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1、中檔題專練(三)
1.正方形ABCD所在的平面與三角形CDE所在的平面交于CD,且AE⊥平面CDE.
(1)求證:AB∥平面CDE;
(2)求證:平面ABCD⊥平面ADE.
2.(2018蘇北四市高三第一次調(diào)研測試)某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品,該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成,圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾,如圖1.為了便于設(shè)計(jì),可將該禮品看成是由圓O及其內(nèi)接等腰三角形ABC繞底邊BC上的高所在直線AO旋轉(zhuǎn)180°而成,如圖2.已知圓O的半徑為10cm,設(shè)∠BAO=θ,0<θ<π2,圓錐的側(cè)面積為Scm2.
(1)求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式;
(2)為了
2、達(dá)到最佳觀賞效果,要求圓錐的側(cè)面積S最大,求S取得最大值時腰AB的長度.
3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(-3,4),B(9,0),C,D分別為線段OA,OB上的動點(diǎn),且滿足AC=BD.
(1)若AC=4,求直線CD的方程;
(2)證明:△OCD的外接圓恒過定點(diǎn)(異于原點(diǎn)O).
答案精解精析
1.證明 (1)正方形ABCD中,AB∥CD,又AB?平面CDE,CD?平面CDE,
所以AB∥平面CDE.
(2)因?yàn)锳E⊥平面CDE,且CD?平面CDE,所以AE⊥CD,又正方形ABCD中,CD⊥AD,且AE∩AD=A,AE、AD?平面ADE,
3、所以CD⊥平面ADE,又CD?平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面ADE.
2.解析 (1)設(shè)AO交BC于點(diǎn)D,過O作OE⊥AB,垂足為E,在△AOE中,AE=10cosθ,AB=2AE=20cosθ,在△ABD中,BD=AB·sinθ=20cosθ·sinθ,所以S=12·2π·20sinθcosθ·20cosθ
=400πsinθcos2θ0<θ<π2.
(2)要使側(cè)面積最大,由(1)得:
S=400πsinθcos2θ=400π(sinθ-sin3θ),
設(shè)f(x)=x-x3(0
4、時,f'(x)>0,當(dāng)x∈33,1時,f'(x)<0,
所以f(x)在區(qū)間0,33上單調(diào)遞增,在區(qū)間33,1上單調(diào)遞減,
所以f(x)在x=33時取得極大值,也是最大值.
所以當(dāng)sinθ=33時,側(cè)面積S取得最大值,
此時等腰三角形的腰長AB=20cosθ=201-sin2θ=201-332=2063.
答:側(cè)面積S取得最大值時,等腰三角形的腰AB的長度為2063cm.
3.解析 (1)因?yàn)锳(-3,4),所以O(shè)A=(-3)2+42=5,又因?yàn)锳C=4,所以O(shè)C=1,所以C-35,45,由AC=BD=4,得D(5,0),所以直線CD的斜率為0-455--35=-17,所以直線CD的
5、方程為y=-17(x-5),即x+7y-5=0.
(2)證明:設(shè)C(-3m,4m)(00),
則有F=0,9m2+16m2-3mD+4mE+F=0,(5m+4)2+(5m+4)D+F=0,
解得D=-(5m+4),F=0,E=-10m-3,
所以△OCD的外接圓的方程為x2+y2-(5m+4)x-(10m+3)y=0,
整理得x2+y2-4x-3y-5m(x+2y)=0,
令x2+y2-4x-3y=0,x+2y=0,所以x=0,y=0(舍去)或x=2,y=-1.
所以△OCD的外接圓恒過異于O的定點(diǎn)(2,-1).
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