高考數學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題4 三角函數與平面向量 第19練 平面向量中的線性問題 文

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第19練　平面向量中的線性問題 [題型分析高考展望]　平面向量是初等數學的重要內容，兼具代數和幾何的“雙重特性”，是解決代數問題和幾何問題的有力工具，與很多知識聯系較為密切，是高考命題的熱點．多與其他知識聯合命題，題型有選擇題、填空題、解答題，掌握好向量的基本概念、基本運算性質是解題的關鍵． 體驗高考 1．(2015課標全國Ⅰ)設D為△ABC所在平面內一點，＝3，則(　　) A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ 答案　A 解析　∵＝3，∴－＝3(－)， 即4－＝3，∴＝－＋. 2．(2016課標全國甲)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，則m等于(　　) A．－8 B．－6 C．6 D．8 答案　D 解析　由題知a＋b＝(4，m－2)，因為(a＋b)⊥b，所以(a＋b)b＝0， 即43＋(－2)(m－2)＝0，解之得m＝8，故選D. 3．(2016山東)已知非零向量m，n滿足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，則實數t的值為(　　) A．4 B．－4 C. D．－ 答案　B 解析　∵n⊥(tm＋n)， ∴n(tm＋n)＝0，即tmn＋|n|2＝0， ∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，又4|m|＝3|n|， ∴t|n|2＋|n|2＝0，解得t＝－4，故選B. 4．(2015北京)在△ABC中，點M，N滿足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝________；y＝________. 答案　?。? 解析?。剑剑? ＝＋(－) ＝－，∴x＝，y＝－. 高考必會題型 題型一　平面向量的線性運算及應用 例1　(1)在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且＝3，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，則x的取值范圍是(　　) A. B. C. D. (2)已知在△ABC中，D是AB邊上的一點，若＝2，＝＋λ，則λ＝________. 答案　(1)D　(2) 解析　(1)設＝y， ∵＝＋ ＝＋y＝＋y(－) ＝－y＋(1＋y). ∵＝3，點O在線段CD上(與點C，D不重合)， ∴y∈， ∵＝x＋(1－x)， ∴x＝－y，∴x∈. (2)因為＝2，＝＋λ，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝. 點評　平面向量的線性運算應注意三點 (1)三角形法則和平行四邊形法則的運用條件． (2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線． (3)＝λ＋μ(λ，μ為實數)，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1. 變式訓練1　(1)如圖，兩塊全等的直角邊長為1的等腰直角三角形拼在一起，若＝λ＋k，則λ＋k等于(　　) A．1＋ B．2－ C．2 D.＋2 (2)在△ABC中，＋＋＝0，＝a，＝b.若＝ma，＝nb，CG∩PQ＝H，＝2，則＋＝________. 答案　(1)A　(2)6 解析　(1)根據向量的基本定理可得， ＝＋＝＋(－) ＝＋(－) ＝＋－ (－) ＝＋， 所以λ＝，k＝1＋， 所以λ＋k＝1＋.故選A. (2)由＋＋＝0，知點G為△ABC的重心，取AB的中點D(圖略)，則＝＝＝(＋)＝＋，由P，H，Q三點共線，得＋＝1，則＋＝6. 題型二　平面向量的坐標運算 例2　(1)已知點A(－3,0)，B(0，)，點O為坐標原點，點C在第二象限，且∠AOC＝30，＝λ＋，則實數λ的值為________． 答案　1 解析　由題意知＝(－3,0)，＝(0，)， 則＝(－3λ，)， 由∠AOC＝30，知∠xOC＝150， ∴tan 150＝，即－＝－，∴λ＝1. (2)平面內給定三個向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，請解答下列問題： ①求滿足a＝mb＋nc的實數m，n； ②若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數k； ③若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d. 解　①由題意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)， ∴得 ②a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， ∵(a＋kc)∥(2b－a)， ∴2(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，∴k＝－. ③設d＝(x，y)，則d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)， 由題意得 解得或∴d＝(3，－1)或d＝(5,3)． 點評　(1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(a≠0)，則b＝λa. (2)向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數．當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應成比例來求解． (3)向量的坐標運算主要是利用加法、減法、數乘運算法則進行．若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則． 變式訓練2　(1)如圖所示，在△ABC中，D為AB的中點，F在線段CD上，設＝a，＝b，A＝xa＋yb，則＋的最小值為(　　) A．8＋2 B．8 C．6 D．6＋2 (2)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若點A、B、C能構成三角形，則實數m滿足的條件是________． 答案　(1)B　(2)m≠ 解析　(1)因為點D為AB的中點，所以＝2， 因為＝xa＋yb，所以＝2x＋y. 因為點F在線段CD上，所以2x＋y＝1，又x，y＞0， 所以＋＝(2x＋y) ＝4＋＋≥4＋2＝8， 當且僅當y＝2x＝時取等號， 所以＋的最小值為8. (2)因為＝(3，－4)，＝(6，－3)， ＝(5－m，－3－m)， 所以＝(3,1)，＝(－m－1，－m)． 