(2019高考題 2019模擬題)2020高考數(shù)學(xué) 基礎(chǔ)鞏固練(二)理(含解析)

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1、基礎(chǔ)鞏固練(二) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.滿(mǎn)分150分,考試時(shí)間120分鐘. 第Ⅰ卷 (選擇題,共60分) 一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.(2019·北京高考)已知復(fù)數(shù)z=2+i,則z·=(  ) A. B. C.3 D.5 答案 D 解析 解法一:∵z=2+i,∴=2-i, ∴z·=(2+i)(2-i)=5.故選D. 解法二:∵z=2+i,∴z·=|z|2=5.故選D. 2.(2019·浙江高考)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B

2、={-1,0,1},則(?UA)∩B=(  ) A.{-1} B.{0,1} C.{-1,2,3} D.{-1,0,1,3} 答案 A 解析 ∵U={-1,0,1,2,3},A={0,1,2},∴?UA={-1,3}.又∵B={-1,0,1},∴(?UA)∩B={-1}.故選A. 3.(2019·湛江二模)某幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是(  ) 答案 B 解析 由正視圖排除A,C;由側(cè)視圖排除D,故B正確. 4.(2019·內(nèi)蒙古呼和浩特市高三3月第一次質(zhì)量普查)在等比數(shù)列{an}中,a2-a1=2,且2a2為3a1和a3的等差中項(xiàng),則a4

3、為 (  ) A.9 B.27 C.54 D.81 答案 B 解析 根據(jù)題意,設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,若2a2為3a1和a3的等差中項(xiàng),則有2×2a2=3a1+a3,變形可得4a1q=3a1+a1q2,即q2-4q+3=0,解得q=1或3;又a2-a1=2,即a1(q-1)=2,則q=3,a1=1,則an=3n-1,則有a4=33=27.故選B. 5.(2019·紹興市適應(yīng)性試卷)函數(shù)f(x)=(x3-x)ln |x|的圖象是(  ) 答案 C 解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),且f(-x)=-(x3-x)ln |x|=-f(x),∴函數(shù)是奇函數(shù),圖象關(guān)于

4、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),排除B,函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0},由f(x)=0,得(x3-x)ln |x|=0,即(x2-1)ln |x|=0,即x=±1,即函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),排除D,f(2)=6ln 2>0,排除A.故選C. 6.(2019·四川省內(nèi)江二模)如果執(zhí)行下面的程序框圖,輸出的S=110,則判斷框處為(  ) A.k<10? B.k≥11? C.k≤10? D.k>11? 答案 C 解析 由程序框圖可知,該程序是計(jì)算S=2+4+…+2k==k(k+1),由S=k(k+1)=110,得k=10,則當(dāng)k=10時(shí),k=k+1=10+1=11不滿(mǎn)足條件,所以條件為“k≤10?”.故

5、選C. 7.(2019·九江二模)勒洛三角形是由德國(guó)機(jī)械工程專(zhuān)家、機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)家勒洛(1829~1905)首先發(fā)現(xiàn),所以以他的名字命名,其作法為:以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心,以邊長(zhǎng)為半徑,在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧,三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形,現(xiàn)在勒洛三角形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自等邊三角形內(nèi)部的概率為(  ) A. B. C. D. 答案 B 解析 如題圖,設(shè)BC=2,以B為圓心的扇形的面積為=,又∵△ABC的面積為××2×2=,∴勒洛三角形的面積為3個(gè)扇形面積減去2個(gè)正三角形的面積,即為×3-2=2π-2,故在勒洛三角形中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自等邊三角形的概率為=

6、,故選B. 8.(2019·淄博一模)已知M(-4,0),N(0,4),點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)x,y滿(mǎn)足則·的最小值為(  ) A. B. C.- D.- 答案 C 解析 由點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)x,y滿(mǎn)足 作出可行域如圖中陰影部分, 則·=(x+2)2+(y-2)2-8的最小值為點(diǎn)A(-2,2)到直線(xiàn)3x-4y+12=0的距離的平方再減8,由d==,可得(x+2)2+(y-2)2-8的最小值為-.故選C. 9.(2019·臨沂一模)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=3,c=2,bsinA=acos,則b=(  ) A.1 B. C. D.

