（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 第二章 函數(shù) 第10講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)練習 文（含解析）新人教A版

第10講　指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 夯實基礎　【p25】 【學習目標】 1．了解指數(shù)冪的概念，掌握有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質． 2．掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質． 【基礎檢測】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.的值是(　　) A.B.C．－D．－ 【解析】化簡式子＝＝＝，所以選A. 【答案】A 2．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，b＝{y|y＝2x}，則A∩B＝(　　) A．(－1，2)B．(－2，1) C．(0，1)D．(0，2) 【解析】由題意得A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{y|y＝2x}＝{y|y>0}， ∴A∩B＝{x|0<x<2}＝(0，2)． 故選D. 【答案】D 3．三個數(shù)1，0.32，20.3的大小順序是(　　) A．0.32<20.3<1B．0.32<1<20.3 C．1<0.32<20.3D．20.3<1<0.32 【解析】0.32＝0.09，20.3>20＝1， 所以0.32<1<20.3， 所以選B. 【答案】B 4．已知函數(shù)f＝ax在x∈上恒有f<2，則實數(shù)a的取值范圍為____________． 【解析】當a>1時，函數(shù)f＝ax在x∈上為增函數(shù)，所以f＝f(2)，又因為x∈時，f<2恒成立，所以即解得1<a<； 同理，當0<a<1時，解得<a<1， 綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為∪. 【答案】∪ 【知識要點】 1．有理數(shù)指數(shù)冪 (1)冪的有關概念　　①正分數(shù)指數(shù)冪：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ②負分數(shù)指數(shù)冪：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于__0__，0的負分數(shù)指數(shù)冪__沒有意義__． (2)有理數(shù)指數(shù)冪的性質 ①aras＝__ar＋s__(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝__ars__(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝__arbr__(a>0，b>0，r∈Q)． 2．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質 y＝ax a>1 0<a<1 圖象 定義域 R 值域 __(0，＋∞)__ 性質 過定點__(0，1)__ 當x>0時，__y>1__；x<0時，__0<y<1__ 當x>0時，__0<y<1__；x<0時，__y>1__ 在區(qū)間(－∞，＋∞)上是__增函數(shù)__ 在區(qū)間(－∞，＋∞)上是__減函數(shù)__ 典例剖析　【p25】 考點1　指數(shù)冪的運算 求值與化簡： (1)(0.027)－－＋－(－1)0； (2)·(a＞0，b＞0)； (3). 【解析】(1)原式＝－72＋－1＝－49＋－1＝－45. (2)原式＝·a·a－·b－·b＝a0·b0＝. (3)原式＝＝a－－－·b＋－＝. 【小結】指數(shù)冪運算的一般原則： (1)有括號的先算括號里的，無括號的先做指數(shù)運算． (2)先乘除后加減，負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)． (3)底數(shù)是負數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先化成分數(shù)，底數(shù)是帶分數(shù)的，先化成假分數(shù)． (4)若是根式，應化為分數(shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數(shù)冪的運算性質來解答． 考點2　指數(shù)函數(shù)的圖象及應用 已知函數(shù)y＝. (1)作出其圖象； (2)由圖象指出其單調區(qū)間； (3)由圖象指出，當x取什么值時y有最值． 【分析】先化去絕對值符號，將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，再作出其圖象，然后根據(jù)圖象判斷其單調性、最值． 【解析】(1)由函數(shù)解析式可得 y＝＝ 其圖象分成兩部分： 一部分是y＝(x≥－2)的圖象，由下列變換可得到， y＝y(tǒng)＝； 另一部分是y＝2x＋2(x＜－2)的圖象， 由下列變換可得到， y＝2x y＝2x＋2， 如圖(實線)為函數(shù) y＝的圖象． (2)由圖象觀察知函數(shù)的單調增區(qū)間為(－∞，－2]，單調減區(qū)間為[－2，＋∞)． (3)由圖象觀察知，x＝－2時，函數(shù)y＝有最大值，最大值為1，沒有最小值． 【小結】指數(shù)函數(shù)圖象的畫法及應用： (1)畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的圖象，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0，1)，. (2)與指數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的圖象的研究，往往利用相應指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象． 考點3　指數(shù)函數(shù)的性質及應用 (1)若a＝40.9，b＝80.48，c＝，則(　　) A．c>a>bB．b>a>c C．a(chǎn)>b>cD．