45＋30)＝＝＝2＋ 根據(jù)以上閱讀材料，請選擇適當(dāng)?shù)墓浇獯鹣旅鎲栴}： (1)計(jì)算sin15； (2)某校在開展愛國主義教育活動中，來到烈士紀(jì)念碑前緬懷和紀(jì)念為國捐軀的紅軍戰(zhàn)士．李三同學(xué)想用所學(xué)知識來測量如圖紀(jì)念碑的高度．已知李三站在離紀(jì)念碑底7米的C處，在D點(diǎn)測得紀(jì)念碑碑頂?shù)难鼋菫?5，DC為米，請你幫助李三求出紀(jì)念碑的高度． 解：(1)sin15＝sin(45－30)＝sin45cos30－cos45sin30＝－＝　(2)在Rt△BDE中，∵∠BED＝90，∠BDE＝75，DE＝AC＝7米，∴BE＝DEtan∠BDE＝DEtan75.∵tan75＝2＋，∴BE＝7(2＋)＝14＋7，∴AB＝AE＋BE＝＋14＋7＝14＋8(米)．答：紀(jì)念碑的高度為(14＋8)米