2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 分層特訓(xùn)卷 主觀題專(zhuān)練 概率（7） 文
概率(7)
1．[2019·吉林長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)開(kāi)學(xué)考試]針對(duì)國(guó)家提出的延遲退休方案，某機(jī)構(gòu)進(jìn)行了網(wǎng)上調(diào)查，所有參與調(diào)查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如下表所示：
支持
保留
不支持
50歲以下
8 000
4 000
2 000
50歲及以上
1 000
2 000
3 000
(1)在所有參與調(diào)查的人中，按其態(tài)度采用分層抽樣的方法抽取n個(gè)人，已知從持“不支持”態(tài)度的人中抽取了30人，求n的值；
(2)在參與調(diào)查的人中，有10人給這項(xiàng)活動(dòng)打分，打出的分?jǐn)?shù)如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,8.3,9.7，把這10個(gè)人打出的分?jǐn)?shù)看作一個(gè)總體，從中任取一個(gè)數(shù)，求該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值超過(guò)0.6的概率．
解析：(1)參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)為8 000＋4 000＋2 000＋1 000＋2 000＋3 000＝20 000.
因?yàn)槌帧安恢С帧睉B(tài)度的有2 000＋3 000＝5 000(人)，且從其中抽取了30人，所以n＝20 000×＝120.
(2)總體的平均數(shù)＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2＋8.3＋9.7)＝9，
與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值超過(guò)0.6的數(shù)有8.2,8.3,9.7，
所以任取一個(gè)數(shù)，該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值超過(guò)0.6的概率P＝.
2．[2019·安徽示范高中聯(lián)考]某市為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，擬確定一個(gè)合理的月用水量階梯收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定一位居民月用水量不超過(guò)a噸的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出a噸的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了解居民的月均用水量(單位：噸)，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查1 000位居民，并對(duì)收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，具體情況見(jiàn)下表：
月均
用水
量/噸
[0，
0．5)
[0.5，
1)
[1，
1．5)
[1.5，
2)
[2，
2．5)
[2.5，
3)
[3，
3．5)
[3.5，
4)
[4，
4．5)
居民數(shù)
50
80
5x
220
250
80
60
x
20
(1)求x的值，并畫(huà)出頻率分布直方圖；
(2)若該市希望使80%的居民月均用水量不超過(guò)a噸，試估計(jì)a的值，并說(shuō)明理由；
(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該市居民月用水量的平均值．
解析：(1)由已知得6x＝1 000－(50＋80＋220＋250＋80＋60＋20)，解得x＝40.
則月均用水量的頻率分布表為
月均
用水
量/噸
[0，
0．5)
[0.5，
1)
[1，
1．5)
[1.5，
2)
[2，
2．5)
[2.5，
3)
[3，
3．5)
[3.5，
4)
[4，
4．5)
頻率
0.05
0.08
0.20
0.22
0.25
0.08
0.06
0.04
0.02
畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示．
(2)由(1)知前5組的頻率之和為0.05＋0.08＋0.20＋0.22＋0.25＝0.80，故a＝2.5.
(3)由樣本估計(jì)總體，該市居民月用水量的平均值為0.25×0.05＋0.75×0.08＋1.25×0.20＋1.75×0.22＋2.25×0.25＋2.75×0.08＋3.25×0.06＋3.75×0.04＋4.25×0.02＝1.92.
3．[2019·河北唐山摸底]某廠分別用甲、乙兩種工藝生產(chǎn)同一種零件，尺寸(單位：mm)在[223,228]內(nèi)的零件為一等品，其余為二等品，在使用兩種工藝生產(chǎn)的零件中，各隨機(jī)抽取10個(gè)，其尺寸的莖葉圖如圖所示．
(1)分別計(jì)算抽取的用兩種工藝生產(chǎn)的零件尺寸的平均數(shù)；
(2)已知用甲工藝每天可生產(chǎn)300個(gè)零件，用乙工藝每天可生產(chǎn)280個(gè)零件，一等品利潤(rùn)為30元/個(gè)，二等品利潤(rùn)為20元/個(gè)，視頻率為概率，試根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)判斷采用哪種工藝生產(chǎn)該零件每天獲得的利潤(rùn)更高．
解析：(1)使用甲工藝生產(chǎn)的零件尺寸的平均數(shù)甲＝×(217＋218＋222＋225＋226＋227＋228＋231＋233＋234)＝226.1，
使用乙工藝生產(chǎn)的零件尺寸的平均數(shù)乙＝×(218＋219＋221＋224＋224＋225＋226＋228＋230＋232)＝224.7.
