高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題3 突破點6 古典概型與幾何概型 理

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專題三　概率與統(tǒng)計 　　　　　　　　建知識網(wǎng)絡(luò)　明內(nèi)在聯(lián)系　　　 高考點撥]　本專題涉及面廣，往往以生活中的熱點問題為依托，在高考中的考查方式十分靈活，考查內(nèi)容強化“用數(shù)據(jù)說法，用事實說話”，背景容易創(chuàng)新．基于上述分析，本專題按照“用樣本估計總體”“古典概型與幾何概型”“隨機變量及其分布列”“獨立性檢驗與回歸分析”四個方面分類進行引導(dǎo)，強化突破． 突破點6　古典概型與幾何概型 提煉1 古典概型問題的求解技巧 (1)直接列舉：涉及一些常見的古典概型問題時，往往把事件發(fā)生的所有結(jié)果逐一列舉出來，然后進行求解． (2)畫樹狀圖：涉及一些特殊古典概型問題時，直接列舉容易出錯，通過畫樹狀圖，列舉過程更具有直觀性、條理性，使列舉結(jié)果不重、不漏． (3)逆向思維：對于較復(fù)雜的古典概型問題，若直接求解比較困難，可利用逆向思維，先求其對立事件的概率，進而可得所求事件的概率． (4)活用對稱：對于一些具有一定對稱性的古典概型問題，通過列舉基本事件個數(shù)結(jié)合古典概型的概率公式來處理反而比較復(fù)雜，利用對稱思維，可以快速解決. 提煉2 幾何度量法求解幾何概型 準(zhǔn)確確定度量方式和度量公式是求解幾何概型的關(guān)鍵，常見的幾何度量涉及的測度主要包括長度、面積、體積、角度等. 提煉3 求概率的兩種常用方法 (1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率． (2)若一個較復(fù)雜的事件的對立面的分類較少，可考慮利用對立事件的概率公式，即“正難則反”．它常用來求“至少”或“至多”型事件的概率． 回訪1　古典概型 1．(2014全國卷Ⅰ)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為(　　) A.　　　　 B. C. D. D　4名同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動的情況有24＝16(種)，其中僅在周六(周日)參加的各有1種， ∴所求概率為1－＝.] 2．(2013全國卷Ⅱ)從n個正整數(shù)1,2，…，n中任意取出兩個不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為，則n＝________. 8　由題意知n＞4，取出的兩數(shù)之和等于5的有兩種情況：1,4和2,3，所以P＝＝，即n2－n－56＝0，解得n＝－7(舍去)或n＝8.] 回訪2　幾何概型 3．(2016全國乙卷)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是(　　) A.　　　　　　 B. C. D. B　如圖，7：50至8：30之間的時間長度為40分鐘，而小明等車時間不超過10分鐘是指小明在7：50至8：00之間或8：20至8：30之間到達(dá)發(fā)車站，此兩種情況下的時間長度之和為20分鐘，由幾何概型概率公式知所求概率為P＝＝.故選B.] 4．(2016全國甲卷)從區(qū)間0,1]隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(　　) A. B． C. D. C　因為x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在區(qū)間0,1]內(nèi)隨機抽取，所以構(gòu)成的n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，如圖所示．若兩數(shù)的平方和小于1，則對應(yīng)的數(shù)對在扇形OAC內(nèi)(不包括扇形圓弧上的點所對應(yīng)的數(shù)對)，故在扇形OAC內(nèi)的數(shù)對有m個．用隨機模擬的方法可得＝，即＝，所以π＝.] 熱點題型1　古典概型 題型分析：古典概型是高考考查概率的核心，問題背景大多是取球、選人、組數(shù)等，求解的關(guān)鍵是準(zhǔn)確列舉基本事件，難度較小. 　(1)一個袋子中有5個大小相同的球，其中3個白球與2個黑球，先從袋中任意取出一個球，取出后不放回，然后從袋中任意取出一個球，則第一次為白球、第二次為黑球的概率為(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. (2)已知M＝{1,2,3,4}，若a∈M，b∈M，則函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上為增函數(shù)的概率是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：85952027】 A. B． C. D. (1)B　(2)A　(1)設(shè)3個白球分別為a1，a2，a3,2個黑球分別為b1，b2，則先后從中取出2個球的所有可能結(jié)果為(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，(a2，a1)，(a3，a1)，(b1，a1)，(b2，a1)，(a3，a2)，(b1，a2)，(b2，a2)，(b1，a3)，(b2，a3)，(b2，b1)，共20種． 其中滿足第一次為白球、第二次為黑球的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6種，故所求概率為＝.故選B. (2)記事件A為“函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上為增函數(shù)”． 因為f(x)＝ax3＋bx2＋x－3，所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋1. 因為函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，所以f′(x)≥0在R上恒成立． 又a>0，所以Δ＝(2b)2－43a＝4b2－12a≤0在R上恒成立，即a≥. 