中考數(shù)學(xué) 知識點聚焦 第八章 不等式與不等式組

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第八章不等式與不等式組 考情分析 高頻考點 考查頻率 所占分值 1.不等式的性質(zhì) 2.一元一次不等式的解法 3.一元一次不等式的特殊解 4.一元一次不等式的應(yīng)用 5.由實際問題抽象出一元一次不等式 6.解一元一次不等式組 7.一元一次不等式組的特殊解 8.在數(shù)軸上表示不等式（組）的解集 ★ ★ ★ ★★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 3～10分 知能圖譜 第17講一元一次不等式 知識能力解讀 知能解讀（一）不等式的有關(guān)概念 1不等式的定義 用符號“”或“”表示大小關(guān)系的式子，叫作不等式.像這樣用符號“”表示不等關(guān)系的式子也是不等式. 注意 （1）方程與不等式的區(qū)別：方程表示的是相等關(guān)系，不旁式表示的是不等關(guān)系. （2）常用的不等號有“”五種.“”“”不僅表示左右兩邊的不等關(guān)系，還明確表示左右兩邊的大小；“”“”也表示不等關(guān)系，前者表示“不小于”(大于或等于），后者表示“不大于”(小于或等于）；“”表示左右兩邊不相等. 2不等式的解、解集 不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值叫作不等式的解. 不等式的解集：一般地，一個含有未知數(shù)的不等 式的所有的解，組成這個不等式的解集. 不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來，是數(shù)形結(jié)合的具體表現(xiàn). 一般來說，不等式的解集用數(shù)軸表示有以下四種情況： 不等式表示 數(shù)軸表示 注意 （1）不等式的解與不等式的解集的區(qū)別與聯(lián)系：不等式的解是指滿足這個不等式的未知數(shù)的某個值，而不等式的解集是指滿足這個不等式的未知數(shù)的所有的值,故不等式的所有解組成了這個不等式的解集，不等式的解集中包括這個不等式的每一個解. （2）用數(shù)軸表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等號畫實心圓點，無等號畫空心圓圖. 3解不等式 求不等式的解集的過程叫作解不等式. 知能讀解（二）不等式的性質(zhì) 性質(zhì) 文字語言 數(shù)學(xué)語言 性質(zhì)1 不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變 如果，那么 性質(zhì)2 不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變 如果，，那么（或） 性質(zhì)3 不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變 如果，，那么（或） 點撥 （1）運用不等式的性質(zhì)對不等式進行變形時，要特別注意性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別，在乘（或除以）同一個數(shù)時，必須先弄清這個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)，如果是負數(shù)，不等號的方向要改變. （2）不等式性質(zhì)的拓展： ①對稱性：如果，那么. ②傳遞性：如果，那么. ③同向相加性：如果，，那么. 知能解讀（三）一元一次不等式的概念 不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，像這樣的不等式叫一元一次不等式.如“”或“”，其中是未知數(shù)，是已知數(shù)，并且. 或是一元一次不等式的標準形式. 例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式. 注意 一元一次不等式的四點標準：（1）是不等式；（2）只含有一個未知數(shù)；（3）不等號兩邊的代數(shù)式；(4)未知數(shù)的最高次數(shù)是1. 知能解讀（四）一元一次不等式的解法 一元一次方程的解法與一元一次不等式的解法既有聯(lián)系又有區(qū)別，具體如下表： 一元一次方程 一元一次不等式 解法的依據(jù) 方程得兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），方程的解不變 方程的兩邊乘（或除以）同一個不為零的數(shù)，方程的解不變 不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變 不等式的兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變 不等式的兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變 解法的步驟 ①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤未知數(shù)的系數(shù)化為1 ①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤未知數(shù)的系數(shù)化為1 在步驟①和步驟⑤中，如果乘數(shù)（或除以）是負數(shù)，不等號要改變方向 解得情況 一元一次方程只有一個解 一元一次不等式可以有無數(shù)多個解 知能解讀（五）列一元一次不等式解決實際問題 列不等式解應(yīng)用題的基本步驟與列方程解應(yīng)用題的步驟類似，即 （1）審：認真審題，分清已知量、未知量及其關(guān)系，找出題中不等關(guān)系，要抓住題設(shè)中的關(guān)鍵“字眼”，如“大于”“小于”“不小于”“不大于”“至少”“最多”等. （2）設(shè)：設(shè)出適當?shù)奈粗獢?shù),并用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出題目中涉及的量. （3）列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式. （4）解：解出所列不等式的解集. （5）驗：檢驗答案是否符合題意. （6）答：寫出答案. 