7、答案 C 解析 在△ABC中,由正弦定理得=,得bsinA=asinB,又bsinA=acos,∴asinB=acos,即sinB=cos=cosBcos-sinBsin=cosB-sinB,∴tanB=,又B∈(0,π),∴B=.∵在△ABC中,a=3,c=2,由余弦定理得b===.故選C. 10.(2019·山東濟(jì)南高三3月模擬)若函數(shù)f(x)=sin(ω>0)在[0,π]上的值域?yàn)椋瑒tω的最小值為(  ) A. B. C. D. 答案 A 解析 ∵0≤x≤π,∴-≤ωx-≤ωπ-,而f(x)的值域?yàn)?,發(fā)現(xiàn)f(0)=sin=-, ∴≤ωπ-≤,整理得≤ω≤.則ω的最小值為

8、.故選A. 11.(2019·石家莊模擬)已知雙曲線(xiàn)-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)A為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn),線(xiàn)段AF1交左支于點(diǎn)B,若AF2⊥BF2,且|BF1|=|AF2|,則該雙曲線(xiàn)的離心率為(  ) A. B. C. D.3 答案 B 解析 因|BF1|=|AF2|,設(shè)|AF2|=3t, 則|BF1|=t,t>0, 由雙曲線(xiàn)的定義可得 |BF2|=|BF1|+2a=t+2a,|AF1|=|AF2|+2a=3t+2a, 則|AB|=|AF1|-|BF1|=2t+2a, 由AF2⊥BF2,可得(2a+2t)2=(3t)2+(t+2a)2,

9、解得t=a,則在直角三角形ABF2中,cosA===, 在△AF1F2中,可得cosA= ==,化為c2=a2,則e===.故選B. 12.(2019·北京高考)數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線(xiàn),曲線(xiàn)C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如圖).給出下列三個(gè)結(jié)論: ①曲線(xiàn)C恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)); ②曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò); ③曲線(xiàn)C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3. 其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是(  ) A.① B.② C.①② D.①②③ 答案 C 解析 由x2+y2=1+|x|y,當(dāng)x=0時(shí),y=±1;當(dāng)y=0時(shí),x

10、=±1;當(dāng)y=1時(shí),x=0,±1.故曲線(xiàn)C恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn):A(0,1),B(0,-1),C(1,0),D(1,1),E(-1,0),F(xiàn)(-1,1),所以①正確.由基本不等式,當(dāng)y>0時(shí),x2+y2=1+|x|y=1+|xy|≤1+,所以x2+y2≤2,所以≤,故②正確.如圖, 由①知長(zhǎng)方形CDFE面積為2,三角形BCE面積為1,所以曲線(xiàn)C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3,故③錯(cuò)誤.故選C. 第Ⅱ卷 (非選擇題,共90分) 二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分. 13.(2019·煙臺(tái)一模)已知(a-x)(2+x)5的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為40,則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____

11、__. 答案 3 解析 ∵(a-x)(2+x)5=(a-x)(32+80x+80x2+40x3+10x4+x5)的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為40a-80=40,∴a=3. 14.(2019·揭陽(yáng)一模)在曲線(xiàn)f(x)=sinx-cosx,x∈的所有切線(xiàn)中,斜率為1的切線(xiàn)方程為_(kāi)_______. 答案 x-y-1=0 解析 由f(x)=sinx-cosx,得f′(x)=cosx+sinx=sin, 由sin=1,得sin=, ∵x∈,∴x+∈, ∴x+=,即x=0.∴切點(diǎn)為(0,-1),切線(xiàn)方程為y+1=x,即x-y-1=0. 15.(2019·唐山一模)在四面體ABCD中,AB=BC

