控制系統(tǒng)數學模型及其轉換ppt課件

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返回總目錄,第3章 控制系統(tǒng)數學模型及其轉換,,,,,,,仿真是對數學模型進行的試驗，建模是仿真的基礎，系統(tǒng)模型化技術是系統(tǒng)仿真的核心。 本章首先給出控制系統(tǒng)數學模型的分類，介紹控制系統(tǒng)常用的數學模型的描述形式，最后給出各種數學模型，如微分方程、傳遞函數、狀態(tài)空間等之間轉換和MATLAB實現。,,,,,,,,,一.連續(xù)和離散系統(tǒng),系 統(tǒng) 類 型,根據系統(tǒng)變量是時間連續(xù)函數還是時間離散函數，系統(tǒng)分為連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)。 (1) 連續(xù)系統(tǒng)——系統(tǒng)輸入、輸出信號都是連續(xù)時間信號。（一般L、R、C電路） (2) 離散系統(tǒng)——系統(tǒng)輸入、輸出信號都是離散時間信號。（數字計算機） (3) 混合系統(tǒng)——系統(tǒng)輸入、輸出信號包含連續(xù)信號和離散信號。（計算機控制系統(tǒng) ） 連續(xù)時間系統(tǒng)的數學模型用微分方程描述。離散時間系統(tǒng)的數學模型用差分方程描述。,,,,二. 線性和非線性系統(tǒng),根據輸入輸出關系是否同時滿足齊次性和疊加性，系統(tǒng)分為線性和非線性。假設系統(tǒng)在沒有外界信號作用之前處于靜止狀態(tài)，在輸入信號u1和u2或a1u1和 a2u2作用下，有 式中， 為任意實數， 為輸入輸出之間函數關系。那么，該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，否則是非線性系統(tǒng)。,,系 統(tǒng) 類 型,,,,,系 統(tǒng) 類 型,線性時變系統(tǒng)：,非線性定常系統(tǒng)：,線性定常系統(tǒng)：,根據模型參數是否隨時間變化，線性系統(tǒng)又可細分為線性定常系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)。參數不隨時間變化的系統(tǒng)，稱為時不變系統(tǒng)或定常系統(tǒng)，否則稱為時變系統(tǒng)。,,,,,三.確定和隨機系統(tǒng),系 統(tǒng) 類 型,根據系統(tǒng)輸入、輸出和內部狀態(tài)呈現的規(guī)律，系統(tǒng)分為確定性系統(tǒng)與隨機性系統(tǒng)。輸入輸出之間函數關系能夠用確定性模型描述的系統(tǒng)，稱為確定性系統(tǒng)，否則稱為隨機系統(tǒng)(或不確定性系統(tǒng))。例如,式中，,分別為狀態(tài)變量和輸出變量，,為噪聲。,,,,,,控制系統(tǒng)常用數學模型,一. 連續(xù)系統(tǒng),式中，,分別為系統(tǒng)輸入量、輸出量，n為系統(tǒng)的階次，,及各階導數的的初始值為,為參數，均為實常數。,已知輸出變量,1．微分方程 一個連續(xù)系統(tǒng)可以表示成高階微分方程，即,,,,,,控制系統(tǒng)常用數學模型,稍加整理，并記,2．傳遞函數 若系統(tǒng)的初始條件為零，那么對微分方程兩邊取拉普拉斯變換后可得,稱為系統(tǒng)的傳遞函數。,,,,控制系統(tǒng)常用數學模型,=AX+BU 狀態(tài)方程 Y=CX+DU 輸出方程,,系統(tǒng)的動態(tài)特性是用由狀態(tài)變量構成的一階微分方程組來描述。狀態(tài)空間表達式包括狀態(tài)方程和輸出方程。線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為,3．狀態(tài)空間描述,r維輸入向量,n維狀態(tài)向量,m維輸出向量,,,,,控制系統(tǒng)常用數學模型,,,,維輸出矩陣,維直接傳遞矩陣,維系統(tǒng)矩陣,維輸入矩陣,,,,,,控制系統(tǒng)常用數學模型,,,,,,,,,對于線性時變系統(tǒng)，系數矩陣A，B，C，D，均與時間t有關，狀態(tài)空間描述為,,,,,控制系統(tǒng)常用數學模型,,,,,,,,1．差分方程 設系統(tǒng)差分方程為,引進后移算子,可得,二. 離散系統(tǒng),,,控制系統(tǒng)常用數學模型,,,2．離散傳遞函數(Z傳函) 假設系統(tǒng)的初始條件為零，即,則得,系統(tǒng)傳遞函數,為,在初始條件為零時，,與,等價。