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第38練 數(shù)形結合思想
[思想方法解讀] 數(shù)形結合是一個數(shù)學思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：①借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質；②借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質．
數(shù)形結合就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結論之間的內在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決．數(shù)形結合的思想，其實質是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖象結合起來，關鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化．在運用數(shù)形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍．
數(shù)學中的知識，有的本身就可以看作是數(shù)形的結合．如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標系或單位圓來定義的．
體驗高考
1．(2015北京)如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
A．{x|－1＜x≤0}
B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1＜x≤1}
D．{x|－1＜x≤2}
答案 C
解析 令g(x)＝y(tǒng)＝log2(x＋1)，作出函數(shù)g(x)的圖象如圖.
由 得
∴結合圖象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1
－1時，
f(x)＝
作出f(x)的大致圖象如圖所示，
由函數(shù)f(x)的圖象可知f(a)＝5，
即a＋1＝5，∴a＝4.
同理，當a≤－1時，－a－1＝5，∴a＝－6.
高考必會題型
題型一 數(shù)形結合在方程根的個數(shù)中的應用
例1 方程sin πx＝的解的個數(shù)是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 C
解析 在同一平面直角坐標系中畫出y1＝sin πx和y2＝的圖象，如下圖：
觀察圖象可知y1＝sin πx和y2＝的圖象在第一象限有3個交點，根據(jù)對稱性可知，在第三象限也有3個交點，在加上原點，共7個交點，所以方程sin πx＝有7個解．
點評 利用數(shù)形結合求方程解應注意兩點
(1)討論方程的解(或函數(shù)的零點)可構造兩個函數(shù)，使問題轉化為討論兩曲線的交點問題，但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準確性、全面性，否則會得到錯解．
(2)正確作出兩個函數(shù)的圖象是解決此類問題的關鍵，數(shù)形結合應以快和準為原則而采用，不要刻意去數(shù)形結合．
變式訓練1 若函數(shù)f(x)＝有且只有兩個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是( )
A．(－4,0) B．(－∞，0]
C．(－4,0] D．(－∞，0)
答案 B
解析 當x>0時，f(x)＝lnx與x軸有一個交點，
即f(x)有一個零點．
依題意，顯然當x≤0時，f(x)＝－kx2也有一個零點，即方程－kx2＝0只能有一個解．
令h(x)＝，g(x)＝kx2，
則兩函數(shù)圖象在x≤0時只能有一個交點．
若k>0，顯然函數(shù)h(x)＝與g(x)＝kx2在x≤0時有兩個交點，即點A與原點O(如圖所示)．
顯然k>0不符合題意．
若k<0，顯然函數(shù)h(x)＝與g(x)＝kx2在x≤0時只有一個交點，
即原點O(如圖所示)．
若k＝0，顯然函數(shù)h(x)＝與g(x)＝kx2在x≤0時只有一個交點，即原點O.
綜上，所求實數(shù)k的取值范圍是(－∞，0]．故選B.
題型二 利用數(shù)形結合解決不等式函數(shù)問題
例2 已知函數(shù)f(x)＝若關于x的方程f(x)＝k有兩個不等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是________．
答案 (0,1)
解析 當x≥2時，f(x)＝，
此時f(x)在[2，＋∞)上單調遞減，
且00，所以由2x(x－a)<1得x－a<＝2－x，在直角坐標系中，作出函數(shù)f(x)＝x－a，g(x)＝2－x在x>0時的圖象，如圖．
當x>0時，g(x)＝2－x<1，所以如果存在x>0，使2x(x－a)<1，則有f(0)<1，即－a<1，即a>－1，所以選D.
題型三 利用數(shù)形結合求最值
例3 已知a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)(b－c)＝0，則|c|的最大值是( )
A．1 B．2
C. D.
答案 C
解析 如圖，
設O＝a，O＝b，O＝c，則C＝a－c，C＝b－c.
由題意知C⊥C，
∴O、A、C、B四點共圓．
∴當OC為圓的直徑時，|c|最大，此時，|O|＝.
點評 利用數(shù)形結合求最值的方法步驟
第一步：分析數(shù)理特征，確定目標問題的幾何意義．一般從圖形結構、圖形的幾何意義分析代數(shù)式是否具有幾何意義．
第二步：轉化為幾何問題．
第三步：解決幾何問題．
第四步：回歸代數(shù)問題．
第五步：回顧反思．
應用幾何意義數(shù)形結合法解決問題需要熟悉常見的幾何結構的代數(shù)形式，主要有：(1)比值——可考慮直線的斜率；(2)二元一次式——可考慮直線的截距；(3)根式分式——可考慮點到直線的距離；(4)根式——可考慮兩點間的距離．
變式訓練3 已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點A(－m,0)，B(m，0)(m>0)，若圓C上存在點P，使得∠APB＝90，則m的最大值為( )
A．7 B．6
C．5 D．4
答案 B
解析 根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，
則圓心C的坐標為(3,4)，半徑r＝1，且|AB|＝2m.
因為∠APB＝90，連接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.
要求m的最大值，
即求圓C上的點P到原點O的最大距離．
因為|OC|＝＝5，
所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，
即m的最大值為6.
高考題型精練
1．若過點A(4,0)的直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是( )
A．[－，] B．(－，)
C．[－，] D．(－，)
答案 C
解析 設直線方程為y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，
直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點，
圓心到直線的距離小于等于半徑，
即d＝≤1，
得4k2≤k2＋1，k2≤.所以－≤k≤.
2．已知f(x)＝|xex|，又g(x)＝f2(x)＋tf(x)(t∈R)，若滿足g(x)＝－1的x有四個，則t的取值范圍為( )
A．(，＋∞) B．(－∞，－)
C．(－，－2) D．(2，)
答案 B
解析 依題意g(x)＝f2(x)＋tf(x)＝－1，
即t＝＝－[f(x)＋]≤－2，
可排除A，C，D.也可以畫出函數(shù)－[f(x)＋]圖象如下圖所示，要有四個交點，則選B.
3．已知函數(shù)f(x)滿足下列關系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②當x∈[－1,1]時，f(x)＝x2，則方程f(x)＝lgx解的個數(shù)是( )
A．5 B．7 C．9 D．10
答案 C
解析 由題意可知，f(x)是以2為周期，值域為[0,1]的函數(shù)．又f(x)＝lgx，則x∈(0,10]，畫出兩函數(shù)圖象，
則交點個數(shù)即為解的個數(shù)．由圖象可知共9個交點．
4．設函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對任意x∈R，都有f(x)＝f(x＋4)，且當x∈[－2,0]時，f(x)＝()x－1，若在區(qū)間(－2,6]內關于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有三個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍是( )
A．(，2) B．(，2)
C．[，2) D．(，2]
答案 B
解析 作出f(x)在區(qū)間(－2,6]上的圖象，
可知loga(2＋2)<3，loga(6＋2)>3?2(由于a4.
8．已知函數(shù)y＝的圖象與函數(shù)y＝kx－2的圖象恰有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是________．
答案 (0,1)∪(1,4)
解析 根據(jù)絕對值的意義，
y＝＝
在直角坐標系中作出該函數(shù)的圖象，
如圖中實線所示．
根據(jù)圖象可知，當0
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考前3個月知識方法專題訓練
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知識方法篇
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高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題10 數(shù)學思想 第38練 數(shù)形結合思想 文
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