（山東專用）2020年高考數學一輪復習 專題09 對數與對數函數（含解析）

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1、專題09 對數與對數函數 一、【知識精講】 1.對數的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數. 2.對數的性質、換底公式與運算性質 (1)對數的性質：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)對數的運算法則 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). (3)換底公式：logbN＝(a，

2、b均大于零且不等于1). 3.對數函數及其性質 (1)概念：函數y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是(0，＋∞). (2)對數函數的圖象與性質 a>1 01時，y>0； 當01時，y<0； 當00 在(0，＋∞)上是增函數 在(0，＋∞)上是減函數 4.反函數 指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)與對數函數y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數，它們的圖象關于

3、直線y＝x對稱. [微點提醒] 1.換底公式的兩個重要結論 (1)logab＝；(2)logambn＝logab. 其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R. 2.在第一象限內，不同底的對數函數的圖象從左到右底數逐漸增大. 3.對數函數y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(1，0)，且過點(a，1)，，函數圖象只在第一、四象限. 二、【典例精練】 考點一　對數的運算 【例1】 (1)計算：÷100－＝________. (2)計算：＝________. 【答案】　(1)－20　(2)1 【解析】　(1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg

4、×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20. (2)原式＝ ＝ ＝＝＝＝1. 【解法小結】　1.在對數運算中，先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后正用對數運算法則化簡合并. 2.先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算法則，轉化為同底對數真數的積、商、冪再運算. 3.ab＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)是解決有關指數、對數問題的有效方法，在運算中應注意互化. 考點二　對數函數的圖象及應用　 【例2】(1)函數y＝lg|x－1|的圖象是(　　) (2)已知當0

5、值范圍為________． 【答案】　(1)A　(2) 【解析】　(1)因為y＝lg|x－1|＝ 當x＝1時，函數無意義，故排除B、D. 又當x＝2或0時，y＝0，所以A項符合題意． (2)若

6、 考點三　對數函數的性質及應用　 角度1　對數函數的性質 【例3－1】 (2017·全國Ⅰ卷)已知函數f(x)＝ln x＋ln(2－x)，則(　　) A.f(x)在(0，2)上單調遞增 B.f(x)在(0，2)上單調遞減 C.y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱 D.y＝f(x)的圖象關于點(1，0)對稱 【答案】　C 【解析】　由題意知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定義域為(0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln[－(x－1)2＋1]，由復合函數的單調性知，函數f(x)在(0，1)上單調遞增，在(1，2)上單調遞減，所以排除A，B；又f(2－x)＝ln(2－x

7、)＋ln x＝f(x)，所以f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，C正確，D錯誤. 角度2　比較大小或解簡單的不等式 【例3－2】 (1).(2017·全國Ⅰ卷)設x，y，z為正數，且2x＝3y＝5z，則(　　) A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 【答案】D 【解析】　令t＝2x＝3y＝5z， ∵x，y，z為正數，∴t>1. 則x＝log2t＝，同理，y＝，z＝. ∴2x－3y＝－＝ ＝>0， ∴2x>3y. 又∵2x－5z＝－＝＝<0， ∴2x<5z，∴3y<2x<5z. (2)若loga(a2＋1)

8、2a<0，則a的取值范圍是(　　) A.(0，1) B. C. D.(0，1)∪(1，＋∞) 【答案】C 【解析】由題意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a， 又loga(a2＋1)1，∴a>.綜上，a∈. 角度3　對數型函數性質的綜合應用 【例3－3】 已知函數f(x)＝loga(3－ax). (1)當x∈[0，2]時，函數f(x)恒有意義，求實數a的取值范圍； (2)是否存在這樣的實數a，使得函數f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由. 【解析】　(1

9、)∵a>0且a≠1，設t(x)＝3－ax， 則t(x)＝3－ax為減函數， x∈[0，2]時，t(x)的最小值為3－2a， 當x∈[0，2]時，f(x)恒有意義， 即x∈[0，2]時，3－ax>0恒成立. ∴3－2a>0.∴a<. 又a>0且a≠1，∴a的取值范圍是(0，1)∪. (2)t(x)＝3－ax，∵a>0， ∴函數t(x)為減函數. ∵f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數，∴y＝logat為增函數， ∴a>1，x∈[1，2]時，t(x)最小值為3－2a，f(x)最大值為f(1)＝loga(3－a)， ∴即 故不存在這樣的實數a，使得函數f(x)在區(qū)間[1，2]上

10、為減函數，并且最大值為1. 【解法小結】　1.確定函數的定義域，研究或利用函數的性質，都要在其定義域上進行. 2.如果需將函數解析式變形，一定要保證其等價性，否則結論錯誤. 3.在解決與對數函數相關的比較大小或解不等式問題時，要優(yōu)先考慮利用對數函數的單調性來求解.在利用單調性時，一定要明確底數a的取值對函數增減性的影響，及真數必須為正的限制條件. 【思維升華】] 1.對數值取正、負值的規(guī)律 當a>1且b>1或00； 當a>1且01時，logab<0. 2.利用單調性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題，其基本方法是

11、“同底法”，即把不同底的對數式化為同底的對數式，然后根據單調性來解決. 3.比較冪、對數大小有兩種常用方法：(1)數形結合；(2)找中間量結合函數單調性. 4.多個對數函數圖象比較底數大小的問題，可通過比較圖象與直線y＝1交點的橫坐標進行判定. 【易錯注意點】] 1.在對數式中，真數必須是大于0的，所以對數函數y＝logax的定義域應為(0，＋∞).對數函數的單調性取決于底數a與1的大小關系，當底數a與1的大小關系不確定時，要分01兩種情況討論. 2.在運算性質logaMα＝αlogaM中，要特別注意條件，在無M>0的條件下應為logaMα＝αloga|M|(α∈N*，

