中考數學 第一編 教材知識梳理篇 第七章 圓 第一節(jié) 圓的有關概念及性質試題

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第七章　圓 第一節(jié)　圓的有關概念及性質 ,河北8年中考命題規(guī)律) 年份 題號 考查點 考查內容 分值 總分 2016 9 三角形的內 切圓，外接圓 考查網格中三角形內心和外心位置 3 3 2015 6 三角形的 外接圓 考查圓內接三角形的外心位置 3 3 2014 25(1) 圓周角定理， 垂徑定理 以圓折疊為背景，利用垂徑定理，圓周角定理，(1)求弦心距及角度數；(2)求折痕長 3 3 2013 14 垂徑定理 涉及利用垂徑定理求圓半徑，從而求陰影部分面積 3 3 2012 5 圓周角定理， 垂徑定理 圓周角定理與垂徑定理結合的結論判斷題 2 2 2011 16 圓周角定理 利用圓周角定理、等腰三角形性質求角度 3 3 2010 6 垂徑定理 的推論 根據垂徑定理的推論找圓弧所在圓對應的圓心 2 2 2009 5 圓周角定理 以正方形的內切圓為背景利用正方形對角線互相垂直及圓周角定理，求角度數 2 20 垂徑定理應用 以半圓形橋洞為背景，利用垂徑定理及解直角三角形解決實際問題 8 10 命題規(guī)律 縱觀河北8年中考，本節(jié)內容在中考中每年都要設置一道(除2009年兩題外)且為每年必考考點，分值2～10分，涉及的題型，填空、選擇都有，難度有的較高，也有中等難度的題，其中圓周角定理考查了2次，垂徑定理在選擇題中考了3次，解答題中考了1次，而垂徑定理與圓周角定理結合考查了2次，三角形的外心考查了1次． 命題預測 預計2017年河北中考在此考點上仍會以垂徑定理和圓周角定理為主，三種題型都有可能出，其難易度也不定，但命中基礎題可能性較大，應強化訓練. ,河北8年中考真題及模擬) 　垂徑定理及推論(5次) 1．(2010河北6題2分)如圖，在55正方形網格中，一條圓弧經過A、B、C三點，那么這條圓弧所在圓的圓心是(　B　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A．點P B．點Q C．點R D．點M (第1題圖) 　　　(第2題圖) 2．(2012河北5題2分)如圖，CD是⊙O的直徑，AB是弦(不是直徑)，AB⊥CD于點E，則下列結論正確的是(　D　) A．AE＞BE B.＝ C．∠D＝∠AEC D．△ADE∽△CBE 3．(2009河北20題8分)如圖是一個半圓形橋洞截面示意圖，圓心為O，直徑AB是河底線，弦CD是水位線，CD∥AB，且CD＝24 m，OE⊥CD于點E.已測得sin∠DOE＝. (1)求半徑OD； (2)根據需要，水面要以每小時0.5 m的速度下降，則經過多長時間才能將水排干？ 解：(1)OD＝13 m；(2)10小時． 　圓周角定理及推論(4次) 4．(2009河北5題2分)如圖，四個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形，A、B、O是小正方形頂點，⊙O的半徑為1，P是⊙O上的點，且位于右上方的小正方形內，則∠APB等于(　B　) A．30 B．45 C．60 D．90 (第4題圖) 　　　　(第5題圖) 5．(2011河北16題3分)如圖，點O為優(yōu)弧ACB所在圓的圓心，∠AOC＝108，點D在AB延長線上，BD＝BC，則∠D＝__27__． 　三角形的外心及圓內接三角形(2次) 6．(2016河北9題23分)如圖為44的網格，A，B，C，D，O均在格點上，則點O是(　B　) A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的內心 D．△ABC的內心 ,(第6題圖))　　　,(第7題圖)) 7．(2015河北6題3分)如圖，AC，BE是⊙O的直徑，弦AD與BE交于點F，下列三角形中，外心不是點O的是(　B　) A．△ABE 　　　B．△ACF C．△ABD 　　　D．△ADE 中考考點清單) 　圓的有關概念 圓的 定義 定義1：在一個平面內，一條線段繞著它固定的一個端點旋轉一周，另一個端點所形成的圖形叫做圓． 定義2：圓是到定點的距離①__等于__定長的所有點組成的圖形． 弦 連接圓上任意兩點的②__線段__叫做弦． 直徑 直徑是經過圓心的③__弦__，是圓內最④__長__的弦. 弧 圓上任意兩點間的部分叫做弧，弧有⑤優(yōu)弧、半圓、劣弧之分，能夠完全重合的弧叫做⑥等?。? 等圓 能夠重合的兩個圓叫做等圓. 同心圓 圓心相同的圓叫做同心圓. 　圓的對稱性 圓的 對稱性 圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條經過⑦__圓心__的直線． 圓是中心對稱圖形，對稱中心為⑧圓心． 垂徑定理 定 理 垂直于弦的直徑⑨__平分__弦，并且平分弦所對的兩條⑩__弧__． 推 論 平分弦(不是直徑)的直徑?__垂直于__弦，并且?__平分__弦所對的兩條弧． 