高中物理 第十一章 2 簡諧運動的描述教材梳理教案 新人教版選修3-41

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簡諧運動的描述 皰丁巧解牛 知識巧學 一、描述簡諧運動的物理量 1.振幅 （1）定義：振動物體離開平衡位置的最大距離.用A表示. （2）單位：在國際單位制中，振幅的單位是米（m）. （3）物理意義：表示振動強弱的物理量，振幅越大，表示振動越強. 聯(lián)想發(fā)散 振幅的大小與振動系統(tǒng)的能量有關，對同一振動系統(tǒng)，振幅越大，表示振動系統(tǒng)的能量越大. 辨析比較 振幅是標量，它沒有方向，也沒有負值.振幅與最大位移有著本質的區(qū)別.它等于振子最大位移的大小，但卻是不同于最大位移的物理量，因為最大位移有方向. 2.周期 （1）全振動：振動物體往返一次（以后完全重復原來的運動）的運動叫做一次全振動，例如水平方向運動的彈簧振子的運動：O→A→O→A′→O或A→O→A′→O→A為一次全振動（如圖1-1-22所示，其中O為平衡位置，A、A′為最大位移處）. 圖11-2-2 學法一得 一次全振動是指物體的位移和速度的大小和方向連續(xù)兩次完全相同所經歷的過程（振子將除最大位置處所有可能到達的位置都到達了兩次）.對簡諧運動的物體，某一階段的振動是否為一次全振動，可以從以下兩個角度判斷： 一是從物體經過某點時的特征物理量看，如果物體的位移和速度都回到原值（大小、方向兩方面），即物體完成了一次全振動，即物體從同一個方向回到出發(fā)點； 二是看物體在這段時間內通過的路程是否等于振幅的四倍. （2）定義：做簡諧運動的物體完成一次全振動所需要的時間，叫做振動的周期，用T表示. （3）單位：在國際單位制中，周期的單位是秒（s）. （4）物理意義：表示振動的快慢，周期越長表示物體振動得越慢，周期越短表示物體振動得越快. 誤區(qū)警示 做簡諧運動的物體在一個周期內通過的路程等于振幅的4倍，在半個周期內通過的路程等于振幅的兩倍，但在四分之一個周期內通過的路程不一定等于振幅. 3.頻率 （1）定義：單位時間內完成的全振動的次數，叫做振動的頻率.用f表示. （2）單位：在國際單位制中，頻率的單位是赫茲（Hz）. （3）物理意義：頻率是表示物體振動快慢的物理量，頻率越大表示振動得越快，頻率越小表示振動得越慢. （4）周期與頻率的關系：T=. 聯(lián)想發(fā)散 物體振動的周期和頻率，由振動系統(tǒng)本身的性質決定，與振幅無關，所以其振動周期叫做固有周期，振動頻率叫做固有頻率.在簡諧運動中，振幅跟頻率或周期無關. 4.相位 物理意義：在物理學上為描述周期性運動在各個時刻所處的不同狀態(tài)而引入的量. 例如：兩個用長度相同的懸線懸掛的小球，把它們拉起同樣的角度同時放開，我們說它們的相位相同，如果兩小球不同時釋放，則后釋放的小球相位落后于第一個的相位. 二、簡諧運動的表達式 1.簡諧運動的表達式：x=Asin(ωt+φ) （1）式中x表示振動質點相對于平衡位置的位移；t表示振動的時間. （2）A表示振動質點偏離平衡位置的最大距離，即振幅. （3）ω稱作簡諧運動的圓頻率，它也表示簡諧運動物體振動的快慢，與周期T及頻率f的關系：ω==2πf. 所以表達式也可寫成：x=Asin(t+φ)或x=Asin(2πft+φ). （4）φ表示t=0時，簡諧運動質點所處的狀態(tài)，稱為初相位或初相.ωt+φ代表了簡諧運動的質點在t時刻處在一個運動周期中的哪個狀態(tài)，所以代表簡諧運動的相位. 聯(lián)想發(fā)散 簡諧運動的位移和時間的關系也可用余弦函數表示成： x=Acos［-(ωt+φ)］，注意同一振動用不同函數表示時相位不同，而且相位ωt+φ是隨時間變化的一個變量. 2.