高考數(shù)學(xué)（四海八荒易錯集）專題12 空間平行與垂直 文

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專題12 空間平行與垂直 1．α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. ③如果α∥β，m?α，那么m∥β. ④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等． 其中正確的命題有________．(填寫所有正確命題的編號) 答案?、冖邰? 解析　當(dāng)m⊥n，m⊥α，n∥β時，兩個平面的位置關(guān)系不確定，故①錯誤，經(jīng)判斷知②③④均正確，故正確答案為②③④. 2.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，點D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當(dāng)AF＝________時，CF⊥平面B1DF. 答案　a或2a 3．如圖，正方形BCDE的邊長為a，已知AB＝BC，將△ABE沿邊BE折起，折起后A點在平面BCDE上的射影為D點，對翻折后的幾何體有如下描述： ①AB與DE所成角的正切值是； ②AB∥CE； ③VB—ACE是a3； ④平面ABC⊥平面ADC. 其中正確的是________．(填寫你認(rèn)為正確的序號) 答案?、佗邰? 解析　作出折疊后的幾何體的直觀圖如圖所示： ∴CE⊥AD，又BD∩AD＝D，BD?平面ABD， AD?平面ABD， 4.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝a，∠ABC＝60，平面ACEF⊥平面ABCD，四邊形ACEF是平行四邊形，點M在線段EF上． (1)求證：BC⊥平面ACEF； (2)當(dāng)FM為何值時，AM∥平面BDE？證明你的結(jié)論． (1)證明　∵在等腰梯形ABCD中， AB∥CD，AD＝DC＝a，∠ABC＝60， ∴△ADC是等腰三角形，且∠BCD＝∠ADC＝120， ∴∠DCA＝∠DAC＝30，∴∠ACB＝90，即BC⊥AC. 又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD＝AC，BC?平面ABCD， ∴BC⊥平面ACEF. (2)解　當(dāng)FM＝a時，AM∥平面BDE. 證明如下： 5．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1. 求證：(1)直線DE∥平面A1C1F； (2)平面B1DE⊥平面A1C1F. 證明　(1)由已知，DE為△ABC的中位線， ∴DE∥AC，又由三棱柱的性質(zhì)可得AC∥A1C1， ∴DE∥A1C1， 且DE?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F， ∴DE∥平面A1C1F. (2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1， ∴AA1⊥A1C1， 又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1， ∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D?平面ABB1A1， ∴A1C1⊥B1D， 又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1， ∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D?平面B1DE， ∴平面B1DE⊥平面A1C1F. 6．如圖1，在正△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC邊上的點，且BE＝AF＝2CF.點P為邊BC上的點，將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，連接A1B，A1P，EP，如圖2所示． (1)求證：A1E⊥FP； (2)若BP＝BE，點K為棱A1F的中點，則在平面A1FP上是否存在過點K的直線與平面A1BE平行，若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由． (1)證明　在正△ABC中，取BE的中點D，連接DF，如圖1. 圖1 所以A1E⊥平面BEFC. 因為FP?平面BEFC，所以A1E⊥FP. (2)解　在平面A1FP上存在過點K的直線與平面A1BE平行． 理由如下： 如圖1，在正△ABC中，因為BP＝BE，BE＝AF，所以BP＝AF，所以FP∥AB， 所以FP∥BE. 如圖2，取A1P的中點M，連接MK， 圖2 易錯起源1、空間線面位置關(guān)系的判定 例1、(1)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是(　　) A．l與l1，l2都不相交 B．l與l1，l2都相交 C．l至多與l1，l2中的一條相交 D．l至少與l1，l2中的一條相交 (2)關(guān)于空間兩條直線a、b和平面α，下列命題正確的是(　　) A．若a∥b，b?α，則a∥α B．若a∥α，b?α，則a∥b C．若a∥α，b∥α，則a∥b D．若a⊥α，b⊥α，則a∥b 答案　(1)D　(2)D 解析　(1)若l與l1，l2都不相交，則l∥l1，l∥l2，∴l(xiāng)1∥l2，這與l1和l2異面矛盾，∴l(xiāng)至少與l1，l2中的一條相交． (2)線面平行的判定定理中的條件要求a?α，故A錯；對于線面平行，這條直線與面內(nèi)的直線的位置關(guān)系可以平行，也可以異面，故B錯；平行于同一個平面的兩條直線的位置關(guān)系：平行、相交、異面都有可能，故C錯；垂直于同一個平面的兩條直線是平行的，故D正確，故選D. 【變式探究】設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，給出下列四個命題： ①若m∥n，m⊥β，則n⊥β；②若m∥α，m∥β，則α∥β； ③若m∥n，m∥β，則n∥β；④若m∥α，m⊥β，則α⊥β. 