圓心角、 弧、弦之 間的關系 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧或兩條弦中有一組量?__相等__，那么它們所對應的其余各組量也分別相等. 　圓周角 圓周角 的定義 頂點在圓上，并且?__兩邊__都和圓相交的角叫做圓周角． 圓周角 定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的?__一半__． 推論1 同弧或等弧所對的圓周角?__相等__． 推論2 半圓(或直徑)所對的圓周角是?__直角__；90的圓周角所對的弦是?__直徑__． 推論3 圓內接四邊形的對角?__互補__. 【方法總結】 1．在解決與弦有關的問題時，作垂直于弦的直徑可以構造直角三角形，從而將求解轉化成解直角三角形的問題． 2．在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩個圓周角、兩條弧有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量也相等． 中考重難點突破 　垂徑定理及應用 【例1】(2016黃石中考)如圖所示，⊙O的半徑為13，弦AB的長度是24，ON⊥AB，垂足為N，則ON＝(　　) A．5　　　B．7　　　C．9　　　D．11 【解析】由題意可得，OA＝13，∠ONA＝90，AB＝24，∴AN＝12，∴ON＝＝＝5. 【學生解答】A 1．(2016河北石家莊二十八中一模)如圖，DC是⊙O直徑，弦AB⊥CD于點F，連接BC，DB，則下列結論中錯誤的是(　C　) A.＝　　　　　　B．AF＝BF C．OF＝CF D．∠DBC＝90 (第1題圖) 　　　(第2題圖) 2．(2016寧夏中考)如圖，在⊙O中，CD是直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，連接BC.若AB＝2，∠BCD＝30，則⊙O的半徑為____． 　與圓有關的角的計算 【例2】(1)(2016南昌中考)如圖(1)，點A、B、C在⊙O上，CO的延長線交AB于點D，∠A＝50，∠B＝30，則∠ADC的度數為____； 圖(1) 　　　圖(2) (2)(2016婁底中考)如圖(2)，在⊙O中，AB為直徑，CD為弦，已知∠ACD＝40，則∠BAD＝____. 【學生解答】(1)110；(2)50 【點撥】求圓中角的度數時，通常要利用圓周角與圓心角及弧之間的關系，遇直徑時，一般聯想直徑所對圓周角為直角． 3．(2016紹興中考)如圖，BD是⊙O的直徑，點A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60，則∠BDC(　D　) A．60　　　B．45　　　C．35　　　D．30 (第3題圖) 　　　(第4題圖) 4．(2016濟寧中考)如圖，在⊙O中，＝，∠AOB＝40，則∠ADC的度數是(　C　) A．40 B．30 C．20 D．15 ,中考備考方略) 1．(2016畢節(jié)中考)如圖，已知⊙O的半徑為13，弦AB長為24，則點O到AB的距離是(　B　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A．6 B．5 C．4 D．3 (第1題圖) 　　　(第2題圖) 2．(2016嘉興中考)如圖，⊙O的直徑CD垂直于弦AB于點E，且CE＝2，DE＝8，則AB的長為(　D　) A．2 B．4 C．6 D．8 3．(2016婁底中考)如圖，已知AB是⊙O的直徑，∠D＝40，則∠CAB的度數為(　C　) A．20 B．40 C．50 D．70 ,(第3題圖))　　　,(第4題圖)) 4．(2016茂名中考)如圖，A，B，C是⊙O上的三點，∠B＝75，則∠AOC的度數是(　A　) A．150 B．140 C．130 D．120 5．(2016樂山中考)如圖，C，D是以線段AB為直徑的⊙O上兩點，若CA＝CD，則∠ACD＝40，則∠CAB＝(　B　) A．10 B．20 C．30 D．40 ,(第5題圖))　　　,(第6題圖)) 6．(2016玉林中考)如圖，CD是⊙O的直徑，已知∠1＝30，則∠2＝(　C　) A．30 B．45 C．60 D．70 7．(2016石家莊二十八中二模)如圖是以△ABC的邊AB為直徑的半圓O，點C恰好在半圓上，過C作CD⊥AB交AB于D.已知cos∠ACD＝，BC＝4，則AC的長為(　D　) A．1 B. C．3 D. (第7題圖) 　　　(第9題圖) 8．(2016邯鄲十一中)在半徑為13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距離為7，若AB＝24，則CD的長為(　D　) A．10 B．4 C．10或 D．10或2 9．(2016河北唐山友誼中學一模)如圖，一個寬為2 cm的刻度尺(單位：cm)，放在圓形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一邊與杯口外沿相切，另一邊與杯口外沿兩個交點處的讀數恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半徑為____cm. 10．