(2)由抽樣的樣本可知，用甲工藝生產(chǎn)的零件為一等品的概率為，為二等品的概率為，故采用甲工藝生產(chǎn)該零件每天獲得的利潤(rùn)為W甲＝300××30＋300××20＝7 200(元)；用乙工藝生產(chǎn)的零件為一等品、二等品的概率均為，故采用乙工藝生產(chǎn)該零件每天獲得的利潤(rùn)為W乙＝280××30＋280××20＝7 000(元)．
因?yàn)閃甲>W乙，所以采用甲工藝生產(chǎn)該零件每天獲得的利潤(rùn)更高．
4．[2019·沈陽(yáng)市教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)]為考查某種疫苗預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：
未發(fā)病
發(fā)病
總計(jì)
未注射疫苗
20
x
A
注射疫苗
30
y
B
總計(jì)
50
50
100
現(xiàn)從所有試驗(yàn)動(dòng)物中任取一只，取到“注射疫苗”動(dòng)物的概率為.
(1)求2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x，y，A，B的值；
(2)繪制發(fā)病率的條形統(tǒng)計(jì)圖，并判斷疫苗是否有效？
(3)能夠有多大把握認(rèn)為疫苗有效？
附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d
P(K2≥k0)
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828
解析：(1)設(shè)“從所有試驗(yàn)動(dòng)物中任取一只，取到‘注射疫苗’動(dòng)物”為事件E，由已知得P(E)＝＝，所以y＝10，B＝40，x＝40，A＝60.
(2)未注射疫苗發(fā)病率為＝，注射疫苗發(fā)病率為＝.
發(fā)病率的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，由圖可以看出疫苗影響到發(fā)病率，且注射疫苗的發(fā)病率小，故判斷疫苗有效．
(3)K2＝＝≈16.667>10.828.
所以至少有99.9%的把握認(rèn)為疫苗有效．
5．[2019·南寧市高三畢業(yè)班適應(yīng)性測(cè)試]從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，獲得第i個(gè)家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲(chǔ)蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.
(1)求家庭的月儲(chǔ)蓄對(duì)月收入x的線性回歸方程＝x＋；
(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；
(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄．
解析：(1)由題意知n＝10，＝i＝＝8，＝i＝＝2，
又－n2＝720－10×82＝80，iyi－n ＝184－10×8×2＝24，
由此得＝＝0.3，＝－＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求線性回歸方程為＝0.3x－0.4.
(2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(＝0.3>0)，故x與y之間是正相關(guān)．
(3)將x＝7代入回歸方程可以預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄為＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
6．[2019·河北省六校聯(lián)考]某中學(xué)一教師統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位同學(xué)高三學(xué)年的數(shù)學(xué)成績(jī)(滿(mǎn)分150分)，現(xiàn)有甲、乙兩位同學(xué)的20次成績(jī)的莖葉圖如圖1所示．
(1)根據(jù)莖葉圖求甲、乙兩位同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)，并將圖2中乙同學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖補(bǔ)充完整；
(2)根據(jù)莖葉圖比較甲、乙兩位同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值及穩(wěn)定程度(不要求計(jì)算具體值，給出結(jié)論即可)；
(3)現(xiàn)從甲、乙兩位同學(xué)不低于140分的成績(jī)中任意選出2個(gè)成績(jī)，設(shè)事件A為“其中2個(gè)成績(jī)分別屬于不同的同學(xué)”，求事件A發(fā)生的概率．
解析：(1)甲同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)是119，乙同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)是128.
乙同學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示：
(2)從莖葉圖可以看出，乙同學(xué)成績(jī)的平均值比甲同學(xué)成績(jī)的平均值高，乙同學(xué)的成績(jī)比甲同學(xué)的成績(jī)更穩(wěn)定．
(3)甲同學(xué)不低于140分的成績(jī)有2個(gè)，分別設(shè)為a，b，乙同學(xué)不低于140分的成績(jī)有3個(gè)，設(shè)為c，d，e，
現(xiàn)從甲乙兩位同學(xué)的不低于140分的成績(jī)中任意選出2個(gè)成績(jī)有：(a，b)，(a，c)(a，d)(a，e)(b，c)(b，d)(b，e)(c，d)(c，e)(d，e)共10種，
其中2個(gè)成績(jī)分屬不同同學(xué)的情況有： (a，c)(a，d)(a，e)(b，c)(b，d)(b，e)共6種
因此事件A發(fā)生的概率P(A)＝＝.
