（新課標）2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何 題組層級快練57 橢圓（一）文（含解析）

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1、題組層級快練(五十七) 1．(2015·廣東，文)已知橢圓＋＝1(m>0)的左焦點為F1(－4，0)，則m＝(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．9 答案　B 解析　由4＝(m>0)?m＝3，故選B. 2．若橢圓x2＋my2＝1的焦點在y軸上，且長軸長是短軸長的兩倍．則m的值為(　　) A. B. C．2 D．4 答案　A 解析　將原方程變形為x2＋＝1. 由題意知a2＝，b2＝1，∴a＝，b＝1. ∴＝2，∴m＝. 3．(2019·濟南模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，若長軸的長為6，且兩焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的標準方程

2、為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　B 解析　由題意知2a＝6，2c＝×6，所以a＝3，c＝1，則b＝＝2，所以此橢圓的標準方程為＋＝1. 4．(2019·佛山一模)若橢圓mx2＋ny2＝1的離心率為，則＝(　　) A. B. C.或 D.或 答案　D 解析　將橢圓方程標準化為＋＝1， ∵e2＝1－，∴＝1－e2＝， ①若a2＝，b2＝，則＝； ②若a2＝，b2＝，則＝，故選D. 5．在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那

3、么C的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　B 解析　根據(jù)橢圓焦點在x軸上，可設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)． ∵e＝，∴＝.根據(jù)△ABF2的周長為16得4a＝16，因此a＝4，b＝2，所以橢圓方程為＋＝1. 6．(2019·青海西寧復(fù)習(xí)檢測)在平面直角坐標系xOy中，P是橢圓＋＝1上的一個動點，點A(1，1)，B(0，－1)，則|PA|＋|PB|的最大值為(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 答案　A 解析　∵橢圓的方程為＋＝1，∴a2＝4，b2＝3，c2＝1，∴B(0，－1)是橢圓的一個焦點，設(shè)另一個焦點為C(0，1

4、)，如圖所示，根據(jù)橢圓的定義知，|PB|＋|PC|＝4，∴|PB|＝4－|PC|，∴|PA|＋|PB|＝4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|＝5. 7．若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由題意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b. 又c2＝a2－b2，消去b整理，得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝或e＝－1(舍去)． 8．如圖，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，其中左焦點為F(－2，0)，P為C上一點，滿足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，則橢圓C的方程為(

5、　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　B 解析　設(shè)橢圓的焦距為2c，右焦點為F1，連接PF1，如圖所示． 由F(－2，0)，得c＝2. 由|OP|＝|OF|＝|OF1|，知PF1⊥PF. 在Rt△PFF1中，由勾股定理，得 |PF1|＝＝＝8. 由橢圓定義，得|PF1|＋|PF|＝2a＝4＋8＝12，從而a＝6，得a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16， 所以橢圓C的方程為＋＝1. 9．(2019·鄭州市高三預(yù)測)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與橢圓交于A，B兩點，若△F1AB

6、是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則橢圓的離心率為(　　) A. B．2－ C.－2 D.－ 答案　D 解析　設(shè)|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△ABF1是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝m.由橢圓的定義可得△ABF1的周長為4a，即有4a＝2m＋m，即m＝(4－2)a，則|AF2|＝2a－m＝(2－2)a，在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝4(2－)2a2＋4(－1)2a2，即有c2＝(9－6)a2，即c＝(－)a，即e＝＝－，故選D. 10．(2019·河南三門峽二模)橢圓＋＝1的左焦

7、點為F，直線x＝m與橢圓相交于點M，N，當△FMN的周長最大時，△FMN的面積是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設(shè)右焦點為F′，由橢圓的定義得，△FMN的周長C＝|MN|＋|MF|＋|NF|＝|MN|＋(2a－|F′M|)＋(2a－|F′N|)＝4a＋|MN|－|F′M|－|F′N|≤4a，當MN過點F′時取等號， 即當直線x＝m過右焦點F′時，△FMN的周長最大． 由橢圓的定義可得c＝＝1. 把x＝1代入橢圓標準方程可得＋＝1，解得y＝±. 所以△FMN的面積S＝×2×2×＝.故選C. 11．(2019·遼寧大連二模)焦點在x軸上的橢圓方程為＋＝1

