(2019高考題 2019模擬題)2020高考數(shù)學(xué) 素養(yǎng)提升練(二)理(含解析)

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1、素養(yǎng)提升練(二) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.滿(mǎn)分150分,考試時(shí)間120分鐘. 第Ⅰ卷 (選擇題,共60分) 一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.(2019·合肥一中模擬)設(shè)z=,是z的共軛復(fù)數(shù),則z·=(  ) A.-1 B.i C.1 D.4 答案 C 解析 z===i,則=-i,故z·=i·(-i)=1,故選C. 2.(2019·德州二模)已知全集U=Z,A={1,2,3,4},B={x|(x+1)(x-3)>0,x∈Z},則集合A∩(?UB)的子集的個(gè)數(shù)為(  )

2、 A.2 B.4 C.8 D.16 答案 C 解析 由題意可得,?UB={x|(x+1)(x-3)≤0,x∈Z}={x|-1≤x≤3,x∈Z}={-1,0,1,2,3},則集合A∩(?UB)={1,2,3},故其子集的個(gè)數(shù)為23=8,故選C. 3.(2019·浙江高考)漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是(  ) A. B.1 C. D.2 答案 C 解析 由題意可得=1,∴e= ==.故選C. 4.(2019·陜西寶雞質(zhì)檢)函數(shù)f(x)=ln x-x2的圖象大致是(  ) 答案 B 解析 ∵f(x)=ln x-x2(x>0),∴f′(x)=-x(x>0)

3、,則當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)為增函數(shù);當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)<0,函數(shù)f(x)為減函數(shù);當(dāng)x=1時(shí),f(x)取最大值,f(1)=-.故選B. 5.(2019·邢臺(tái)一中一模)已知向量a=(m,3),b=(3,-n),若a+2b=(7,1),則mn=(  ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案 C 解析 ∵a+2b=(7,1),∴得m=n=1, ∴mn=1.故選C. 6.(2019·江南十校模擬)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若b=2,c=3,B=2C,則cos2C的值為(  ) A. B. C. D. 答案 B

4、 解析 由正弦定理可得,=,即====2cosC=?cosC=, ∴cos2C=2cos2C-1=2×-1=,故選B. 7.(2019·南昌模擬)根據(jù)某校10位高一同學(xué)的身高,設(shè)計(jì)一個(gè)程序框圖,用Ai(i=1,2,…,10)表示第i個(gè)同學(xué)的身高,計(jì)算這些同學(xué)身高的方差,則程序框圖①中要補(bǔ)充的語(yǔ)句是(  ) A.B=B+Ai B.B=B+A C.B=(B+Ai-A)2 D.B=B2+A 答案 B 解析 由s2= = = =-2, 循環(huán)退出時(shí)i=11,知2=2. ∴B=A+A+…+A, 故程序框圖①中要補(bǔ)充的語(yǔ)句是B=B+A.故選B. 8.(2019·西安交

5、大附中二模)中國(guó)古代儒家要求學(xué)生掌握六種基本才能:禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù).“禮”,禮節(jié),即今德育;“樂(lè)”,音樂(lè);“射”和“御”,射箭和駕馭馬車(chē)的技術(shù),即今體育和勞動(dòng);“書(shū)”,書(shū)法,即今文學(xué);“數(shù)”,算法,即今數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)周末開(kāi)展“六藝”課程講座活動(dòng),每天連排六節(jié),每藝一節(jié),排課有如下要求:“禮”必須排在第一,“數(shù)”不能排在最后,“射”和“御”要相鄰,則“六藝”講座不同的排課順序共有(  ) A.18種 B.36種 C.72種 D.144種 答案 B 解析 因?yàn)椤岸Y”必須排在第一,故只需考慮其余5種基本才能的排法即可.如果“射”或“御”排在最后,那么“射”和“御”有2種排法,即