12、=1,AC=,且AD⊥CD,該四面體外接球的表面積為_(kāi)_______. 答案 2π 解析 如圖,∵AB=BC=1,AC=,∴AB⊥BC,又AD⊥CD,∴AC的中點(diǎn)即為外接球的球心,外接球的半徑為, ∴S球=4π×=2π. 16.(2019·河南省十所名校高三尖子生第二次聯(lián)考)若函數(shù)y=f(x)的圖象存在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)軸,則稱(chēng)y=f(x)為“旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)函數(shù)”,下列函數(shù)中是“旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)函數(shù)”的有________.(填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)) ①y=②y=cos;③y=ln (ex+1). 答案?、佗? 解析 對(duì)于①,y=ex(x≤0)的反函數(shù)為y=ln x(0

13、直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng),故①是“旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)函數(shù)”. 對(duì)于②,令y=f(x)=cos,則f(-x)=cos=cos=cos=f(x),所以函數(shù)y=cos是偶函數(shù),它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),故②是“旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)函數(shù)”. 對(duì)于③,y=ln (e+1)>ln e=x,當(dāng)x→+∞時(shí),y→x,則函數(shù)y=ln (e+1)的圖象只可能關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng),又y=ln (e+1)>ln 1=0,當(dāng)x→-∞時(shí),y→0,這與函數(shù)y=ln (e+1)的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)矛盾,故③不是“旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)函數(shù)”. 三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為

14、選考題,考生根據(jù)要求作答. (一)必考題:60分. 17.(本小題滿(mǎn)分12分)(2019·四川攀枝花高三第二次統(tǒng)考)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an-an-1=2n-1(n∈N*,n≥2). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Tn. 解 (1)當(dāng)n≥2時(shí),由于an-an-1=2n-1,a1=1, 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=1+3+…+(2n-1)=n2, 又a1=1滿(mǎn)足上式,故an=n2(n∈N*). (2)bn=== =. 所以Tn=b1+b2+…+bn = =

15、=. 18.(本小題滿(mǎn)分12分)(2019·石家莊質(zhì)量檢測(cè))如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1,側(cè)面ABB1A1為菱形,A1C=BC. (1)求證:A1B⊥平面AB1C; (2)若∠ABB1=60°,∠CBA=∠CBB1,AC⊥B1C,求二面角B-AC-A1的余弦值. 解 (1)證明:因?yàn)閭?cè)面ABB1A1為菱形, 所以A1B⊥AB1,記A1B∩AB1=O,連接CO, 因?yàn)锳1C=BC,BO=A1O, 所以A1B⊥CO,又AB1∩CO=O, 所以A1B⊥平面AB1C. (2)解法一:因?yàn)椤螩BA=∠CBB1,AB=BB1,BC=BC,所以△CBA≌△CBB1,所以AC=B

16、1C. 又O是AB1的中點(diǎn),所以CO⊥AB1, 又A1B⊥CO,A1B∩AB1=O, 所以CO⊥平面ABB1A1. 令BB1=2,因?yàn)椤螦BB1=60°,側(cè)面ABB1A1為菱形,AC⊥B1C,O為AB1的中點(diǎn), 所以CO=1. 如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB所在的直線(xiàn)為x軸,OB1所在的直線(xiàn)為y軸,OC所在的直線(xiàn)為z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 則O(0,0,0),A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,0,1),A1(-,0,0), 所以=(,1,0),=(0,1,1),=(-,1,0),=(,0,1). 設(shè)平面ABC的法向量為n1=(x,y,z), 則即 令x=1,則n

17、1=(1,-,), 同理可得平面A1AC的一個(gè)法向量為n2=(1,,-), cos〈n1,n2〉==-, 由圖知二面角B-AC-A1為鈍角, 所以二面角B-AC-A1的余弦值為-. 解法二:因?yàn)椤螩BA=∠CBB1,AB=BB1,BC=BC, 所以△CBA≌△CBB1, 所以AC=B1C. 設(shè)AB=2,因?yàn)椤螦BB1=60°,側(cè)面ABB1A1為菱形,所以AA1=AB1=2,OA=OB1=1,OB=OA1=. 又AC⊥B1C,所以CO=1,AB=B1C=, 又A1C=BC,O為A1B的中點(diǎn),所以BC=A1C=2,所以△ABC為等腰三角形,△A1AC為等腰三角形. 如圖,取A

