高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 幾何證明選講 76 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)課時(shí)作業(yè) 理 選修4-1

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選修4－1　幾何證明選講 課時(shí)作業(yè)76　相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 1. 如圖所示，在△ABC中，AD是BC邊上的高，DE∥AC，EF⊥BC，＝，BD＝6，求FC的長(zhǎng)． 解：由DE∥AC，＝，BD＝6，知DC＝4. 又EF∥AD，故＝，解得FD＝， 故FC＝FD＋DC＝. 2．已知△ABC中，BF⊥AC于點(diǎn)F，CE⊥AB于點(diǎn)E，BF和CE相交于點(diǎn)P，求證： (1)△BPE∽△CPF； (2)△EFP∽△BCP. 證明：(1)∵BF⊥AC于點(diǎn)F，CE⊥AB于點(diǎn)E， ∴∠BFC＝∠CEB. 又∵∠CPF＝∠BPE，∴△CPF∽△BPE. (2)由(1)得△CPF∽△BPE，∴＝. 又∵∠EPF＝∠BPC，∴△EFP∽△BCP. 3．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，求證： (1)ABAC＝BCAD； (2)AD3＝BCCFBE. 證明：(1)在Rt△ABC中，AD⊥BC， ∴S△ABC＝ABAC＝BCAD. ∴ABAC＝BCAD. (2)Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理可得 BD2＝BEAB，同理CD2＝CFAC， ∴BD2CD2＝BEABCFAC. 又在Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BDDC， ∴AD4＝BEABCFAC， 又ABAC＝BCAD. 即AD3＝BCCFBE. 4．(2016南陽模擬)如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90，AE＝AC，BD＝AB，點(diǎn)F在BC上，且CF＝BC. 求證： (1)EF⊥BC； (2)∠ADE＝∠EBC. 證明：設(shè)AB＝AC＝3a，則AE＝BD＝a，CF＝a. (1)＝＝，＝＝. 又∠C為公共角，故△BAC∽△EFC， 由∠BAC＝90，∴∠EFC＝90，∴EF⊥BC. (2)由(1)得EF＝a， 故＝＝，＝＝， ∴＝，∵∠DAE＝∠BFE＝90， ∴△ADE∽△FBE，∴∠ADE＝∠EBC. 1．(2016銀川模擬)如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交BC于F. (1)求的值． (2)若△BEF的面積為S1，四邊形CDEF的面積為S2，求S1∶S2的值． 解：(1)過點(diǎn)D作DG∥BC，并交AF于G點(diǎn)， 因?yàn)镋是BD的中點(diǎn)， 所以BE＝DE. 又因?yàn)椤螮BF＝∠EDG，∠BEF＝∠DEG， 所以△BEF≌△DEG，則BF＝DG， 所以BF∶FC＝DG∶FC. 又因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，則DG∶FC＝1∶2， 則BF∶FC＝1∶2，即＝. (2)若△BEF以BF為底，△BDC以BC為底， 則由(1)知BF∶BC＝1∶3， 又由BE∶BD＝1∶2可知h1∶h2＝1∶2， 其中h1，h2分別為△BEF和△BDC的高， 則＝＝，則S1∶S2＝1∶5. 2．如圖，在梯形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，EF∥AD，假設(shè)EF做上下平行移動(dòng)． (1)若＝，求證：3EF＝BC＋2AD； (2)請(qǐng)你探究一般結(jié)論，即若＝，那么你可以得到什么結(jié)論？ 解：過點(diǎn)A作AH∥CD分別交EF，BC于點(diǎn)G，H. (1)證明：因?yàn)椋剑? 所以＝. 又EG∥BH，所以＝＝， 即3EG＝BH.又EG＋GF＝EG＋AD＝EF， 從而EF＝(BC－HC)＋AD， 所以EF＝BC＋AD， 即3EF＝BC＋2AD. (2)因?yàn)椋剑? 所以＝. 又EG∥BH，所以＝， 即EG＝BH. 所以EF＝EG＋GF＝EG＋AD＝(BC－AD)＋AD， 所以EF＝BC＋AD， 即(m＋n)EF＝mBC＋nAD.