高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元檢測 蘇教版選修2-21

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第1章　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元檢測 一、填空題 1．函數(shù)y＝sin 3x的導(dǎo)數(shù)是________． 2．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點(diǎn)__________個(gè)． 3．已知f(x)＝(x＋a)2，且，則a的值為__________． 4．若函數(shù)y＝loga(x2－2x－3)的增區(qū)間是(－∞，－1)，則a的取值范圍是________． 5．|x|dx＝________. 6．對任意的x∈R，函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在極值點(diǎn)的充要條件是__________． 7．函數(shù)y＝6x2－12x的極值點(diǎn)為________． 8．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為________． 9．設(shè)曲線y＝f(x)＝eax在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，則a＝________. 10．若曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則a＝________，b＝________. 11．(2012上海高考)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是折線段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)．函數(shù)y＝xf(x)(0≤x≤1)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為__________． 12．若函數(shù)在區(qū)間(m,2m＋1)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 二、解答題 13．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋4ln x的極值點(diǎn)為1和2. (1)求實(shí)數(shù)a，b的值； (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3]上的最大值． 14．求C的值，使(x2＋Cx＋C)2dx最?。? 15．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋k(k＞0)在x＝0處取得極值，且曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線垂直于直線x＋2y＋1＝0. (1)求a，b的值； (2)若函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性． 參考答案 1. 答案：3cos 3x 2. 答案：1 3. 答案：－2　解析：∵f(x)＝(x＋a)2，∴f′(x)＝2x＋2a.依題意有2＋2a＝－3，解得a＝－2. 4. 答案：0＜a＜1　解析：定義域?yàn)閧x|x＞3或x＜－1}，函數(shù)y＝x2－2x－3在(－∞，－1)上為減函數(shù)，∴0＜a＜1. 5. 答案：a2　解析：|x|dx＝(－x)dx＋xdx＝. 6. 答案：0≤a≤21　解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，當(dāng)Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21時(shí)，f′(x)≥0恒成立，函數(shù)不存在極值點(diǎn). 7. 答案：x＝1 8. 答案：　解析：∵， ∴. ∴.由點(diǎn)斜式，得， 即. 9. 答案：2　解析：設(shè)曲線y＝eax在點(diǎn)(0,1)處的切線斜率為k1，則k1＝f′(0)＝a. 又直線x＋2y＋1＝0的斜率， 依題意得a＝－1，∴a＝2. 10. 答案：1　1　解析：令f(x)＝x2＋ax＋b，則f′(x)＝2x＋a， ∴曲線y＝x2＋ax＋b在(0，b)處的切線斜率為a. ∴切線方程為y－b＝ax， 即ax－y＋b＝0. 與切線方程x－y＋1＝0對比，得a＝1，b＝1. 11. 答案：　解析：由題意 則 ∴xf(x)與x軸圍成圖形的面積為10x2dx＋(－10x2＋10x)dx＝. 12. 答案：(－1,0]　解析：由已知得在(m,2m＋1)上有f′(x)≥0，即1－x2≥0，－1≤x≤1， ∴∴－1＜m≤0. 13. 答案：解：(1)f′(x)＝2ax＋b＋＝，x∈(0，＋∞)， 又y＝f(x)的極值點(diǎn)為1和2， ∴2ax2＋bx＋4＝0的兩根為1和2， ∴解得 (2)由(1)得f(x)＝x2－6x＋4lnx， ∴f′(x)＝2x－6＋＝ ＝，x∈(0,3]. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)與f(x)的變化情況如下表： x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,3) 3 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) －5 4ln 2－8 4ln 3－9 ∵f(3)＝4ln 3－9＞－5＝f(1)，且f(3)＝4ln 3－9＞4ln 2－8＝f(2)， ∴f(x)max＝f(3)＝4ln 3－9. 14. 答案：解：令y＝(x2＋Cx＋C)2dx ＝(x4＋2Cx3＋C2x2＋2Cx2＋2C2x＋C2)dx ＝ ＝ ＝. 所以當(dāng)時(shí)，y最小， 即當(dāng)時(shí)，(x2＋Cx＋C)2dx最小. 15. 答案：解：(1)∵f(x)＝ax2＋bx＋k(k＞0)， ∴f′(x)＝2ax＋b. 又f(x)在x＝0處取得極值，故f′(0)＝0，從而b＝0. 由曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線與直線x＋2y＋1＝0相互垂直可知，該切線斜率為2，即f′(1)＝2a＝2，從而a＝1. (2)由(1)知，g(x)＝(k＞0)， (k＞0)， 令g′(x)＝0，得x2－2x＋k＝0. ①當(dāng)Δ＝4－4k≤0，即當(dāng)k≥1時(shí)，g′(x)≥0在R上恒成立，故函數(shù)g(x)在R上為增函數(shù). ②當(dāng)Δ＝4－4k＞0，即當(dāng)0＜k＜1時(shí)，方程x2－2x＋k＝0有兩個(gè)不相等實(shí)根x1＝1－，x2＝1＋， 當(dāng)x∈(－∞，1－)時(shí)，g′(x)＞0， 故g(x)在(－∞，1－)上為增函數(shù)； 當(dāng)x∈(1－，1＋)時(shí)，g′(x)＜0， 故g(x)在(1－，1＋)上為減函數(shù)； 當(dāng)x∈(1＋，＋∞)時(shí)，g′(x)＞0， 故g(x)在(1＋，＋∞)上為增函數(shù).