18、C的中點(diǎn)M,連接BM,A1M,則∠BMA1為二面角B-AC-A1的平面角. 在△BMA1中,可得BM=A1M=,A1B=2, 所以cos∠BMA1==-, 所以二面角B-AC-A1的余弦值為-. 19.(本小題滿(mǎn)分12分)(2019·拉薩一模)已知F為橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn),點(diǎn)P(2,)在C上,且PF⊥x軸. (1)求C的方程; (2)過(guò)F的直線(xiàn)l交C于A,B兩點(diǎn),交直線(xiàn)x=4于點(diǎn)M.證明:直線(xiàn)PA,PM,PB的斜率成等差數(shù)列. 解 (1)因?yàn)辄c(diǎn)P(2,)在C上,且PF⊥x軸,所以c=2,設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為E,連接EP,則|EF|=2c=4,|PF|=,在R

19、t△EFP中,|PE|2=|PF|2+|EF|2=18,所以|PE|=3. 所以2a=|PE|+|PF|=4,a=2, 又b2=a2-c2=4, 故橢圓C的方程為+=1. (2)證明:由題意可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k(x-2), 令x=4,得M的坐標(biāo)為(4,2k), 由得(2k2+1)x2-8k2x+8(k2-1)=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則有x1+x2=,x1x2=. ① 記直線(xiàn)PA,PB,PM的斜率分別為k1,k2,k3, 從而k1=,k2=,k3==k-. 因?yàn)橹本€(xiàn)l的方程為y=k(x-2),所以y1=k(x1-2),y2=k(x2-2), 所

20、以k1+k2=+ =+- =2k-·.   ?、? ①代入②,得k1+k2=2k-·=2k-, 又k3=k-,所以k1+k2=2k3, 故直線(xiàn)PA,PM,PB的斜率成等差數(shù)列. 20.(本小題滿(mǎn)分12分)(2019·武漢一模)十九大以來(lái),某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實(shí)國(guó)家精準(zhǔn)扶貧的政策要求,帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康.經(jīng)過(guò)不懈的奮力拼搏,新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步,農(nóng)民收入也逐年增加.為了更好地制定2019年關(guān)于加快提升農(nóng)民年收入力爭(zhēng)早日脫貧的工作計(jì)劃,該地扶貧辦統(tǒng)計(jì)了2018年50位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖: (1)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)50位農(nóng)民的年平均收入(

21、單位:千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示); (2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收入X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為年平均收入,σ2近似為樣本方差s2,經(jīng)計(jì)算得s2=6.92,利用該正態(tài)分布,求: (ⅰ)在2019年脫貧攻堅(jiān)工作中,若使該地區(qū)約有占總農(nóng)民人數(shù)的84.14%的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn),則最低年收入大約為多少千元? (ⅱ)為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧,不落一人”的政策要求落實(shí)情況,扶貧辦隨機(jī)走訪(fǎng)了1000位農(nóng)民.若每個(gè)農(nóng)民的年收入相互獨(dú)立,問(wèn):這1000位農(nóng)民中的年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是多少? 附:參考數(shù)據(jù)與公式≈2

22、.63,若X~N(μ,σ2),則 ①P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827;②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545;③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9973. 解 (1)=12×0.04+14×0.12+16×0.28+18×0.36+20×0.10+22×0.06+24×0.04=17.40. (2)由題意,X~N(17.40,6.92). (ⅰ)∵P(x>μ-σ)=+≈0.8414, ∴μ-σ=17.40-2.63=14.77時(shí),滿(mǎn)足題意, 即最低年收入大約為14.77千元. (ⅱ)由P(X≥12.14)=P(X≥μ-2σ)=0.5+≈0.9773,得每個(gè)農(nóng)民年收入

