高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 1 歸納與類比 1_2 類比推理課后演練提升 北師大版選修1-2

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2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 1 歸納與類比 1.2 類比推理課后演練提升 北師大版選修1-2 一、選擇題 1．下列哪個(gè)平面圖形與空間的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適(　　) A．三角形　　　　　　　　 B．梯形 C．平行四邊形 D．矩形 解析：　只有平行四邊形與平行六面體較為接近，故選C. 答案：　C 2．已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，則b1b2b3…b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類似結(jié)論為(　　) A．a(chǎn)1a2a3…a9＝29 B．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝29 C．a(chǎn)1a2…a9＝29 D．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝29 解析：　由等差數(shù)列性質(zhì)，有a1＋a9＝a2＋a9＝…＝2a5.易知D成立． 答案：　D 3．類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列哪些性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖?　　) ①各棱長都相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等；②各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；③各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等． A．① B．①② C．①②③ D．③ 解析：　因?yàn)檎切蔚倪吅徒强梢耘c正四面體的面(或棱)和相鄰的兩面所成的二面角(或共頂點(diǎn)的兩棱的夾角)類比，所以①②③都恰當(dāng)． 答案：　C 4．給出下列三個(gè)類比結(jié)論． ①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn； ②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. 其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：?、壅_． 答案：　B 二、填空題 5．在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長的比為1 ∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為________． 解析：　∵兩個(gè)正三角形是相似的三角形，∴它們的面積之比是相似比的平方．同理，兩個(gè)正四面體是兩個(gè)相似幾何體，體積之比為相似比的立方，所以它們的體積比為1∶8. 答案：　1∶8 6．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，________，________，成等比數(shù)列． 解析：　T4＝aq6，＝aq22，＝aq38，＝aq54. 所以T4，，，成公比為q16的等比數(shù)列，直接用類比法將“差”變“比”即可得出結(jié)果． 答案：　　 三、解答題 7．如下圖(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，則AB2＝BDBC；若類比該命題，如下圖(2)，三棱錐A－BCD中，AD⊥面ABC，若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則有什么結(jié)論？命題是否是真命題． 解析：　命題是：三棱錐A－BCD中，AD⊥面ABC，若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則有S＝S△BCMS△BCD是一個(gè)真命題． 證明如下： 如右圖，連結(jié)DM并延長交BC于E，連結(jié)AE，則有DE⊥BC. 因?yàn)锳D⊥面ABC， 所以AD⊥AE. 又AM⊥DE，所以AE2＝EMED. 于是S＝2 ＝ ＝S△BCMS△BCD. 8．就任一等差數(shù)列{an}，計(jì)算a7＋a10和a8＋a9，a10＋a40和a20＋a30，你發(fā)現(xiàn)了什么一般規(guī)律？能把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律作一般化的推廣嗎？從等差數(shù)列和函數(shù)之間的聯(lián)系角度分析這個(gè)問題．在等比數(shù)列中會(huì)有怎樣的類似的結(jié)論？ 解析：　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則 an＝a1＋(n－1)d， 從而a7＝a1＋6d，a10＝a1＋9d，a8＝a1＋7d，a9＝a1＋8d. 所以a7＋a10＝2a1＋15d，a8＋a9＝2a1＋15d， 可得a7＋a10＝a8＋a9. 同理a10＋a40＝a20＋a30. 由此猜想，任一等差數(shù)列{an}，若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q，則有am＋an＝ap＋aq成立． 類比等差數(shù)列，可得等比數(shù)列{an}的性質(zhì)：若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q，則有aman＝apaq成立． 9．設(shè)f(x)＝，類比課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，求f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值． 解析：　∵f(x)＝， ∴f(x)＋f(1－x)＝＋ ＝＋＝＝＝. 令S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(5)＋f(6) 則S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(－4)＋f(－5) ∴2S＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(5)＋ f(－4)]＋[f(6)＋f(－5)]＝12＝6. ∴S＝3.