相位差 是指兩個相位之差，在實際中經常用到的是兩個具有相同頻率的簡諧運動的相位差，反映出兩簡諧運動的步調差異. 設兩簡諧運動A和B的振動方程分別為： x1=A1sin(ωt+φ1)，x2=A2sin(ωt+φ2)，它們的相位差為： Δφ=(ωt+φ2)-(ωt+φ1)=φ2-φ1. 可見，其相位差恰好等于它們的初相之差，因為初相是確定的，所以頻率相同的兩個簡諧運動有確定的相位差. 若Δφ=φ2-φ1＞0，則稱B的相位比A的相位超前Δφ或A的相位比B的相位落后Δφ；若Δφ=φ2-φ1＜0，則稱B的相位比A的相位落后|Δφ|或A的相位比B的相位超前|Δφ|. （1）同相：相位差為零，一般地為Δφ=2πn（n=0,1,2，…） （2）反相：相位差為π，一般地為Δφ=(2k+1)π （n=0,1,2，…） 誤區(qū)警示 比較相位或計算相位差時，要用同種函數來表示振動方程，否則就會出錯. 典題熱題 知識點一 描述簡諧運動的基本物理量 例1彈簧振子從距離平衡位置5 cm處由靜止釋放，4 s內完成5次全振動，則這個彈簧振子的振幅為_____________cm，振動周期為_____________s，頻率為_____________Hz，4 s末振子的位移大小為_____________cm，4 s內振子運動的路程為_____________cm，若其他條件都不變，只是使振子改為在距平衡位置2.5 cm處由靜止釋放，該振子的周期為_______s. 解析：根據題意，振子從距平衡位置5 cm處由靜止開始釋放，說明彈簧振子在振動過程中離開平衡位置的最大距離是5 cm，即振幅為5 cm，由題設條件可知，振子在4 s內完成5次全振動，則完成一次全振動的時間為0.8 s,即T=0.8 s,又因為f=，可得頻率為1.25 Hz.4 s內完成5次全振動,也就是說振子又回原來的初始點，因而振子的位移大小為5 cm，振子一次全振動的路程為20 cm，所以5次全振動的路程為100 cm，由于彈簧振子的周期是由彈簧的勁度系數和振子質量決定，其固有周期與振幅大小無關，所以從距平衡位置2.5 cm處由靜止釋放,不會改變周期的大小,周期仍為0.8 s. 答案：5 0.8 1.25 5 100 0.8 方法歸納 任何物理知識的學習，都離不開對基本概念的認識和理解，本題主要考查對描述振動的三個物理量的認識和理解以及位移和路程的區(qū)別，根據一次全振動確定周期，根據周期或單位時間內完成全振動的次數確定頻率.簡諧運動中的位移是相對平衡位置而言的，本題中容易把釋放處當作位移起點. 知識點二 全振動、振幅和路程的關系 例2 如圖11-2-3所示是物體做簡諧運動的振動圖象.請根據圖象回答下列問題： 圖11-2-3 （1）在圖中t1時刻和t2時刻，物體的位移各是多少？ （2）這個物體的振幅是多大？ （3）這個振動的周期是多少？頻率是多大？ （4）判斷t1、t2時刻的物體運動方向. 解析：（1）從圖中直接讀出t1時刻的位移為-3 cm；t2時刻的位移為2 cm. （2）振幅指振動物體偏離平衡位置的最大位移.從圖中讀出位移最大值為5 cm，因此振幅為5 cm. （3）振動是一個周期性往復運動，圖中ａ和ｂ表示物體完成了一次全振動又回到原來的狀態(tài)，經歷的時間即周期.可見，這個振動的周期為2 s，頻率為0.5 Hz. （4）由圖象可以看出，t1時刻的下一時刻點的位移變大且遠離平衡位置指向負方向，所以可以判斷t1時刻物體正沿著負方向遠離平衡位置.同理可以判斷t2時刻物體的運動方向為沿著正方向遠離平衡位置. 答案：（1）t1時刻的位移為-3cm；t2時刻的位移為2 cm； （2）振幅為5 cm； （3）周期為2 s，頻率為0.5 Hz； （4）t1時刻沿負方向遠離平衡位置，t2時刻沿正方向遠離平衡位置. 巧解提示 也可以通過圖象在某點的斜率來表示速度.