其中真命題的個數(shù)為(　　) A．1B．2C．3D．4 答案　B 【名師點睛】 解決空間點、線、面位置關(guān)系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，必要時可以利用正方體、長方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中． 【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】 空間線面位置關(guān)系判斷的常用方法 (1)根據(jù)空間線面平行、垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐項判斷來解決問題； (2)必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線面位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理來進(jìn)行判斷． 易錯起源2、空間平行、垂直關(guān)系的證明 例2、如圖，三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3. (1)證明：BC∥平面PDA； (2)證明：BC⊥PD； (3)求點C到平面PDA的距離． (1)證明　因為四邊形ABCD是長方形， 所以BC∥AD，因為BC?平面PDA，AD?平面PDA， 所以BC∥平面PDA. (2)證明　因為四邊形ABCD是長方形，所以BC⊥CD，因為平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD， 所以BC⊥平面PDC， 因為PD?平面PDC，所以BC⊥PD. (3)解　如圖，取CD的中點E，連接AE和PE. 因為PD＝PC，所以PE⊥CD， 在Rt△PED中，PE＝＝＝. 因為平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE?平面PDC， 所以PE⊥平面ABCD. 由(2)知：BC⊥平面PDC， 由(1)知：BC∥AD， 所以AD⊥平面PDC， 因為PD?平面PDC，所以AD⊥PD. 設(shè)點C到平面PDA的距離為h， 因為V三棱錐C—PDA＝V三棱錐P—ACD， 所以S△PDAh＝S△ACDPE， 即h＝＝＝， 所以點C到平面PDA的距離是. 【變式探究】如圖，在四棱錐P—ABCD中，AD∥BC，且BC＝2AD，AD⊥CD，PB⊥CD，點E在棱PD上，且PE＝2ED. (1)求證：平面PCD⊥平面PBC； (2)求證：PB∥平面AEC. 因為AD∥BC，所以△ADO∽△CBO， 所以DO∶OB＝AD∶BC＝1∶2，又PE＝2ED， 所以O(shè)E∥PB，又OE?平面AEC，PB?平面AEC， 所以PB∥平面AEC. 【名師點睛】 垂直、平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線垂直和線線平行，常用方法如下： (1)證明線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時和第三條直線平行；二是利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換；三是利用三角形的中位線定理證線線平行；四是利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換． (2)證明線線垂直常用的方法：①利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì)；②勾股定理；③線面垂直的性質(zhì)：即要證兩線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在的平面即可，l⊥α，a?α?l⊥a. 【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】 空間平行、垂直關(guān)系證明的主要思想是轉(zhuǎn)化，即通過判定、性質(zhì)定理將線線、線面、面面之間的平行、垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化． 易錯起源3、平面圖形的折疊問題 例3、如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB＝60，點E，F(xiàn)分別是邊CD，CB的中點，AC∩EF＝O，沿EF將△CEF翻折到△PEF，連接PA，PB，PD，得到如圖的五棱錐P—ABFED，且PB＝. (1)求證：BD⊥PA； (2)求四棱錐P—BFED的體積． (2)解　設(shè)AO∩BD＝H.連接BO，∵∠DAB＝60， ∴△ABD為等邊三角形， ∴BD＝4，BH＝2，HA＝2，HO＝PO＝， 在Rt△BHO中，BO＝＝， 在△PBO中，BO2＋PO2＝10＝PB2，∴PO⊥BO. ∵PO⊥EF，EF∩BO＝O，EF?平面BFED，BO?平面BFED， ∴PO⊥平面BFED， 梯形BFED的面積S＝(EF＋BD)HO＝3， ∴四棱錐P—BFED的體積 V＝SPO＝3＝3. 【變式探究】如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝60，∠BAC＝90，AD是BC上的高，沿AD將△ABC折成60的二面角B—AD—C，如圖2. (1)證明：平面ABD⊥平面BCD； (2)設(shè)點E為BC的中點，BD＝2，求異面直線AE和BD所成的角的大?。? 所以∠AEF為異面直線AE與BD所成的角． 連接AF，DE，由BD＝2，則EF＝1，AD＝2，CD＝6，DF＝3. 在Rt△ADF中，AF＝＝. 在△BCD中，由題設(shè)∠BDC＝60， 【名師點睛】 (1)折疊問題中不變的數(shù)量和位置關(guān)系是解題的突破口； (2)存在探索性問題可先假設(shè)存在，然后在此前提下進(jìn)行邏輯推理，得出矛盾或肯定結(jié)論． 