6、A種,余下3種才能共有A種排法,故此時(shí)共有AA=12種排法; 如果“射”和“御”均不在最后,那么“射”和“御”有3×2=6種排法,中間還余兩個(gè)位置,兩個(gè)位置可選一個(gè)給“數(shù)”,有2種排法,余下兩個(gè)位置放置最后的兩個(gè)基本才能,有A種排法,故共有24種排法, 綜上,共有36種排法,故選B. 9.(2019·上饒一模)在空間四邊形ABCD中,若AB=BC=CD=DA=AC=BD,且E,F(xiàn)分別是AB,CD的中點(diǎn),則異面直線AC與EF所成的角為(  ) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案 B 解析 在圖1中連接DE,EC, ∵AB=BC=CD=DA=AC=BD,得△D

7、EC為等腰三角形, 設(shè)空間四邊形ABCD的邊長(zhǎng)為2,即AB=BC=CD=DA=AC=BD=2, 在△DEC中,DE=EC=,CF=1,得EF=. 在圖2中取AD的中點(diǎn)M,連接MF,EM, ∵E,F(xiàn)分別是AB,CD的中點(diǎn), ∴MF=1,EM=1,∠EFM是異面直線AC與EF所成的角. 在△EMF中可由余弦定理得 cos∠EFM===, ∴∠EFM=45°,即異面直線AC與EF所成的角為45°.故選B. 10.(2019·廣大附中模擬)已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)+acos(2x+φ)(0<φ<π)的最大值為2,且滿(mǎn)足f(x)=f,則φ=(  ) A. B. C

8、.或 D.或 答案 D 解析 ∵函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)+acos(2x+φ)(0<φ<π)的最大值為2,∴=2,∴a=±, ∴f(x)=sin(2x+φ)±cos(2x+φ)=2sin, 又∵f(x)=f, ∴直線x=是函數(shù)f(x)的一條對(duì)稱(chēng)軸, ∴2×+φ±=+kπ(k∈Z), ∴φ=±+kπ(k∈Z), 又∵0<φ<π,∴φ=或.故選D. 11.(2019·臨沂檢測(cè))已知函數(shù)g(x)=f(x)+x2是奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y=log2x的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng),則g(-1)+g(-2)=(  ) A.-7 B.-9 C.-11 D.-

9、13 答案 C 解析 ∵x>0時(shí),f(x)的圖象與函數(shù)y=log2x的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng), ∴x>0時(shí),f(x)=2x,則g(x)=2x+x2, 又g(x)是奇函數(shù),∴g(-1)+g(-2)=-[g(1)+g(2)]=-(2+1+4+4)=-11.故選C. 12.(2019·濟(jì)南模擬)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)F2的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),且·=0,=2,則橢圓E的離心率為(  ) A. B. C. D. 答案 C 解析 ∵=2,設(shè)BF2=x,則AF2=2x, 由橢圓的定義,可以得到AF1=2a-2x,BF1=2a-x, ∵·=0,

10、∴AF1⊥AF2, 在Rt△AF1B中,有(2a-2x)2+(3x)2=(2a-x)2,解得x=,∴AF2=,AF1=, 在Rt△AF1F2中,有2+2=(2c)2,整理得=,∴e==.故選C. 第Ⅱ卷 (非選擇題,共90分) 二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分. 13.(2019·江西八校聯(lián)考)若函數(shù)f(x)=ln (ex+1)+ax為偶函數(shù),則dx=________. 答案 e2 解析 因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以f(-x)=f(x)恒成立,即ln (ex+1)+ax=ln (e-x+1)-ax恒成立,2ax=ln =ln =-x恒成立,所以a=-.dx=(ln

11、x+x2) =ln e+e2-ln 1-12=e2. 14.(2019·浙江高考)在二項(xiàng)式(+x)9的展開(kāi)式中,常數(shù)項(xiàng)是________,系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是________. 答案 16 5 解析 由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可知Tr+1=C·()9-r·xr,r∈N,0≤r≤9,當(dāng)為常數(shù)項(xiàng)時(shí),r=0,T1=C·()9·x0=()9=16. 當(dāng)項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù)時(shí),9-r為偶數(shù), 可得r=1,3,5,7,9,即系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是5. 15.(2019·江南十校模擬)已知=,且tan(α+β)=,則tanβ的值為_(kāi)_______. 答案?。? 解析 ∵===,∴tanα=2,