在以上步驟中，審題是基礎(chǔ)，根據(jù)題意找出不等關(guān)系是關(guān)鍵，而根據(jù)不等關(guān)系列出不等式又是解題難點.以上過程可簡單表述為: . 方法技巧歸納 方法技巧（一）用不等式表示數(shù)量間的不等關(guān)系 首先列出有關(guān)的代數(shù)式，其中把所列的代數(shù)式用不等號連接.關(guān)鍵是把題中的文字語言正確轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言. 點撥 列不等式時，先用代數(shù)式表示其中的相關(guān)量，再把關(guān)鍵詞找出來，用不等號表示不等關(guān)系. 方法技巧（二）不等式的性質(zhì)的應(yīng)用 根據(jù)不等式的性質(zhì)，可以將一個不等式變形，尤其要注意性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別，當不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)時，不等號的方向要改變. 方法技巧（三）一元一次不等式的解法 解一元一次不等式與解一元一次方程的方法步驟類似，注意在利用不等式的性質(zhì)3對不等式進行變形時，要改變不等號的方向.解一元一次不等式各個步驟的根據(jù)、做法、注意事項如下： (1)去分母：根據(jù)不等式的性質(zhì)2、3. 做法：不等式兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù). 注意 （1）不要漏乘不含分母的項. （2）分子是一個代數(shù)式時，分數(shù)線有括號的作用，去分母后，應(yīng)作為一個整體加上括號. （3）不等式兩邊乘同一個負數(shù)時，不等號的方向改變 （2）去括號：根據(jù)去括號法則、乘法分配率. 注意 （1）一個數(shù)乘多項式時，不要漏乘括號里的任一項. （2）不要出現(xiàn)符號的錯誤. （3）移項：根據(jù)移項法則. 做法：把含有未知數(shù)的移項到不等式的一邊，其他移項都移到不等式的另一邊. 注意 移項時該項要變號，不要漏項. （4）合并同類項：根據(jù)合并同類項法則. 做法：系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變，把不等式化成或的形式. （5）系數(shù)化為1：根據(jù)不等式的性質(zhì)2、3. 做法：不等式兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù). 注意 （1）不要把分子、分母搞顛倒. （2）不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)時，不等號的方向要改變. 點撥 在利用不等式的性質(zhì)3時，注意不等號的方向要改變. 點撥 因為的系數(shù)不確定，所以要分情況討論，體現(xiàn)了分類討論思想. 方法技巧（四）一元一次不等式的應(yīng)用 1求不等式特殊解的方法 此類題目把不等式的知識與其他知識綜合到一起進行考查，綜合性強、難度大，一般應(yīng)先根據(jù)題意列出符合條件的不等式，再去求解集，然后根據(jù)題目條件找出相應(yīng)的解. 點撥 首先應(yīng)根據(jù)題中所給的不等關(guān)系，列出能夠反映本題意義的不等式，要注意“不小于”“不大于”“大于”“小于”等關(guān)鍵性詞語，然后再解不等式，并找出符合“非負整數(shù)”條件的.注意可借助數(shù)軸直觀找出適合的解，以防重解或漏解. 2根據(jù)不等式解集的情況，確定不等式中某個參數(shù)的范圍 點撥 解決本題的關(guān)鍵是解一元一次不等式和利用數(shù)形結(jié)合思想分析題意. 方法技巧（五）列一元一次不等式解應(yīng)用題的技巧 應(yīng)用一元一次不等式解決實際問題，需要認真審題，準確把握問題中的數(shù)量關(guān)系，尤其是不等關(guān)系，更要抓住題目中的關(guān)鍵詞，設(shè)出未知數(shù)，列出不等式，從而解決問題. 點撥 本題是一元一次不等式與二元一次方程組的綜合應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系與不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵. 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.應(yīng)用不等式的性質(zhì)時出錯. 根據(jù)不等式的性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)時，不等號的方向應(yīng)改變，而在解題中易忽略這一點. 2.混淆非負整數(shù)解與正整數(shù)解，導(dǎo)致出錯. 在求不等式的特殊解時，對“非負整數(shù)解”概念理解不清，易忘掉0. 易混易錯(一)不等式兩邊同乘一個字母時沒有分類討論 易混易錯(二)求不等式的特殊解時易丟掉某些解 易混易錯(三)解不等式去分母時易漏乘不含分母的項 易混易錯(四)應(yīng)用不等式的性質(zhì)3時容易出錯 易混易錯(五)應(yīng)用不等式的特殊解求某個字母的取值范圍時出錯 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講主要考點有不等式的性質(zhì)、一元一次不等式的解法、求不等式的特殊解及與實際生活密切聯(lián)系的不等式應(yīng)用題，題型有選擇題、填空題、解答題，近幾年，決策類及與函數(shù)等知識相聯(lián)系的應(yīng)用題備受關(guān)注. 