【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】 平面圖形經(jīng)過翻折成為空間圖形后，原有的性質(zhì)有的發(fā)生變化、有的沒有發(fā)生變化，這些發(fā)生變化和沒有發(fā)生變化的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．一般地，在翻折后還在一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化，解決這類問題就是要根據(jù)這些變與不變，去研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和各類幾何量的度量值，這是化解翻折問題的主要方法． 1．l1，l2表示空間中的兩條直線，若p：l1，l2是異面直線，q：l1，l2不相交，則(　　) A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件 B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件 C．p是q的充分必要條件 D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件 答案　A 解析　由l1，l2是異面直線，可得l1，l2不相交，所以p?q；由l1，l2不相交，可得l1，l2是異面直線或l1∥l2，所以q?p.所以p是q的充分條件，但不是q的必要條件．故選A. 2．設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩條不同的直線，l是平面α外的一條直線，則“l(fā)⊥a，l⊥b”是“l(fā)⊥α”的(　　) A．充要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件 答案　C 3．設(shè)m，n是空間兩條直線，α，β是空間兩個平面，則下列命題中不正確的是(　　) A．若m?α，n∥α，則n∥m B．若m?α，m⊥β，則α⊥β C．若n⊥α，n⊥β，則α∥β D．若m?α，n⊥α，則m⊥n 答案　A 解析　A中，若m?α，n∥α，則n∥m或m，n異面．故不正確；B，C，D均正確．故選A. 4．將正方體的紙盒展開如圖，直線AB、CD在原正方體的位置關(guān)系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交成60角 D．異面且成60角 答案　D 解析　如圖，直線AB，CD異面．因為CE∥AB，所以∠ECD即為直線AB，CD所成的角，因為△CDE為等邊三角形，故∠ECD＝60. 5．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45，∠BAD＝90，將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A－BCD.則在三棱錐A－BCD中，下列命題正確的是(　　) A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC 答案　D 6．如圖，在空間四邊形ABCD中，點M∈AB，點N∈AD，若＝，則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是________． 答案　平行 解析　由＝，得MN∥BD. 而BD?平面BDC，MN?平面BDC， 所以MN∥平面BDC. 7．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為線段B1D1上的一個動點，則下列結(jié)論中正確的是________．(填序號) ①AC⊥BE； ②B1E∥平面ABCD； ③三棱錐E－ABC的體積為定值； ④直線B1E⊥直線BC1. 答案?、佗冖? 解析　因AC⊥平面BDD1B1，故①正確；因B1D1∥平面ABCD，故②正確；記正方體的體積為V，則VE－ABC＝V，為定值，故③正確；B1E與BC1不垂直，故④錯誤． 8．下列四個正方體圖形中，點A，B為正方體的兩個頂點，點M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是________(寫出所有符合要求的圖形序號)． 答案　①③ 解析　對于①，注意到該正方體的面中過直線AB的側(cè)面與平面MNP平行，因此直線AB平行于平面 9．如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點M，N，P分別為棱AB，BC，C1D1的中點． 求證：(1)AP∥平面C1MN； (2)平面B1BDD1⊥平面C1MN. 證明　(1)在正方體ABCD—A1B1C1D1中， 因為點M，P分別為棱AB，C1D1的中點， 所以AM＝PC1. 又AM∥CD，PC1∥CD，故AM∥PC1， 所以四邊形AMC1P為平行四邊形． 從而AP∥C1M， 又AP?平面C1MN，C1M?平面C1MN， 所以AP∥平面C1MN. (2)連接AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD. 又點M，N分別為棱AB，BC的中點，故MN∥AC. 所以MN⊥平面B1BDD1， 又MN?平面C1MN， 所以平面B1BDD1⊥平面C1MN. 10．一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示． (1)請將字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點處(不需說明理由)； (2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系．并證明你的結(jié)論； (3)證明：直線DF⊥平面BEG. (1)解　點F，G，H的位置如圖所示． 又CH?平面ACH，BE?平面ACH， 所以BE∥平面ACH. 同理BG∥平面ACH， 又BE∩BG＝B， 所以平面BEG∥平面ACH. (3)證明　連接FH，BD. 因為ABCD—EFGH為正方體，