其中斜率的絕對值表示速度的大小，正負號表示運動的方向.由圖可以看出t1時刻的圖象斜率為負值，表示物體向負方向運動；t2時刻的圖象斜率為正值，表示物體向正方向運動. 知識點三 振動的對稱性 例3如圖11-2-4所示，一個做簡諧運動的質點，先后以同樣大小的速度通過相距10 cm的A、B兩點，歷時0.5 s，過B點后再經過t=0.5 s質點以方向相反、大小相同的速度再次通過B點，則質點振動的周期是（ ） 圖11-2-4 A.0.5 s B.1.0 s C.2.0 s D.4.0 s 解析：根據題意，由振動的對稱性可知：AB的中點（設為O）為平衡位置，A、B兩點對稱分布于O點兩側；質點從平衡位置O向右運動到B的時間應為tOB=0.5 s=0.25 s質點從B向右到達右方極端位置（設為D）的時間tBD=0.5 s=0.25 s所以，質點從O到D的時間tOD=T=0.25 s+0.25 s=0.5 s,所以T=2 s. 答案：C 巧解提示 本題的關鍵是認識振動的對稱性，如圖1125所示，設C、D為質點振動中左方和右方的極端位置，則由對稱性可知：質點從B→D→B的時間一定等于質點從A→C→A的時間，即tBDB=tACA=0.5 s.所以，質點振動周期T=tAB+tBDB+tBA+tACA=2 s. 圖11-2-5 知識點四 周期性帶來的多解性問題 例4彈簧振子以O點為平衡位置做簡諧運動，從O點開始計時，振子第一次到達M點用了0.3 s時間，又經過0.2 s第二次通過M點，則振子第三次通過M點還要經過的時間可能是（ ） A. s B. s C.1.4 s D.1.6 s 解析：如圖11-2-6所示，t1=0.3 s,t2=0.2 s，第一種可能： 圖11-2-6 =t1+=(0.3+) s=0.4 s 即T=1.6 s 第三次通過M還要經過的時間 t3=+2t1=(0.8+20.3) s=1.4 s. 第二種可能：由圖可知： t1-+=，即T= s 第三次通過M點還要經過的時間 t3=t1+（t1-）=(20.3-) s= s. 答案：AC 方法歸納 本題考查簡諧運動的周期的概念，明確題目中的O點與M點間的位置關系及簡諧運動的特點，便可找出結果. 問題探究 思想方法探究 問題 怎樣求振動物體在一段時間內通過的路程？ 探究過程: 1.求振動物體在一段時間內通過路程的基本依據： （1）振動物體在一個周期內的路程一定為四個振幅，則在n個周期內路程必為n4A. （2）振動物體在半個周期內的路程一定為兩個振幅. （3）振動物體在T/4內的路程可能等于一個振幅，還可能小于一個振幅，只有當T/4的初時刻，振動物體在平衡位置或最大位移處，T/4的路程才等于一個振幅. 2.計算路程的方法是：先判斷所求的時間內有幾個周期，再依據上述規(guī)律求路程. 探究結論:先判斷所求的時間內有幾個周期，再依據上述規(guī)律求路程. 思維發(fā)散探究 問題 利用簡諧運動的對稱性和周期性可作出哪些判斷？ 探究思路：做簡諧運動的物體，運動過程中各物理量關于平衡位置對稱，以水平彈簧振子為例，振子通過關于平衡位置對稱的兩點，加速度、速度大小相等，動能相等，勢能相等，對稱性還表現在過程量的相等上，如從某點到達最大位置和從最大位置再回到該點所需要的時間相等，質點從某點向平衡位置運動時到達平衡位置的時間和它從平衡位置再運動到該點的對稱點所用的時間相等. 探究結論:觀點一：若t1-t2=nT，則t1、t2兩時刻振動物體在同一位置，運動情況相同. 觀點二：若t2-t1=nT+T，則t1、t2兩時刻，描述運動的物理量（x、F、a、v）均大小相等，方向相反. 觀點三：若t2-t1=nT+T或t2-t1=nT+T，則當t1時刻物體到達最大位移處時，t2時刻到達平衡位置；當t1時刻物體在平衡位置時，t2時刻到達最大位移處；若t1時刻，物體在其他位置，t2時刻物體到達何處就要視具體情況而定.