由于點A、B、C能構成三角形，所以與不共線， 而當與共線時，有＝，解得m＝， 故當點A、B、C能構成三角形時， 實數m滿足的條件是m≠. 高考題型精練 1．設a是非零向量，λ是非零實數，下列結論中正確的是(　　) A．a與λa的方向相反 B．a與λ2a的方向相同 C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a 答案　B 解析　對于A，當λ＞0時，a與λa的方向相同，當λ＜0時，a與λa的方向相反，B正確；對于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不確定，故|－λa|與|a|的大小關系不確定；對于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示長度，兩者不能比較大?。? 2．設點M是△ABC所在平面上的一點，且＋＋＝0，點D是AC的中點，則的值為(　　) A. B. C．1 D．2 答案　A 解析　∵D是AC的中點，延長MD至E， 使得DE＝MD， ∴四邊形MAEC為平行四邊形， ∴＝＝(＋)． ∵＋＋＝0， ∴＝－(＋)＝－3， ∴＝＝， 故選A. 3．已知點A(－3,0)，B(0,2)，點O為坐標原點，點C在∠AOB內，|OC|＝2，且∠AOC＝，設＝λ＋(λ∈R)，則λ的值為(　　) A．1 B. C. D. 答案　D 解析　過點C作CE⊥x軸于點E(圖略)． 由∠AOC＝，知|OE|＝|CE|＝2， 所以＝＋＝λ＋， 即＝λ， 所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝. 4．在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是(　　) A．矩形 B．平行四邊形 C．梯形 D．以上都不對 答案　C 解析　由已知，得＝＋＋＝－8a－2b ＝2(－4a－b)＝2，故∥. 又因為與不平行，所以四邊形ABCD是梯形． 5．設向量a，b滿足|a|＝2，b＝(2,1)，則“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的(　　) A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　C 解析　若a＝(4,2)，則|a|＝2，且a∥b都成立； ∵a∥b，設a＝λb＝(2λ，λ)，由|a|＝2，知 4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4，∴λ＝2， ∴a＝(4,2)或a＝(－4，－2)． 因此“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的充分不必要條件． 6．在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，點E為BC的中點，則等于(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案　A 解析?。剑剑?， ＝＋＝＋＝＋ ＝＋. 7．給出下列命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b； ②若A，B，C，D是不共線的四點，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件； ③若a＝b，b＝c，則a＝c； ④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b； ⑤若a∥b，b∥c，則a∥c. 其中正確命題的序號是(　　) A．②③ B．①② C．③④ D．④⑤ 答案　A 解析?、俜较虿灰欢ㄏ嗤虎芊较蚩赡芟喾?；⑤若b＝0，則不對． 8．在矩形ABCD中，O是對角線的交點，若＝5e1，＝3e2，則＝________.(用e1，e2表示) 答案　(5e1＋3e2) 解析　在矩形ABCD中，因為點O是對角線的交點， 所以＝＝(＋)＝(＋) ＝(5e1＋3e2)． 9．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________. 答案　 解析　依題意得， ＝＋＋＝＋－ ＝＋， ＝＋＝＋. 又＝λ＋μ， 于是有＝λ＋μ ＝＋. 又與不共線，因此有 由此解得λ＝－，μ＝－2λ，所以λ＋μ＝－λ＝. 10.已知點G是△ABC的外心，，，是三個單位向量，且2＋＋＝0，如圖所示，△ABC的頂點B，C分別在x軸的非負半軸和y軸的非負半軸上移動，點O是坐標原點，則||的最大值為________． 答案　2 解析　因為點G是△ABC的外心，且2＋＋＝0，所以點G是BC的中點，△ABC是直角三角形，且∠BAC是直角．又，，是三個單位向量，所以BC＝2，又△ABC的頂點B，C分別在x軸的非負半軸和y軸的非負半軸上移動，所以點G的軌跡是以原點為圓心、1為半徑的圓弧．又||＝1，所以當OA經過BC的中點G時，||取得最大值，且最大值為2||＝2. 11．設e1，e2是兩個不共線的向量，已知＝2e1－8e2， ＝e1＋3e2，＝2e1－e2. (1)求證：A，B，D三點共線； (2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三點共線，求k的值． (1)證明　由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， ∵＝2e1－8e2，∴＝2. 又∵與有公共點B，∴A，B，D三點共線． (2)解　由(1)可知＝e1－4e2， ∵＝3e1－ke2，且B，D，F三點共線， ∴＝λ (λ∈R)， 即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得解得k＝12. 12．已知點O為坐標原點，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2. (1)求點M在第二或第三象限的充要條件； (2)求證：當t1＝1時，不論t2為何實數，A，B，M三點都共線； (3)若t1＝a2，求當⊥且△ABM的面積為12時，a的值． (1)解　＝t1＋t2 ＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)． 當點M在第二或第三象限時， 有 故所求的充要條件為t2<0且t1＋2t2≠0. (2)證明　當t1＝1時， 由(1)知＝(4t2,4t2＋2)． ∵＝－＝(4,4)， ＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2， 又∵與有公共點A， ∴不論t2為何實數，A，B，M三點共線． (3)解　當t1＝a2時，＝(4t2,4t2＋2a2)． 又＝(4,4)，⊥， ∴4t24＋(4t2＋2a2)4＝0， ∴t2＝－a2，故＝(－a2，a2)． ||＝4， 點M到直線AB：x－y＋2＝0的距離 d＝＝|a2－1|. ∵S△ABM＝12， ∴|AB|d＝4|a2－1|＝12， 解得a＝2，故所求a的值為2.