23、不少于12.14千元的概率為0.9773, 記1000個(gè)農(nóng)民年收入不少于12.14千元的人數(shù)為ξ,則ξ~B(1000,p),其中p=0.9773. 于是恰好有k個(gè)農(nóng)民的年收入不少于12.14千元的概率是P(ξ=k)=Cpk(1-p)1000-k, 從而由=>1,得k<1001p, 而1001p=978.233, ∴當(dāng)0≤k≤978時(shí),P(ξ=k-1)<P(ξ=k), 當(dāng)979≤k≤1000時(shí),P(ξ=k-1)>P(ξ=k). 由此可知,在走訪(fǎng)的1000位農(nóng)民中,年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是978. 21.(本小題滿(mǎn)分12分)(2019·長(zhǎng)春三模)已知a∈R,函數(shù)f

24、(x)=+aln x. (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性; (2)若x=2是f(x)的極值點(diǎn),且曲線(xiàn)y=f(x)在兩點(diǎn)P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))(x10時(shí),x∈時(shí),f′(x)<0,x∈時(shí),f′(x)>0,即f(x)在x∈上單調(diào)遞減,在x∈上單調(diào)遞增. (2)∵x=2是f(x)的極值點(diǎn), ∴由(1)可知=2,∴a=1. 設(shè)在P(x1,f(x1))

25、處的切線(xiàn)方程為y-=(x-x1),在Q(x2,f(x2))處的切線(xiàn)方程為y-=(x-x2), ∵這兩條切線(xiàn)互相平行, ∴-+=-+, ∴+=. ∵=-,且0

26、1-ln x2=-2+ln . 令g(x)=+ln -2,其中x∈(3,4), ∴g′(x)=-+==>0, ∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞增, ∴g(x)∈, ∴b1-b2的取值范圍是. 解法三:∵x1x2=2(x1+x2), ∴b1-b2=-+ln x1-ln x2=+ln =+ln =+ln . 設(shè)g(x)=+ln x, 則g′(x)=+=. ∵=-1∈,∴g′(x)>0, ∴函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增, ∴g(x)∈, ∴b1-b2的取值范圍是. (二)選考題:10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分. 2

27、2.(本小題滿(mǎn)分10分)[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程] (2019·陜西模擬)已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=,直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0≤α<π). (1)把曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,并說(shuō)明曲線(xiàn)C的形狀; (2)若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),求直線(xiàn)l被曲線(xiàn)C截得的線(xiàn)段AB的長(zhǎng). 解 (1)將曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程ρ=化為ρ2sin2θ=4ρcosθ,得到曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為y2=4x, 故曲線(xiàn)C是頂點(diǎn)為O(0,0),焦點(diǎn)為F(1,0)的拋物線(xiàn). (2)直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0≤α<π). 若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),則α=, ∴直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).

28、 將其代入y2=4x,得t2+6t+2=0. 設(shè)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=-6,t1t2=2.|AB|=|t1-t2|== =8. 23.(本小題滿(mǎn)分10分)[選修4-5:不等式選講] (2019·陜西模擬)已知函數(shù)f(x)= 的定義域?yàn)镽. (1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍; (2)若m的最大值為n,當(dāng)正數(shù)a,b滿(mǎn)足+=n時(shí),求7a+4b的最小值. 解 (1)∵函數(shù)的定義域?yàn)镽, ∴|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立, 設(shè)函數(shù)g(x)=|x+1|+|x-3|,則m不大于函數(shù)g(x)的最小值, 又|x+1|+|x-3|≥|(x+1)-(x-3)|=4, 即函數(shù)g(x)的最小值為4,∴m≤4. (2)由(1)知n=4, ∴7a+4b=(6a+2b+a+2b)= ≥ =, 當(dāng)且僅當(dāng)a+2b=3a+b,即b=2a=時(shí)取等號(hào). ∴7a+4b的最小值為. 16

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