（全國(guó)通用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題提分教程 中難提分突破特訓(xùn)（一）理

中難提分突破特訓(xùn)(一) 1．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足＝. (1)求角A的大小； (2)若D為BC邊上一點(diǎn)，且CD＝2DB，b＝3，AD＝，求a. 解　(1)由已知，得(2c－b)cosA＝acosB， 由正弦定理，得(2sinC－sinB)cosA＝sinAcosB， 整理，得2sinCcosA－sinBcosA＝sinAcosB， 即2sinCcosA＝sin(A＋B)＝sinC. 又sinC≠0，所以cosA＝， 因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝. (2)如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E， 又CD＝2DB，∠BAC＝， 所以ED＝AC＝1，∠DEA＝. 由余弦定理可知， AD2＝AE2＋ED2－2AE·EDcos， 解得AE＝4，則AB＝6. 又AC＝3，∠BAC＝， 所以在△ABC中，由余弦定理，得a＝BC＝3. 2．已知長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝1，AD＝.現(xiàn)將長(zhǎng)方形沿對(duì)角線BD折起，使AC＝a，得到一個(gè)四面體A－BCD，如圖所示． (1)試問(wèn)：在折疊的過(guò)程中，異面直線AB與CD，AD與BC能否垂直？若能垂直，求出相應(yīng)的a值；若不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由； (2)當(dāng)四面體A－BCD的體積最大時(shí)，求二面角A－CD－B的余弦值． 解　(1)若AB⊥CD，由AB⊥AD，AD∩CD＝D，得 AB⊥平面ACD，所以AB⊥AC. 所以AB2＋a2＝BC2，即12＋a2＝()2，所以a＝1. 若AD⊥BC，由AD⊥AB，AB∩BC＝B，得 AD⊥平面ABC，所以AD⊥AC， 所以AD2＋a2＝CD2，即()2＋a2＝12， 所以a2＝－1，無(wú)解，故AD⊥BC不成立． (2)要使四面體A－BCD的體積最大， 因?yàn)椤鰾CD的面積為定值， 所以只需三棱錐A－BCD的高最大即可， 此時(shí)平面ABD⊥平面BCD， 過(guò)點(diǎn)A作AO⊥BD于點(diǎn)O，則AO⊥平面BCD， 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz(如圖)，則易知A，C，D， 顯然，平面BCD的一個(gè)法向量為＝. 設(shè)平面ACD的法向量為n＝(x，y，z)． 因?yàn)椋?，＝? 所以令y＝，得n＝(1，，2)． 觀察可知二面角A－CD－B為銳二面角， 故二面角A－CD－B的余弦值為 |cos〈，n〉|＝＝. 3．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0)，A(3,0)的距離的比為. (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程； (2)過(guò)點(diǎn)B(－2,1)的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN長(zhǎng)度的最小值； (3)已知圓Q的圓心為Q(t，t)(t>0)，且圓Q與x軸相切，若圓Q與曲線C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 解　(1)由題意，設(shè)P(x，y)， 則|AP|＝2|OP|，即|AP|2＝4|OP|2， 所以(x－3)2＋y2＝4(x2＋y2)， 整理得(x＋1)2＋y2＝4. 所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知軌跡C是以C(－1,0)為圓心，以2為半徑的圓． 又因?yàn)?－2＋1)2＋12<4，所以點(diǎn)B在圓內(nèi)， 所以當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，BC⊥MN， 所以圓心C到直線MN的距離為 |BC|＝＝， 此時(shí)，線段MN的長(zhǎng)為 |MN|＝2＝2×＝2， 所以，線段MN長(zhǎng)度的最小值為2. (3)因?yàn)辄c(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t，t)(t>0)，且圓Q與x軸相切，所以圓Q的半徑為t， 所以圓Q的方程為(x－t)2＋(y－t)2＝t2. 因?yàn)閳AQ與圓C有公共點(diǎn)， 又圓Q與圓C的兩圓心距離為 |CQ|＝＝， 所以|2－t|≤|CQ|≤2＋t， 即(2－t)2≤2t2＋2t＋1≤(2＋t)2，解得－3＋2≤t≤3. 所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是[－3＋2，3]． 4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，直線C2的普通方程為y＝x.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程； (2)若直線C2與曲線C1交于A，B兩點(diǎn)，求＋. 解　(1)由曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))， 得曲線C1的普通方程為(x－3)2＋(y－3)2＝4， 所以曲線C1的極坐標(biāo)方程為(ρcosθ－3)2＋(ρsinθ－3)2＝4， 即ρ2－6ρcosθ－6ρsinθ＋14＝0. 因?yàn)橹本€C2過(guò)原點(diǎn)，且傾斜角為， 所以直線C2的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)． (2)設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2， 由 得ρ2－(3＋3)ρ＋14＝0， 所以ρ1＋ρ2＝3＋3，ρ1ρ2＝14， 又ρ1>0，ρ2>0， 所以＋＝＝＝. 5．設(shè)f(x)＝|x|＋2|x－a|(a>0)． (1)當(dāng)a＝1時(shí)，解不等式f(x)≤4； (2)若f(x)≥4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝|x|＋2|x－1|， 當(dāng)x<0時(shí)，由2－3x≤4，得－≤x<0； 當(dāng)0≤x≤1時(shí)，由2－x≤4，得0≤x≤1； 當(dāng)x>1時(shí)，由3x－2≤4，得1<x≤2. 綜上，不等式f(x)≤4的解集為. (2)f(x)＝|x|＋2|x－a|＝ 可見(jiàn)，f(x)在(－∞，a]上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增． 當(dāng)x＝a時(shí)，f(x)取得最小值a. 所以，a的取值范圍為[4，＋∞)． - 5 -