高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2_3 數(shù)學(xué)歸納法自我小測(cè) 蘇教版選修2-21

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高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法自我小測(cè) 蘇教版選修2-2 1．?dāng)?shù)列1,1＋3,1＋3＋5,1＋3＋5＋7，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為________． 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2n＞n2成立時(shí)，n應(yīng)取的第一個(gè)值為________． 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式n3＋1≥4n＋1時(shí)，n所取的第一個(gè)值n0為__________． 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，且n＞1)”時(shí)，由n＝k(k＞1)不等式成立，推證n＝k＋1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是________． 5．凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，則凸n＋1邊形的對(duì)角線條數(shù)f(n＋1)與f(n)之間的關(guān)系為． 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N)時(shí)，第一步的驗(yàn)證為____________________． 7．已知x＞－1且x≠0，n∈N*，且n≥2， 求證：(1＋x)n＞1＋nx. 8．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋5＋9＋13＋…＋(4n－3)＝2n2－n. 9．求證：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*. 10．已知函數(shù)(x≥0)．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝f(an)，數(shù)列{bn}滿足bn＝|an－|，用數(shù)學(xué)歸納法證明.  參考答案 1答案：n2 2答案：5 3答案：2 4答案：2k　解析：增加的項(xiàng)數(shù)為(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k. 5答案：f(n＋1)＝f(n)＋n－1　解析：如圖，設(shè)凸n＋1邊形為A1A2…AnAn＋1，連結(jié)A1An，則凸n＋1邊形的對(duì)角線是由凸n邊形A1A2…An的對(duì)角線加上A1An，再加上從An＋1點(diǎn)出發(fā)的n－2條對(duì)角線，即f(n＋1)＝f(n)＋1＋n－2＝f(n)＋n－1. 6答案：當(dāng)n＝0時(shí)，20＋1＝2≥02＋0＋2＝2，結(jié)論成立 7答案：證明：(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2， ∵x≠0，∴1＋2x＋x2＞1＋2x. ∴左邊＞右邊，不等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，不等式成立，即(1＋x)k＞1＋kx成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x). ∵x＞－1，∴1＋x＞0. ∴(1＋x)k(1＋x)＞(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2. ∵x≠0，∴1＋(k＋1)x＋kx2＞1＋(k＋1)x. ∴(1＋x)k＋1＞1＋(k＋1)x成立， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式成立. 由(1)(2)可知，不等式對(duì)于所有的n≥2的正整數(shù)都成立. 8答案：證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，命題成立. (2)假設(shè)n＝k(k≥1)時(shí)，命題成立， 即1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＝2k2－k. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＋(4k＋1) ＝2k2－k＋(4k＋1) ＝2k2＋3k＋1＝2(k＋1)2－(k＋1). ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立. 綜上所述，原命題成立. 9答案：證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＋1＋(a＋1)21－1＝a2＋a＋1，命題顯然成立. (2)假設(shè)n＝k時(shí)，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝aak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1 ＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1. 由歸納假設(shè)知，上式中的兩部分均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1時(shí)命題成立. 根據(jù)(1)(2)知，對(duì)任意n∈N*，命題成立. 10答案：證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝1＋＞1. 因?yàn)閍1＝1，所以an≥1(n∈N*). 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式. (1)當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝－1，不等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，不等式成立， 即， 那么bk＋1＝|ak＋1－|＝. 所以，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立. 根據(jù)(1)和(2)，可知不等式對(duì)任意n∈N*都成立.