(2016黑龍江中考)直徑為10 cm的⊙O中，弦AB＝5 cm，則弦AB所對的圓周角是__30或150__． 11．(2016巴中中考)如圖，∠A是⊙O的圓周角，∠OBC＝55，則∠A＝__35__． ,(第11題圖))　　　,(第12題圖)) 12．(2016河北唐山友誼中學一模)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，直徑AD＝4，∠ABC＝∠DAC，則AC長為__2__． 13．(2017預測)如圖，邊長為1的小正方形構成的網格中，半徑為1的⊙O在格點上，則∠AED的正切值為____． 14．(2016安徽中考)在⊙O中，直徑AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30，點P在BC上，點Q在⊙O上，且OP⊥PQ. (1)如圖(1)，當PQ∥AB時，求PQ的長度； (2)如圖(2)，當點P在BC上移動時，求PQ長的最大值． 解：(1)連接OQ，如圖，∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB，在Rt△OBP中，∵tan∠B＝，∴OP＝3tan30＝，在Rt△OPQ中，∵OP＝，OQ＝3，∴PQ＝＝；(2)連接OQ，如圖，在Rt△OPQ中，PQ＝＝，當OP的長最小時，PQ的長最大，此時OP⊥BC，則OP＝OB＝，∴PQ長的最大值為＝. 15．(2017中考預測)已知⊙O的半徑為13 cm，弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，則AB、CD之間的距離為(　D　) A．17 cm B．7 cm C．12 cm D．17 cm或7 cm 16．(2016聊城中考)如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，F是上一點，且＝，連接CF并延長交AD的延長線于點E, 連接AC若∠ABC＝105，∠BAC＝25，則∠E的度數為(　B　) A．45 B．50 C．55 D．60 ,(第16題圖))　　　,(第17題圖)) 17．(2016杭州中考)如圖，已知AC是⊙O的直徑，點B在圓周上(不與A、C重合)，點D在AC的延長線上，連接BD交⊙O于點E，若∠AOB＝3∠ADB，則(　D　) A．DE＝EB B.DE＝EB C.DE＝DO D．DE＝OB 18．(2016臺灣中考)如圖，圓O通過五邊形OABCD的四個頂點．若＝150，∠A＝65，∠D＝60，則的度數為(　B　) A．25 B．40 C．50 D．55 ,(第18題圖))　　　,(第19題圖)) 19．(2016達州中考)如圖，半徑為3的⊙A經過原點O和點C(0，2)，B是y軸左側⊙A優(yōu)弧上一點，則tan∠OBC為____． 20．(2016龍東中考)如圖，MN是⊙O的直徑，MN＝4，∠AMN＝40，點B為AN的中點，點P是直徑MN上的一個動點，則PA＋PB的最小值為__2__． 21．(2016河南中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90，點M是AC的中點，以AB為直徑作⊙O分別交AC，BM于點D，E. (1)求證：MD＝ME; (2)填空：①若AB＝6，當AD＝2DM時，DE＝________； ②連接OD，OE，當∠A的度數為________時，四邊形ODME是菱形． 解：(1)在Rt△ABC中，點M是AC的中點， ∴MA＝MB，∴∠A＝∠MBA.∵四邊形ABED是圓內接四邊形， ∴∠ADE＋∠ABE＝180， 又∠ADE＋∠MDE＝180， ∴∠MDE＝∠MBA. 同理可證：∠MED＝∠A，∴∠MDE＝∠MED，∴MD＝ME；(2)①2；②60. 22．(2015德州中考)如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC＝∠CPB＝60. (1)判斷△ABC的形狀：__等邊三角形__； (2)試探究線段PA，PB，PC之間的數量關系，并證明你的結論； (3)當點P位于的什么位置時，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積． 解：(2)PA＋PB＝PC.證明：如圖，在PC上截取PD＝PA，連接AD.∵∠APC＝60， ∴△PAD是等邊三角形，∴PA＝AD，∠PAD＝60.又∵∠BAC＝60， ∴∠PAB＝∠DAC. ∵AB＝AC, ∴△PAB≌△DAC，∴PB＝DC. ∵PD＋DC＝PC, ∴PA＋PB＝PC； (3)當點P為的中點時，四邊形APBC面積最大．理由如下：如圖，過點P作PE⊥AB，垂足為E, 過點C作CF⊥AB，垂足為F.∵S△PAB＝ABPE，S△ABC＝ABCF，∴S四邊形APBC＝AB(PE＋CF)．∵當點P為的中點時，PE＋CF ＝PC, PC為⊙O直徑， ∴四邊形APBC面積最大. 又∵⊙O的半徑為1, ∴其內接正三角形的邊長AB＝，∴S四邊形APBC＝2＝.