12、又tan(α+β)===,解得tanβ=-1. 16.(2019·湘潭一模)在三棱錐D-ABC中,CD⊥底面ABC,AC⊥BC,AB=BD=5,BC=4,則此三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_______. 答案 34π 解析 由題意可得AC=CD==3,故三棱錐D-ABC的外接球的半徑R==,則其表面積為4π×2=34π. 三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答. (一)必考題:60分. 17.(本小題滿(mǎn)分12分)(2019·唐山一模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1

13、+=n+1. (1)求Sn,an; (2)若bn=(-1)n-1·,{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求Tn. 解 (1)令n=1,得a1+=2,(+2)(-1)=0,得a1=1, 所以=n,即Sn=n2. 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-1, 當(dāng)n=1時(shí),a1=1適合上式, 所以an=2n-1. (2)bn=(-1)n-1·=(-1)n-1·=(-1)n-1·. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Tn=b1+b2+…+bn =-+-+…-=1-=, 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Tn=b1+b2+…+bn =-+-+…+=1+=, 綜上所述,Tn= 18.(本小題滿(mǎn)分12分)(2019·長(zhǎng)沙一模

14、)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥AD,底面四邊形ABCD為直角梯形,AD=λBC,AD∥BC,∠BCD=90°,M為線段PB上一點(diǎn). (1)若λ=,則在線段PB上是否存在點(diǎn)M,使得AM∥平面PCD?若存在,請(qǐng)確定M點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由; (2)已知PA=2,AD=1,若異面直線PA與CD成90°角,二面角B-PC-D的余弦值為-,求CD的長(zhǎng). 解 (1)延長(zhǎng)BA,CD交于點(diǎn)E,連接PE,則PE?平面PCD.若AM∥平面PCD. 由平面PBE∩平面PCD=PE,AM?平面PBE,則AM∥PE.由AD=BC,AD∥BC, 則==.故點(diǎn)M是線段PB上靠近點(diǎn)P的一個(gè)三等分

15、點(diǎn). (2)∵PA⊥AD,PA⊥CD,AD∩CD=D,AD?平面ABCD,CD?平面ABCD,則PA⊥平面ABCD,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AD,AP所在的直線分別為y軸、z軸,過(guò)點(diǎn)A與平面PAD垂直的直線為x軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 則P(0,0,2),D(0,1,0),C(t,1,0),B,則=,=(t,1,-2),=(-t,0,0). 設(shè)平面PBC和平面PCD的法向量分別為n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2). 由n1⊥,n1⊥得 即 令x1=1,則z1=,故n1=. 同理可求得n2=(0,2,1). 設(shè)二面角B-PC-D的大小為θ, 于是|

16、cosθ|=,則=, 解得t=±2(負(fù)值舍去),故t=2. ∴CD=2. 19.(本小題滿(mǎn)分12分)(2019·鄭州二模)目前,浙江和上海已經(jīng)成為新高考綜合試點(diǎn)的“排頭兵”,有關(guān)其他省份新高考改革的實(shí)施安排,教育部部長(zhǎng)在十九大上做出明確表態(tài):到2020年,我國(guó)將全面建立起新的高考制度.新高考規(guī)定:語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和英語(yǔ)是考生的必考科目,考生還需從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理和政治六個(gè)科目中選取三個(gè)科目作為選考科目.若一個(gè)學(xué)生從六個(gè)科目中選出了三個(gè)科目作為選考科目,則稱(chēng)該學(xué)生的選考方案確定;否則,稱(chēng)該學(xué)生選考方案待確定.例如,學(xué)生甲選擇“物理、化學(xué)和生物”三個(gè)選考科目,則學(xué)生甲的選考方案確定,“