中考試題（一）解不等式 點撥 去分母時，注意不含分母的項也要乘各分母的最小公倍數(shù)，系數(shù)化為1時，注意不等號方向的變化. 中考試題（二）運用不等式的性質(zhì)對不等式進行變形 中考試題（三）不等式和分式的綜合 點撥 本題選取的的值既要使化簡后的分式有意義，又要使原分式有意義，即原分式的分母不能為0,化簡后分式的分母也不能為0. 中考試題（四）不等式中的新定義運算 中考試題（五）利用不等式解決實際問題 第18講 一元一次不等式組 知能解讀（一）一元一次不等式組的概念 關(guān)于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，組成一個一元一次不等式組. 注意 判斷一個不等式組是一元一次不等式組可根據(jù)下列兩個條件：（1)組成不等式組的每一個不等式必須是一元一次不等式且未知數(shù)相同；（2)不等式組中不等式至少是2個，也就是說可以是2個、3個、4個或過個.例如就不是一元一次不等式組，因為不等式組中未知數(shù)的個數(shù)為2. 知能解讀（二）一元一次不等式組的解集 1概念 一般地，幾個不等式的解集的公共部分，叫作由它們所組成的不等式組的解集.如果這些不等式的解集無公共部分，就說這個不等式組無解. 注意 公共部分是指數(shù)軸上兩個(多個)不等式解集的區(qū)域都覆蓋住的部分. 2解集的確定方法(共四種情況） 解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分.利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集.為了解題方便，可采用數(shù)軸法和口訣法，數(shù)軸法直觀明了，口訣法易記易用.由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集，可劃分為以下四種情形： 不等式組 數(shù)軸表示 解集 口訣（規(guī)律） 同大取大 同小取小 大小小大中間找 無解 大大小小解沒了 3幾種特殊不等式（組）的解集 （1）關(guān)于的不等式組的解集為； （2）關(guān)于的不等式組無解； （3）關(guān)于的不等式的解集為全體實數(shù)，關(guān)于的不等式無解； （4）不等式（或）的解集為全體實數(shù)，不等式（或）無解. 知能解讀（三）一元一次不等式組的解法 解不等式組的方法步驟： （1）分別求出不等式組中各個不等式的解集； （2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集. 知能解讀(四）列一元一次不等式組解決實際問題 利用不等式組解決問題的方法、步驟與列二元一次方程組解應(yīng)用題的步驟類似，不同的是后者尋求等量關(guān)系，列出的是等式，前者尋求的是不等關(guān)系，并且解不等式所得結(jié)果通常為一個解集，需要從解集中找出符合條件的答案，即審、設(shè)、列、解、答. 方法技巧歸納 方法技巧（一）不等式組解集的確定方法 一元一次不等式組解集的確定主要是借助數(shù)軸直觀找到，共分四種情況，“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解沒了”，對于口訣，不要死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)上加以運用. 注意 注意看圖要細致，弄清標注的位置上是空心圓圈還是實心圓點，同時還要看清方向，是向右 畫還是向左畫. 解不等式組時，借助數(shù)軸確定解集更加直觀、明了. 方法技巧（二）不等式組的求解方法 分二步：先求出各個不等式的解集，再利用數(shù)軸找出這些解集的公共部分，就是這個不等式組的解集. 注意 在數(shù)軸上找解集的公共部分是指數(shù)軸上被兩個不等式解集的區(qū)域都蓋住的部分，若無公共部分，則說這個不等式組無解. 方法技巧（三)確定不等式組中待定系數(shù)的取值范圍 如果已知不等式組的解集，可根據(jù)規(guī)律“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解沒了”的逆用，確定待定系數(shù)的取值情況. 例如若不等式組的解集為，則由“同大取大”知.再如若不等式組的解集為，則可知，此類問題是中考熱點，下列舉例參考. 注意 本題中易忽略相等的情況，注意題目中的臨界點. 點撥 確定不等式組中某一個字母的取值范圍問題，往往借助數(shù)軸，使問題直觀易解. 方法技巧（四）含字母系數(shù)的不等式組的解法技巧 點撥 在解含有字母系數(shù)的不等式組時，注意對字母系數(shù)分類討論，以免漏解. 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.確定不等式組的解集時有誤. 部分同學(xué)能熟練求出一元一次不等式的解集，但不會找兩個不等式解集的公共部分，從而導(dǎo)致求錯不等式組的解集.如：的解集誤寫成，實際上是無解. 2.求不等式組的某些特殊解時對界點的合理性理解不透導(dǎo)致出錯. 易混易錯（一）求不等式組中字母的取值范圍時易丟掉某些解 易混易錯（二）將解二元一次方程組的解法錯用在解一元一次不等式組上 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講的主要考點有一元一次不等式組的解法、求不等式組的特殊解，題型有選擇題、填空題、解答題，同時加大了對數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的考查力度. 中考試題（一）解不等式組 中考試題（二）對解集概念的理解 中考試題（三）不等式組的創(chuàng)新和綜合應(yīng)用 注意 根據(jù)的取值情況確定不等式組的解集，體現(xiàn)了分類討論思想. 中考試題（四）列不等式組解決實際問題