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2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)
分層特訓(xùn)卷
主觀題專(zhuān)練
概率7
2020
高考
數(shù)學(xué)
二輪
復(fù)習(xí)
分層
特訓(xùn)卷
主觀題
概率
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概率(7)
1．[2019·吉林長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)開(kāi)學(xué)考試]針對(duì)國(guó)家提出的延遲退休方案，某機(jī)構(gòu)進(jìn)行了網(wǎng)上調(diào)查，所有參與調(diào)查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如下表所示：
支持
保留
不支持
50歲以下
8 000
4 000
2 000
50歲及以上
1 000
2 000
3 000
(1)在所有參與調(diào)查的人中，按其態(tài)度采用分層抽樣的方法抽取n個(gè)人，已知從持“不支持”態(tài)度的人中抽取了30人，求n的值；
(2)在參與調(diào)查的人中，有10人給這項(xiàng)活動(dòng)打分，打出的分?jǐn)?shù)如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,8.3,9.7，把這10個(gè)人打出的分?jǐn)?shù)看作一個(gè)總體，從中任取一個(gè)數(shù)，求該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值超過(guò)0.6的概率．
解析：(1)參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)為8 000＋4 000＋2 000＋1 000＋2 000＋3 000＝20 000.
因?yàn)槌帧安恢С帧睉B(tài)度的有2 000＋3 000＝5 000(人)，且從其中抽取了30人，所以n＝20 000×＝120.
(2)總體的平均數(shù)＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2＋8.3＋9.7)＝9，
與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值超過(guò)0.6的數(shù)有8.2,8.3,9.7，
所以任取一個(gè)數(shù)，該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值超過(guò)0.6的概率P＝.
2．[2019·安徽示范高中聯(lián)考]某市為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，擬確定一個(gè)合理的月用水量階梯收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定一位居民月用水量不超過(guò)a噸的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出a噸的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了解居民的月均用水量(單位：噸)，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查1 000位居民，并對(duì)收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，具體情況見(jiàn)下表：
月均
用水
量/噸
[0，
0．5)
[0.5，
1)
[1，
1．5)
[1.5，
2)
[2，
2．5)
[2.5，
3)
[3，
3．5)
[3.5，
4)
[4，
4．5)
居民數(shù)
50
80
5x
220
250
80
60
x
20
(1)求x的值，并畫(huà)出頻率分布直方圖；
(2)若該市希望使80%的居民月均用水量不超過(guò)a噸，試估計(jì)a的值，并說(shuō)明理由；
(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該市居民月用水量的平均值．
解析：(1)由已知得6x＝1 000－(50＋80＋220＋250＋80＋60＋20)，解得x＝40.
則月均用水量的頻率分布表為
月均
用水
量/噸
[0，
0．5)
[0.5，
1)
[1，
1．5)
[1.5，
2)
[2，
2．5)
[2.5，
3)
[3，
3．5)
[3.5，
4)
[4，
4．5)
頻率
0.05
0.08
0.20
0.22
0.25
0.08
0.06
0.04
0.02
畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示．
(2)由(1)知前5組的頻率之和為0.05＋0.08＋0.20＋0.22＋0.25＝0.80，故a＝2.5.
(3)由樣本估計(jì)總體，該市居民月用水量的平均值為0.25×0.05＋0.75×0.08＋1.25×0.20＋1.75×0.22＋2.25×0.25＋2.75×0.08＋3.25×0.06＋3.75×0.04＋4.25×0.02＝1.92.
3．[2019·河北唐山摸底]某廠分別用甲、乙兩種工藝生產(chǎn)同一種零件，尺寸(單位：mm)在[223,228]內(nèi)的零件為一等品，其余為二等品，在使用兩種工藝生產(chǎn)的零件中，各隨機(jī)抽取10個(gè)，其尺寸的莖葉圖如圖所示．
(1)分別計(jì)算抽取的用兩種工藝生產(chǎn)的零件尺寸的平均數(shù)；
(2)已知用甲工藝每天可生產(chǎn)300個(gè)零件，用乙工藝每天可生產(chǎn)280個(gè)零件，一等品利潤(rùn)為30元/個(gè)，二等品利潤(rùn)為20元/個(gè)，視頻率為概率，試根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)判斷采用哪種工藝生產(chǎn)該零件每天獲得的利潤(rùn)更高．
解析：(1)使用甲工藝生產(chǎn)的零件尺寸的平均數(shù)甲＝×(217＋218＋222＋225＋226＋227＋228＋231＋233＋234)＝226.1，
使用乙工藝生產(chǎn)的零件尺寸的平均數(shù)乙＝×(218＋219＋221＋224＋224＋225＋226＋228＋230＋232)＝224.7.