17、物理、化學(xué)和生物”為其選考方案. 某校為了解高一年級(jí)840名學(xué)生選考科目的意向,隨機(jī)選取60名學(xué)生進(jìn)行了一次調(diào)查,統(tǒng)計(jì)選考科目人數(shù)如表: (1)估計(jì)該學(xué)校高一年級(jí)選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有多少人? (2)將列聯(lián)表填寫(xiě)完整,并通過(guò)計(jì)算判定能否有99.9%的把握認(rèn)為選歷史與性別有關(guān)? 選歷史 不選歷史 總計(jì) 選考方案確定的男生 選考方案確定的女生 總計(jì) (3)從選考方案確定的16名男生中隨機(jī)選出2名,設(shè)隨機(jī)變量ξ=求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ). 附:K2=,n=a+b+c+d. P(K2≥k0) 0.05 0.01

18、 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 解 (1)由題可知,選考方案確定的男生中確定選考生物的學(xué)生有8人,選考方案確定的女生中確定選考生物的學(xué)生有20人,則該學(xué)校高一年級(jí)選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有××840=392人. (2)列聯(lián)表如下, 選歷史 不選歷史 總計(jì) 選考方案確定的男生 4 12 16 選考方案確定的女生 16 4 20 總計(jì) 20 16 36 由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)得K2=====10.89>10.828, 所以有99.9%的把握認(rèn)為選歷史與性別有關(guān). (3)由數(shù)據(jù)可知,選考方案

19、確定的男生中有8人選擇物理、化學(xué)和生物;有4人選擇物理、化學(xué)和歷史;有2人選擇物理、化學(xué)和地理;有2人選擇物理、化學(xué)和政治,由已知ξ的取值為0,1. P(ξ=1)==,P(ξ=0)=1-P(ξ=1)=, 所以分布列為 ξ 0 1 P E(ξ)=0×+1×=. 20.(本小題滿(mǎn)分12分)(2019·全國(guó)卷Ⅱ)已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿(mǎn)足直線AM與BM的斜率之積為-.記M的軌跡為曲線C. (1)求C的方程,并說(shuō)明C是什么曲線; (2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連接QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G. ①證明:

20、△PQG是直角三角形; ②求△PQG面積的最大值. 解 (1)由題設(shè)得·=-, 化簡(jiǎn)得+=1(|x|≠2), 所以C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,不含左右頂點(diǎn). (2)①證明:設(shè)直線PQ的斜率為k,則其方程為y=kx(k>0). 由得x=±. 設(shè)u=,則P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0). 于是直線QG的斜率為,方程為y=(x-u). 由 得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.① 設(shè)G(xG,yG),則-u和xG是方程①的解, 故xG=,由此得yG=. 從而直線PG的斜率為=-. 所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形. ②由①得

21、|PQ|=2u,|PG|=, 所以△PQG的面積 S=|PQ||PG|= =. 設(shè)t=k+, 則由k>0得t≥2,當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào). 因?yàn)镾=在[2,+∞)單調(diào)遞減, 所以當(dāng)t=2,即k=1時(shí),S取得最大值,最大值為. 因此,△PQG面積的最大值為. 21.(本小題滿(mǎn)分12分)(2019·南京市三模)已知函數(shù)f(x)=ln x++1,a∈R. (1)若函數(shù)f(x)在x=1處的切線為y=2x+b,求a,b的值; (2)記g(x)=f(x)+ax,若函數(shù)g(x)在區(qū)間上有最小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (3)當(dāng)a=0時(shí),關(guān)于x的方程f(x)=bx2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

22、求實(shí)數(shù)b的取值范圍. 解 (1)f′(x)=-,則f′(1)=1-a=2, 解得a=-1,則f(x)=ln x-+1, 此時(shí)f(1)=ln 1-1+1=0,則切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0), 代入切線方程,得b=-2, 所以a=-1,b=-2. (2)g(x)=f(x)+ax=ln x++ax+1, g′(x)=-+a=. ①當(dāng)a=0時(shí),g′(x)=>0,則g(x)在區(qū)間上為增函數(shù), 則g(x)在區(qū)間上無(wú)最小值. ②當(dāng)a≠0時(shí),方程ax2+x-a=0的判別式Δ=1+4a2>0, 則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,設(shè)為x1,x2, 由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2=-1,則兩根一正一負(fù),不妨設(shè)