8、(a>b>0)，短軸的一個端點和兩個焦點相連構(gòu)成一個三角形，該三角形內(nèi)切圓的半徑為，則橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由短軸的一個端點和兩個焦點相連構(gòu)成一個三角形，又由三角形面積公式得×2c·b＝(2a＋2c)·，得a＝2c，即e＝＝，故選C. 12．(2019·云南保山期末)橢圓＋＝1(a>b>0)的一個焦點為F1，若橢圓上存在一點P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF1相切于該線段的中點，則橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　設(shè)線段PF1的中點為M，另一個焦點為F2，由題意知，|OM|＝b，又OM

9、是△F2PF1的中位線，∴|OM|＝|PF2|＝b，|PF2|＝2b，由橢圓的定義知|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2b. 又|MF1|＝|PF1|＝(2a－2b)＝a－b，又|OF1|＝c，在直角三角形OMF1中，由勾股定理得(a－b)2＋b2＝c2，又a2－b2＝c2，可得2a＝3b，故有4a2＝9b2＝9(a2－c2)，由此可求得離心率e＝＝，故選D. 13．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點，以F2為圓心作圓，已知圓F2經(jīng)過橢圓的中心，且與橢圓相交于點M，若直線MF1恰與圓F2相切，則該橢圓的離心率為(　　) A.－1 B．2－ C. D. 答案　A 解析　由題意

10、知∠F1MF2＝，|MF2|＝c，|F1M|＝2a－c，則c2＋(2a－c)2＝4c2，e2＋2e－2＝0，解得e＝－1. 14．若點O和點F分別為橢圓＋y2＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則|OP|2＋|PF|2的最小值為________． 答案　2 解析　由題意可知，O(0，0)，F(xiàn)(1，0)，設(shè)P(cosα，sinα)，則|OP|2＋|PF|2＝2cos2α＋sin2α＋(cosα－1)2＋sin2α＝2cos2α－2cosα＋3＝2(cosα－)2＋2，所以當cosα＝時，|OP|2＋|PF|2取得最小值2. 15．(2019·云南昆明質(zhì)檢)橢圓＋＝1上的一點P

11、到兩焦點的距離的乘積為m，當m取最大值時，點P的坐標是________． 答案　(－3，0)或(3，0) 解析　記橢圓的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.則m＝|PF1|·|PF2|≤()2＝25，當且僅當|PF1|＝|PF2|＝5，即點P位于橢圓的短軸的頂點處時，m取得最大值25.所以點P的坐標為(－3，0)或(3，0)． 16．(2019·上海虹口一模)一個底面半徑為2的圓柱被與底面所成角是60°的平面所截，截面是一個橢圓，則該橢圓的焦距等于________． 答案　4 解析　∵底面半徑為2的圓柱被與底面成60°的平面所截，其截面是一個橢圓，∴這

12、個橢圓的短半軸長為2，長半軸長為＝4.∵a2＝b2＋c2，∴c＝＝2，∴橢圓的焦距為4. 17.如圖所示，已知橢圓＋＝1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，直線AF2交橢圓于另一點B. (1)若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率； (2)若橢圓的焦距為2，且＝2，求橢圓的方程． 答案　(1)　(2)＋＝1 解析　(1)若∠F1AB＝90°，則△AOF2為等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c. 所以a＝c，e＝＝. (2)由題知A(0，b)，F(xiàn)2(1，0)，設(shè)B(x，y)， 由＝2，解得x＝，y＝－. 代入＋＝1，得＋＝1.

13、 即＋＝1，解得a2＝3. 所以橢圓方程為＋＝1. 18．(2014·課標全國Ⅱ)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為N. (1)若直線MN的斜率為，求C的離心率； (2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b. 答案　(1)　(2)a＝7，b＝2 解析　(1)根據(jù)c＝及題設(shè)知M，＝，2b2＝3ac. 將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故C的離心率為. (2)由題意，原點O為F1F2的中點，MF2∥y軸，所以直線MF1與y軸的交點D(0，2)是線段MF1的中點．故＝4，即b2＝4a.① 由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|. 設(shè)N(x1，y1)，由題意知y1<0，則 即 代入C的方程，得＋＝1.② 將①及c＝代入②得＋＝1. 解得a＝7，b2＝4a＝28. 故a＝7，b＝2. 8