(2)由抽樣的樣本可知，用甲工藝生產(chǎn)的零件為一等品的概率為，為二等品的概率為，故采用甲工藝生產(chǎn)該零件每天獲得的利潤(rùn)為W甲＝300××30＋300××20＝7 200(元)；用乙工藝生產(chǎn)的零件為一等品、二等品的概率均為，故采用乙工藝生產(chǎn)該零件每天獲得的利潤(rùn)為W乙＝280××30＋280××20＝7 000(元)．
因?yàn)閃甲>W乙，所以采用甲工藝生產(chǎn)該零件每天獲得的利潤(rùn)更高．
4．[2019·沈陽(yáng)市教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)]為考查某種疫苗預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：
未發(fā)病
發(fā)病
總計(jì)
未注射疫苗
20
x
A
注射疫苗
30
y
B
總計(jì)
50
50
100
現(xiàn)從所有試驗(yàn)動(dòng)物中任取一只，取到“注射疫苗”動(dòng)物的概率為.
(1)求2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x，y，A，B的值；
(2)繪制發(fā)病率的條形統(tǒng)計(jì)圖，并判斷疫苗是否有效？
(3)能夠有多大把握認(rèn)為疫苗有效？
附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d
P(K2≥k0)
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828
解析：(1)設(shè)“從所有試驗(yàn)動(dòng)物中任取一只，取到‘注射疫苗’動(dòng)物”為事件E，由已知得P(E)＝＝，所以y＝10，B＝40，x＝40，A＝60.
(2)未注射疫苗發(fā)病率為＝，注射疫苗發(fā)病率為＝.
發(fā)病率的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，由圖可以看出疫苗影響到發(fā)病率，且注射疫苗的發(fā)病率小，故判斷疫苗有效．
(3)K2＝＝≈16.667>10.828.
所以至少有99.9%的把握認(rèn)為疫苗有效．
5．[2019·南寧市高三畢業(yè)班適應(yīng)性測(cè)試]從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，獲得第i個(gè)家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲(chǔ)蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.
(1)求家庭的月儲(chǔ)蓄對(duì)月收入x的線性回歸方程＝x＋；
(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；
(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄．
解析：(1)由題意知n＝10，＝i＝＝8，＝i＝＝2，
又－n2＝720－10×82＝80，iyi－n ＝184－10×8×2＝24，
由此得＝＝0.3，＝－＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求線性回歸方程為＝0.3x－0.4.
(2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(＝0.3>0)，故x與y之間是正相關(guān)．
(3)將x＝7代入回歸方程可以預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄為＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
6．[2019·河北省六校聯(lián)考]某中學(xué)一教師統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位同學(xué)高三學(xué)年的數(shù)學(xué)成績(jī)(滿(mǎn)分150分)，現(xiàn)有甲、乙兩位同學(xué)的20次成績(jī)的莖葉圖如圖1所示．
(1)根據(jù)莖葉圖求甲、乙兩位同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)，并將圖2中乙同學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖補(bǔ)充完整；
(2)根據(jù)莖葉圖比較甲、乙兩位同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值及穩(wěn)定程度(不要求計(jì)算具體值，給出結(jié)論即可)；
(3)現(xiàn)從甲、乙兩位同學(xué)不低于140分的成績(jī)中任意選出2個(gè)成績(jī)，設(shè)事件A為“其中2個(gè)成績(jī)分別屬于不同的同學(xué)”，求事件A發(fā)生的概率．
解析：(1)甲同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)是119，乙同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)是128.
乙同學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示：
(2)從莖葉圖可以看出，乙同學(xué)成績(jī)的平均值比甲同學(xué)成績(jī)的平均值高，乙同學(xué)的成績(jī)比甲同學(xué)的成績(jī)更穩(wěn)定．
(3)甲同學(xué)不低于140分的成績(jī)有2個(gè)，分別設(shè)為a，b，乙同學(xué)不低于140分的成績(jī)有3個(gè)，設(shè)為c，d，e，
現(xiàn)從甲乙兩位同學(xué)的不低于140分的成績(jī)中任意選出2個(gè)成績(jī)有：(a，b)，(a，c)(a，d)(a，e)(b，c)(b，d)(b，e)(c，d)(c，e)(d，e)共10種，
其中2個(gè)成績(jī)分屬不同同學(xué)的情況有： (a，c)(a，d)(a，e)(b，c)(b，d)(b，e)共6種
因此事件A發(fā)生的概率P(A)＝＝.
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