23、x1<0<x2. 設(shè)函數(shù)m(x)=ax2+x-a(x>0). (ⅰ)若a>0, 若x2∈,則m(0)=-a<0,m=+-a>0,解得0<a<. 此時(shí)x∈(0,x2)時(shí),m(x)<0,則g(x)單調(diào)遞減; x∈時(shí),m(x)>0,則g(x)單調(diào)遞增, 當(dāng)x=x2時(shí),g(x)取極小值,即為最小值. 若x2≥,則x∈時(shí),m(x)<0,g(x)在上單調(diào)遞減,無(wú)最小值. (ⅱ)若a<0, x∈(0,x2)時(shí),m(x)>0,則g(x)單調(diào)遞增; x∈(x2,+∞)時(shí),m(x)<0,則g(x)單調(diào)遞減, 在區(qū)間上,g(x)不會(huì)有最小值. 所以a<0不滿(mǎn)足條件. 綜上,當(dāng)0<a<時(shí),g

24、(x)在區(qū)間上有最小值. (3)當(dāng)a=0時(shí),由方程f(x)=bx2, 得ln x+1-bx2=0, 記h(x)=ln x+1-bx2,x>0, 則h′(x)=-2bx=. ①當(dāng)b≤0時(shí),h′(x)>0恒成立,即h(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),則函數(shù)h(x)至多只有一個(gè)零點(diǎn),即方程f(x)=bx2至多只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,所以b≤0不符合題意. ②當(dāng)b>0時(shí), 當(dāng)x∈時(shí),h′(x)>0,則函數(shù)h(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)x∈時(shí),h′(x)<0,則函數(shù)h(x)單調(diào)遞減, 則h(x)max=h=ln +. 要使方程f(x)=bx2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根, 則h=ln +>0,解得0<b

25、<. (ⅰ)當(dāng)0<b<時(shí),h=-<0. 又2-2=<0,則< , 所以存在唯一的x1′∈,使得h(x1′)=0. (ⅱ)h=ln +1-=-ln b+1-, 記k(b)=-ln b+1-,00,即> , 所以存在唯一的x2′∈,使得h(x2′)=0. 綜上,當(dāng)0<b<時(shí),方程f(x)=bx2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. (二)選考題:10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分. 22.(本小題滿(mǎn)分10分)

26、[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程] (2019·玉溪一中模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,并使得它與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長(zhǎng)度單位,直線l的直角坐標(biāo)方程為y=x. (1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程; (2)若曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ+8cosθ=0(ρ∈R),與直線l在第三象限交于A點(diǎn),直線l與C1在第一象限的交點(diǎn)為B,求|AB|. 解 (1)由題意知C1的直角坐標(biāo)方程為x2+=1,由 可得C1的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ+=1,化簡(jiǎn)整理得=cos2θ+. (2)由題意得直線l的極坐標(biāo)方程為θ=或ρ=,不

27、妨取ρ=, ∴可得A. 同理可得B, |AB|=|ρA-ρB|=4+. 23.(本小題滿(mǎn)分10分)[選修4-5:不等式選講] (2019·合肥沖刺)已知函數(shù)f(x)=|x+2|-|x-2|+m(m∈R). (1)若m=1,求不等式f(x)≥0的解集; (2)若函數(shù)g(x)=f(x)-x有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解 (1)當(dāng)m=1時(shí),f(x)= ∵f(x)≥0,∴當(dāng)x<-2時(shí),x∈?; 當(dāng)-2≤x≤2時(shí),2x+1≥0得x≥-, ∴-≤x≤2, 當(dāng)x>2時(shí),f(x)≥0恒成立, ∴不等式的解集為. (2)若函數(shù)g(x)=f(x)-x有三個(gè)零點(diǎn), 只需f(x)=與y=x有三個(gè)交點(diǎn)即可. 即f(x)每一段與y=x各有一個(gè)交點(diǎn). 當(dāng)x<-2時(shí),m-4=x,即m=x+4,∴m<2; 當(dāng)-2≤x≤2時(shí),2x+m=x,即m=-x, ∴-2≤m≤2; 當(dāng)x>2時(shí),m+4=x,即m=x-4,∴m>-2. ∴綜上所述,m的取值范圍是-2

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