a(chǎn)>c>b 【解析】a＝40.9＝21.8，b＝80.48＝21.44，c＝21.5，所以a>c>b. 【答案】D (2)討論函數(shù)f(x)＝的單調性． 【解析】∵函數(shù)f(x)的定義域是R. 令u＝x2－2x，則y＝， ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上是減函數(shù)， 又∵y＝在其定義域內是減函數(shù)， ∴函數(shù)f(x)在(－∞，1]上是增函數(shù)； 又u＝x2－2x＝(x－1)2－1在[1，＋∞)上是增函數(shù)， ∵y＝在其定義域內是減函數(shù)， ∴函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上是減函數(shù)． 【小結】比較冪值的大?。? (1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪再利用單調性比較大??； (2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大??；解簡單指數(shù)不等式先利用冪的運算性質化為同底數(shù)冪，再利用單調性轉化為一般不等式求解． 考點4　指數(shù)函數(shù)的綜合應用 已知函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)． (1)若f(1)＋f(－1)＝，求f(2)＋f(－2)的值． (2)若函數(shù)f(x)在[－1，1]上的最大值與最小值的差為，求實數(shù)a的值． 【解析】(1)∵f(x)＝ax，f(1)＋f(－1)＝， ∴f(1)＋f(－1)＝a＋＝，解得a＝2或， 當a＝2時，f(x)＝2x，f(2)＋f(－2)＝22＋2－2＝， 當a＝時，f(x)＝，f(2)＋f(－2)＝＋＝， 故f(2)＋f(－2)＝. (2)當a>1時，f(x)＝ax在[－1，1]上單調遞增， ∴f(x)max－f(x)min＝f(1)－f(－1)＝a－a－1＝，化簡得3a2－8a－3＝0， 解得a＝－(舍去)或a＝3. 當0<a<1時，f(x)＝ax在[－1，1]上單調遞減， ∴f(x)max－f(x)min＝f(－1)－f(1)＝a－1－a＝，化簡得3a2＋8a－3＝0. 解得a＝－3(舍去)或a＝. 綜上，實數(shù)a的值為3或. 【小結】指數(shù)函數(shù)的綜合問題，要把指數(shù)函數(shù)的概念和性質同函數(shù)的其他性質相結合，同時要特別注意底數(shù)不確定時，對底數(shù)進行分類討論． 【能力提升】 設函數(shù)f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0，a≠1)是定義域為R的奇函數(shù)． (1)若f(1)>0，試求使不等式f＋f>0在定義域上恒成立的t的取值范圍； (2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－2mf(x)在上的最小值為－2，求m的值． 【解析】(1)∵f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，∴f(0)＝0， ∴1－(k－1)＝0，∴k＝2. ∵函數(shù)f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)，f(1)>0， ∴a－＞0，又a＞0，∴a>1. 由于y＝ax單調遞增，y＝a－x單調遞減， 故f(x)在R上單調遞增． 不等式化為：f(x2＋tx)>f(－2x－1)． ∴x2＋tx＞－2x－1，即x2＋(t＋2)x＋1＞0恒成立， ∴Δ＝(t＋2)2－4＜0，解得－4＜t＜0. (2)∵f(1)＝，a－＝，即3a2－8a－3＝0， ∴a＝3，或a＝－(舍去)． ∴g(x)＝32x＋3－2x－2m(3x－3－x)＝(3x－3－x)2－2m(3x－3－x)＋2. 令t＝F(x)＝3x－3－x，可知F(x)顯然是增函數(shù)． ∵x≥1，∴t≥f(1)＝， 令h(t)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2， 若m≥，當t＝m時，h(t)min＝h(m)＝2－m2＝－2， ∴m＝±2，舍去； 若m<，當t＝時，h(t)min＝h＝－m＋2＝－2，解得m＝＜， 綜上可知m＝. 【小結】(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質，計算參數(shù)k.由函數(shù)的單調性和奇偶性來轉化不等式，建立二次函數(shù)恒成立的不等式，用判別式判別； (2)通過換元，轉化為含參二次函數(shù)求最值的問題，主要討論對稱軸與定義域的關系，從而確定函數(shù)的最小值，求參數(shù)的值． 方法總結　【p27】 1．指數(shù)的乘、除運算一般要求在同底數(shù)狀態(tài)下進行，所以在進行指數(shù)運算時，先將指數(shù)式化為同底數(shù)． 2．解指數(shù)不等式，一般將不等式兩邊化為同底數(shù)的指數(shù)形式，再利用單調性轉化為簡單不等式求解． 3．當?shù)讛?shù)中出現(xiàn)參數(shù)時，要注意對底數(shù)的取值范圍加以討論． 4．比較兩個冪值的大小是一種常見的題型，解決這類問題，首先要分清底數(shù)相同還是指數(shù)相同，如果底數(shù)相同，指數(shù)不同，可利用指數(shù)函數(shù)的單調性；如果底數(shù)不同，指數(shù)相同，可利用圖象(見下表)或利用冪函數(shù)的性質；如果指數(shù)、底數(shù)都不同，可引入中間量. 底的關系 a>b>1 1>a>b>0 圖象 底大于1時，底大者靠近y軸 底小于1時，底小者靠近y軸 走進高考　　【p27】 1．(2017·北京)已知函數(shù)f(x)＝3x－，則f(x)(　　) A．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) C．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) 【解析】f(－x)＝3－x－＝－3x＝－f(x)，所以該函數(shù)是奇函數(shù)，并且y＝3x是增函數(shù)，y＝是減函數(shù)，根據(jù)“增函數(shù)－減函數(shù)＝增函數(shù)”，可知該函數(shù)為增函數(shù)，故選B. 【答案】B - 7 -