所以當(dāng)b＝1時，有a≥，故a可取1,2,3,4，共4個數(shù)； 當(dāng)b＝2時，有a≥，故a可取2,3,4，共3個數(shù)； 當(dāng)b＝3時，有a≥3，故a可取3,4，共2個數(shù)； 當(dāng)b＝4時，有a≥，故a無可取值． 綜上，事件A包含的基本事件有4＋3＋2＝9(種)． 又a，b∈{1,2,3,4}，所以(a，b)共有44＝16(種)． 故所求事件A的概率為P(A)＝.故選A.] 利用古典概型求事件概率的關(guān)鍵及注意點 1．關(guān)鍵：正確列舉出基本事件的總數(shù)和待求事件包括的基本事件數(shù)． 2．注意點：(1)對于較復(fù)雜的題目，列出事件數(shù)時要正確分類，分類時應(yīng)不重不漏． (2)當(dāng)直接求解有困難時，可考慮求其對立事件的概率． 變式訓(xùn)練1]　(2016廣州二模)從數(shù)字1,2,3,4,5中任取2個，組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)大于30的概率是(　　) A. B． C. D. C　從數(shù)字1,2,3,4,5中任取2個，組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，共有20種不同結(jié)果．其中這個兩位數(shù)大于30的共有12種不同結(jié)果，故所求事件的概率P＝＝.] 熱點題型2　幾何概型 題型分析：高考試題中幾何概型主要考查線段型和面積型.求解幾何概型的關(guān)鍵是計算線段的長度、平面圖形的面積等，難度較小. 　(1)在區(qū)間0,2]上隨機地取一個數(shù)x，則事件“－1≤log≤1”發(fā)生的概率為(　　) A.　　　 B. C. D. (2)某校早上8：00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：30～7：50之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為__________．(用數(shù)字作答) (1)A　(2)　(1)由－1≤log≤1，得≤x＋≤2，解得0≤x≤，所以事件“－1≤log≤1”發(fā)生的概率為＝，故選A. (2)設(shè)小張和小王到校的時間分別為x和y，則則滿足條件的區(qū)域如圖中陰影部分所示． 故所求概率P＝＝.] 判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法 1．當(dāng)題干涉及兩個變量問題時，一般與面積有關(guān)． 2．當(dāng)題干涉及一個變量問題時，要看變量可以等可能到達(dá)的區(qū)域：若變量在線段上移動，則幾何度量是長度；若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動，則幾何度量是面積(體積)． 提醒：數(shù)形結(jié)合是解決幾何概型問題的常用方法，求解時，畫圖務(wù)必準(zhǔn)確、直觀． 變式訓(xùn)練2]　如圖61，圓C內(nèi)切于扇形AOB，∠AOB＝，若向扇形AOB內(nèi)隨機投擲600個點，則落入圓內(nèi)的點的個數(shù)估計值為(　　) 圖61 A．100　　　　　　 B．200 C．400 D．450 C　如圖，設(shè)OA與圓C相切于點D，連接OC，CD，∠AOB＝，則∠COD＝， 設(shè)圓C的半徑為1，可得OC＝2，所以扇形的半徑為3， 由幾何概型可得點在圓C內(nèi)的概率為P＝＝＝，故向扇形AOB內(nèi)隨機投擲600個點，則落入圓內(nèi)的點的個數(shù)估計為600＝400個．] 熱點題型3　互斥事件與對立事件的概率 題型分析：互斥事件與對立事件的概率常與古典概型等交匯命題，主要考查學(xué)生的分析轉(zhuǎn)化能力，難度中等. 　(2016南昌一模)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4個學(xué)生課余參加學(xué)校社團文學(xué)社與街舞社的活動，每人參加且只能參加一個社團的活動，且參加每個社團是等可能的． (1)求文學(xué)社和街舞社都至少有1人參加的概率； (2)求甲、乙同在一個社團，且丙、丁不同在一個社團的概率． 解]　甲、乙、丙、丁4個學(xué)生課余參加學(xué)校社團文學(xué)社與街舞社的情況如下： 文學(xué)社 街舞社 1 甲乙丙丁 2 甲乙丙 丁 3 甲乙丁 丙 4 甲丙丁 乙 5 乙丙丁 甲 6 甲乙 丙丁 7 甲丙 乙丁 8 乙丙 甲丁 9 甲丁 乙丙 10 乙丁 甲丙 11 丙丁 甲乙 12 甲 乙丙丁 13 乙 甲丙丁 14 丙 甲乙丁 15 丁 甲乙丙 16 甲乙丙丁 共有16種情形，即有16個基本事件.6分 (1)文學(xué)社或街舞社沒有人參加的基本事件有2個， 故所求概率為＝.9分 (2)甲、乙同在一個社團，且丙、丁不同在一個社團的基本事件有4個，故所求概率為＝.12分 1．直接求法：將所求事件分解為一些彼此互斥事件的和，運用互斥事件概率的加法公式計算． 2．間接求法：先求此事件的對立事件，再用公式P(A)＝1－P()求解，即運用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法會較簡便． 提醒：應(yīng)用互斥事件概率的加法公式的前提是確定各個事件是否彼此互斥． 變式訓(xùn)練3]　(名師押題)根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3. (1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率； (2)求該地1位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率． 解]　記事件A為“該車主購買甲種保險”，事件B為“該車主購買乙種保險但不購買甲種保險”，事件C為“該車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種”，事件D為“該車主甲、乙兩種保險都不購買”.4分 (1)由題意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，6分 又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3 ＝0.8.8分 (2)因為D與C是對立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.12分