12、且α為偶數). 3.解決與對數函數有關的問題時需注意兩點：(1)務必先研究函數的定義域；(2)注意對數底數的取值范圍. 三、【名校新題】 1. (2019·武漢月考)已知函數y＝loga(x＋c)(a，c為常數，其中a>0，且a≠1)的圖象如圖，則下列結論成立的是(　　) A.a>1，c>1 B.a>1，01 D.00，即logac>0，所以0

13、大小關系為(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 【答案】D　 【解析】log＝log3－15－1＝log35，因為函數y＝log3x在(0，＋∞)上為增函數，所以log35>log3>log33＝1，因為函數y＝在(－∞，＋∞)上為減函數，所以<＝1，故c>a>b. 3.(2018·張家界三模)在同一直角坐標系中，函數f(x)＝2－ax，g(x)＝loga(x＋2)(a>0，且a≠1)的圖象大致為(　　) 【答案】A 【解析】　由題意，知函數f(x)＝2－ax(a>0，且a≠1)為單調遞減函數，當0

14、>2，且函數g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上為單調遞減函數，C，D均不滿足；當a>1時，函數f(x)＝2－ax的零點x＝<2，且x＝>0，又g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上是增函數，排除B，綜上只有A滿足. 4.(2019·肇慶二模)已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，則(　　) A.f(x)是奇函數，且在(0，10)上是增函數 B.f(x)是偶函數，且在(0，10)上是增函數 C.f(x)是奇函數，且在(0，10)上是減函數 D.f(x)是偶函數，且在(0，10)上是減函數 【答案】D 【解析】　由得x∈(－10，10)， 且f(x)

15、＝lg(100－x2). ∴f(x)是偶函數， 又t＝100－x2在(0，10)上單調遞減，y＝lg t在(0，＋∞)上單調遞增，故函數f(x)在(0，10)上單調遞減. 5. (2019·濰坊一模)若函數f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上為減函數，則函數y＝loga(|x|－1)的圖象可以是(　　) 【答案】D 【解析】由f(x)在R上是減函數，知01時，y＝loga(x－1)的圖象由y＝logax的圖象向右平移一個單位得到. 因此選項D正確. 6.(2019·

16、商丘二模)已知a>0且a≠1，函數f(x)＝loga(x＋)在區(qū)間(－∞， ＋∞)上既是奇函數又是增函數，則函數g(x)＝loga||x|－b|的圖象是(　　) 【答案】A 【解析】　∵函數f(x)＝loga(x＋)在區(qū)間(－∞，＋∞)上是奇函數，∴f(0)＝0，∴b＝1，又函數f(x)＝loga(x＋)在區(qū)間(－∞，＋∞)上是增函數，所以a>1. 所以g(x)＝loga||x|－1|，當x>1時，g(x)＝loga(x－1)為增函數，排除B，D；當0

17、5)(a>1)的單調遞增區(qū)間是________． 【答案】(5，＋∞) 【解析】由函數f(x)＝loga(x2－4x－5)，得x2－4x－5>0，得x<－1或x>5.令m(x)＝x2－4x－5，則m(x)＝(x－2)2－9，m(x)在[2，＋∞)上單調遞增，又由a>1及復合函數的單調性可知函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(5，＋∞)． 8. (2019·成都七中檢測)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，則a＝________，b＝________. 【答案】4,2 【解析】　設logba＝t，則t>1，因為t＋＝， 所以t＝2，則a＝b2. 又ab＝ba，所以b2

18、b＝bb2， 即2b＝b2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4. 9.(2019·昆明診斷)設f(x)＝lg是奇函數，則使f(x)<0的x的取值范圍是________. 【答案】　(－1，0) 【解析】由f(x)是奇函數可得a＝－1， ∴f(x)＝lg，定義域為(－1，1). 由f(x)<0，可得0<<1，∴－10時，f(2－a)＝－log2(1＋a)＝1. 解得a＝－，不合題意. 當2－a≥2，即a≤0時，f(2－a

19、)＝2－a－1＝1，即2－a＝2，解得a＝－1，所以f(a)＝f(－1)＝－log24＝－2. 11(2019·日照調研)已知函數f(x)＝若方程f(x)－a＝0恰有一個實根，則實數a的取值范圍是________. 【答案】{0}∪[2，＋∞) 【解析】作出函數y＝f(x)的圖象(如圖所示). 方程f(x)－a＝0恰有一個實根，等價于函數y＝f(x)的圖象與直線y＝a恰有一個公共點， 故a＝0或a≥2，即a的取值范圍是{0}∪[2，＋∞). 12.已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，且f(0)＝0，當x>0時，f(x)＝logx. (1)求函數f(x)的解析式； (2)解

20、不等式f(x2－1)>－2. 【解析】　(1)當x<0時，－x>0，則f(－x)＝log(－x). 因為函數f(x)是偶函數，所以f(－x)＝f(x)＝log(－x)， 所以函數f(x)的解析式為 f(x)＝ (2)因為f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函數， 所以不等式f(x2－1)>－2轉化為f(|x2－1|)>f(4). 又因為函數f(x)在(0，＋∞)上是減函數， 所以|x2－1|<4，解得－

21、n>ln恒成立，求實數m的取值范圍. 【解析】　(1)由>0，解得x<－1或x>1， ∴函數f(x)的定義域為(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 當x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)時， f(－x)＝ln＝ln＝ln＝－ln＝－f(x). ∴f(x)＝ln是奇函數. (2)由于x∈[2，6]時，f(x)＝ln>ln恒成立， ∴>>0恒成立， ∵x∈[2，6]，∴0