《2019-2020學年高中數學 第二章 一元二次函數、方程和不等式 2.2 基本不等式課后篇鞏固提升（含解析）新人教A版必修1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020學年高中數學 第二章 一元二次函數、方程和不等式 2.2 基本不等式課后篇鞏固提升（含解析）新人教A版必修1（4頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、2.2 基本不等式
課后篇鞏固提升
基礎鞏固
1.已知正實數a、b滿足a+b=ab,則ab的最小值為( )
A.1 B.2 C.2 D.4
解析∵ab=a+b≥2ab,(ab)2≥2ab,∴ab≥4,當且僅當a=b=2時取等號,故ab的最小值為4.
答案D
2.已知00.∴x(1-x)≤x+1-x22=14,當且僅當x=1-x,即x=12時,等號成立.
答案B
3.已知a,b是不相等的正數,x=a+b2,y=a+
2、b,則x,y的關系是( )
A.x>y B.x2y D.y<2x
解析x2=a+b+2ab2<2(a+b)2=a+b,y2=a+b,所以x20,y>0,∴x0,
3、b>0)
B.a+b2<2aba+b(a>0,b>0,a≠b)
C.2aba+b≤ab(a>0,b>0)
D.2aba+b0,b>0,a≠b)
解析由AC=a,BC=b,可得半圓O的半徑DO=a+b2,易得DC=AC·BC=ab,DE=DC2DO=2aba+b,∵DE0,b>0,a≠b).故選D.
答案D
5.已知a>0,b>0,且a+2b=8,則ab的最大值等于 .?
解析a>0,b>0且a+2b=8,則ab=12a·2b≤12a+2b22=12×16=8,當且僅當a=2b=4,取得等號,則ab的最大
4、值為8.
答案8
6.已知4x+ax(x>0,a>0)在x=3處取得最小值,則a= .?
解析由基本不等式,得4x+ax≥24x·ax=4a,當且僅當4x=ax,即x=a2時,等號成立,即a2=3,a=36.
答案36
7.已知t>0,則t2-3t+1t的最小值為 .?
解析t2-3t+1t=t+1t-3≥2t·1t-3=-1,當且僅當t=1時,取等號.
答案-1
8.已知a>0,b>0,求證:a+b+1≥ab+a+b.
證明a+b≥2ab,a+1≥2a,b+1≥2b,
上面三式相加,得2(a+b+1)≥2ab+2a+2b,
所以a+b+1≥ab+a+b.
5、
9.已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求證:1a+1b+1c≥9.
證明因為a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,所以1a+1b+1c=a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc=3+ab+ba+ca+ac+cb+bc≥3+2+2+2=9,當且僅當a=b=c=13時取等號.
能力提升
1.(多選題)若正實數a,b滿足a+b=1,則下列說法錯誤的是( )
A.ab有最小值14 B.a+b有最小值2
C.1a+1b有最小值4 D.a2+b2有最小值22
解析∵a>0,b>0,且a+b=1,∴1=a+b≥2ab,∴ab≤14.∴ab有
6、最大值14,∴選項A錯誤;(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab≤1+214=2,∴a+b≤2,即a+b有最大值2,∴B項錯誤;1a+1b=a+bab=1ab≥4,∴1a+1b有最小值4,∴C正確;a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×14=12,∴a2+b2的最小值是12,不是22,∴D錯誤.
答案ABD
2.已知a>b>c,則(a-b)(b-c)與a-c2的大小關系是 .?
解析∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,
∴a-c2=(a-b)+(b-c)2≥(a-b)(b-c).
當且僅當b=a+c2時取等號.
答案(a-b)(b-c)≤a-
7、c2
3.直角三角形的周長等于2,則這個直角三角形面積的最大值為 .?
解析設直角三角形的兩直角邊長為a、b,斜邊長為c,面積為S,周長L=2,由于a+b+a2+b2=L≥2ab+2ab(當且僅當a=b時取等號),∴ab≤L2+2.
∴S=12ab≤12L2+22=12·(2-2)L22=3-224L2=3-22.
答案3-22
4.已知a,b,c為不全相等的正實數,且abc=1.求證:a+b+c<1a2+1b2+1c2.
證明因為a,b,c都是正實數,且abc=1,
所以1a2+1b2≥2ab=2c,1b2+1c2≥2bc=2a,1a2+1c2≥2ac=2b,
以上三個不等式相加,得:21a2+1b2+1c2≥2(a+b+c),即1a2+1b2+1c2≥a+b+c,
因為a,b,c不全相等,所以上述三個不等式中的“=”不都同時成立,所以a+b+c<1a2+1b2+1c2.
4
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