（全國(guó)通用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題提分教程 高難拉分攻堅(jiān)特訓(xùn)（一）理

高難拉分攻堅(jiān)特訓(xùn)(一) 1．已知橢圓M：＋y2＝1，圓C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共點(diǎn)P，設(shè)圓C在點(diǎn)P處的切線斜率為k1，橢圓M在點(diǎn)P處的切線斜率為k2，則的取值范圍為(　　) A．(1,6) B．(1,5) C．(3,6) D．(3,5) 答案　D 解析　由于橢圓M：＋y2＝1，圓C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共點(diǎn)P，所以解得3<a2<5.設(shè)橢圓M：＋y2＝1與圓C：x2＋y2＝6－a2在第一象限的公共點(diǎn)P(x0，y0)，則橢圓M在點(diǎn)P處的切線方程為＋y0y＝1，圓C在P處的切線方程為x0x＋y0y＝6－a2，所以k1＝－，k2＝－，＝a2，所以∈(3,5)，故選D. 2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，a2＝2，an≠0，(an＋1－2n)Sn＋1＝an＋1Sn－1－2nSn(n≥2)，設(shè)bn＝a2n－1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，則T100＝________. 答案　9901 解析　由(an＋1－2n)Sn＋1＝an＋1Sn－1－2nSn(n≥2)整理得an＋1(Sn＋1－Sn－1)＝2n(Sn＋1－Sn)?an＋1(an＋1＋an)＝2nan＋1，即an＋1＋an＝2n(n≥2)，由兩式相減得an＋2－an＝2(n≥2)，故{bn}從第二項(xiàng)起是以2為公差的等差數(shù)列，b1＝a1＝1，由于a3＋a2＝4，則a3＝2，∴b2＝a3＝2，故T100＝1＋2×99＋×2＝9901. 3．某省2020年高考將實(shí)施新的高考改革方案．考生的高考總成績(jī)將由3門(mén)統(tǒng)一高考科目成績(jī)和自主選擇的3門(mén)普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試科目成績(jī)組成，總分為750分．其中，統(tǒng)一高考科目為語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，自主選擇的3門(mén)普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試科目是從物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門(mén)作為選考科目，語(yǔ)、數(shù)、外三科各占150分，選考科目成績(jī)采用“賦分制”，即原始分?jǐn)?shù)不直接用，而是按照學(xué)生分?jǐn)?shù)在本科目考試的排名來(lái)劃分等級(jí)并以此打分得到最后得分．根據(jù)高考綜合改革方案，將每門(mén)等級(jí)考試科目中考生的原始成績(jī)從高到低分為A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E共8個(gè)等級(jí)．參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.等級(jí)考試科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到91－100,81－90,71－80,61－70,51－60,41－50,31－40,21－30八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī)． 舉例說(shuō)明： 某同學(xué)化學(xué)學(xué)科原始分為65分，該學(xué)科C＋等級(jí)的原始分分布區(qū)間為58～69，則該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的原始成績(jī)屬C＋等級(jí)．而C＋等級(jí)的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為61～70，那么該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的轉(zhuǎn)換分為： 設(shè)該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的轉(zhuǎn)換等級(jí)分為x，＝，求得x≈66.73. 四舍五入后該同學(xué)化學(xué)學(xué)科賦分成績(jī)?yōu)?7. (1)某校高一年級(jí)共2000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對(duì)六個(gè)選考科目進(jìn)行測(cè)試，其中物理考試原始成績(jī)基本服從正態(tài)分布ξ～N(60,122)． ①若小明同學(xué)在這次考試中物理原始分為84分，等級(jí)為B＋，其所在原始分分布區(qū)間為82～93，求小明轉(zhuǎn)換后的物理成績(jī)； ②求物理原始分在區(qū)間(72,84)的人數(shù)； (2)按高考改革方案，若從全省考生中隨機(jī)抽取4人，記X表示這4人中等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間[61,80]的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． (附：若隨機(jī)變量ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.683，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.997) 解　(1)①設(shè)小明轉(zhuǎn)換后的物理等級(jí)分為x，＝， 求得x≈82.64. 小明轉(zhuǎn)換后的物理成績(jī)?yōu)?3分． ②因?yàn)槲锢砜荚囋挤只痉恼龖B(tài)分布N(60,122)， 所以P(72<ξ<84)＝P(60<ξ<84)－P(60<ξ<72) ＝P(36<ξ<84)－P(48<ξ<72) ＝×(0.954－0.683)＝0.1355. 所以物理原始分在區(qū)間(72,84)的人數(shù)為2000×0.1355＝271. (2)由題意得，隨機(jī)抽取1人，其等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間[61,80]內(nèi)的概率為， 隨機(jī)抽取4人，則X～B. P(X＝0)＝4＝， P(X＝1)＝C××3＝， P(X＝2)＝C×2×2＝， P(X＝3)＝C×3×1＝， P(X＝4)＝4＝. X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 數(shù)學(xué)期望E(X)＝4×＝. 4．已知函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－ax2(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))． (1)討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由； (2)若對(duì)任意的x>0，f(x)＋ex≥x3＋x，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)f′(x)＝xex－2ax＝x(ex－2a)． 當(dāng)a≤0時(shí)，由f′(x)<0得x<0，由f′(x)>0得x>0， ∴f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴f(x)有1個(gè)極值點(diǎn)； 當(dāng)0<a<時(shí)，由f′(x)>0得x<ln (2a)或x>0，由f′(x)<0得ln (2a)<x<0， ∴f(x)在(－∞，ln (2a))上單調(diào)遞增，在(ln (2a)，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)； 當(dāng)a＝時(shí)，f′(x)≥0， ∴f(x)在R上單調(diào)遞增， ∴f(x)沒(méi)有極值點(diǎn)； 當(dāng)a>時(shí)，由f′(x)>0得x<0或x>ln (2a)， 由f′(x)<0得0<x<ln (2a)， ∴f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，ln (2a))上單調(diào)遞減，在(ln (2a)，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)． 綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)有1個(gè)極值點(diǎn)； 當(dāng)a>0且a≠時(shí)，f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)； 當(dāng)a＝時(shí)，f(x)沒(méi)有極值點(diǎn)． (2)由f(x)＋ex≥x3＋x得xex－x3－ax2－x≥0. 當(dāng)x>0時(shí)，ex－x2－ax－1≥0， 即a≤對(duì)任意的x>0恒成立． 設(shè)g(x)＝，則g′(x)＝. 設(shè)h(x)＝ex－x－1，則h′(x)＝ex－1. ∵x>0，∴h′(x)>0，∴h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴h(x)>h(0)＝0，即ex>x＋1， ∴g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴g(x)≥g(1)＝e－2，∴a≤e－2， ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，e－2]． - 4 -