,,,,,控制系統(tǒng)常用數學模型,,,,,,,,3. 離散狀態(tài)空間描述 多變量離散狀態(tài)空間表達式,,,,,控制系統(tǒng)常用數學模型,,,,,,,三. MATLAB模型表示,MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱提供傳遞函數模型、零極點增益模型、狀態(tài)空間模型的生成函數。,線性模型生成函數,,,,,,控制系統(tǒng)常用數學模型,,,,,,,,,1. 傳遞函數模型(transfer function model: TF) 已知傳遞函數模型,由分子和分母多項式系數可以唯一確定傳遞函數。 分子向量 num=,分母向量 den=,,,,控制系統(tǒng)常用數學模型,,,,,,,,,用命令tf( )可建立傳遞函數模型，或將零極點增益模型和狀態(tài)空間模型化為傳遞函數模型。 sys = tf(num，den)；%用于生成連續(xù)傳遞函數； sys = tf(num，den，Ts)；%用于生成離散傳遞函數； sys = tf(num，den，'Property1'，Value1，.，'PropertyN'，ValueN)；% 用于生成具有LTI模型屬性的連續(xù)傳遞函數； sys = tf(num，den，Ts，‘Property1’，Value1，.，‘PropertyN’，ValueN)；% 用于生成具有LTI模型屬性的離散傳遞函數； tfsys = tf(sys)；%用于將任意狀態(tài)空間模型SS或零極點增益模型ZPK的LTI對象sys轉換成傳遞函數形式,,,,,控制系統(tǒng)常用數學模型,,,,,,,,給定SISO系統(tǒng)傳遞函數為,,,使用MATLAB表示該傳遞函數 num=[2 1];den=[3 4 1]; sys1=tf(num, den) 運行結果： Transfer function: 2 s + 1 --------------- 3 s^2 + 4 s + 1,,,,,,,控制系統(tǒng)常用數學模型,,,,,給定SISO系統(tǒng)傳遞函數為,使用MATLAB表示該傳遞函數 num=[1.3 2 2.5]; den=[1 0.5 1.2 1]; sys2=tf(num,den,'inputdelay',2) 運行結果： Transfer function: 1.3 s^2 + 2 s + 2.5 exp(-2*s) * ------------------------- s^3 + 0.5 s^2 + 1.2 s + 1,,,,,,,控制系統(tǒng)常用數學模型,,,,,,,,給定多輸入-多輸出MIMO系統(tǒng),,MATLAB命令： num={1 1;2 [1 1] }; den={[1 1],[1 2];1,[1 2]}; sys3=tf(num,den),,,,,,,控制系統(tǒng)常用數學模型,,,,,,,,,,結果為： Transfer function from input 1 to output. 1 #1: ------- s + 1 #2: 2 Transfer function from input 2 to output. 1 #1: ------- s + 2 s + 1 #2: ------- s + 2,,,,,,,控制系統(tǒng)常用數學模型,,,,,若一采樣周期為0.2s的離散MIMO傳遞函數為,MATLAB命令如下： num={[1 1],[1 0];1,2}; %分子 den={[1 2 1],[1 0 2];[2 1],[1 1]}; %分母 sys4=tf(num,den,0.2),,,,,,,控制系統(tǒng)常用數學模型,,Transfer function from input 1 to output. z + 1 #1: ------------- z^2 + 2 z + 1 1 #2: ------- 2 z + 1 Transfer function from input 2 to output. z #1: ------- z^2 + 2 2 #2: ----- z + 1 Sampling time: 0.2,,,,,,,控制系統(tǒng)常用數學模型,,,,,,,,2. 零極點增益模型( zero-pole-gain model: ZPK ) 零極點模型是傳遞函數的一種特殊形式,離散系統(tǒng),連續(xù)系統(tǒng),,,,,,,控制系統(tǒng)常用數學模型,,,,,,用命令zpk( )可以建立零極點增益模型，或將傳遞函數模型和狀態(tài)空間模型變化為零極點增益模型。 語法格式 sys = zpk(z，p，k) sys = zpk(z，p，k，Ts) sys = zpk(z，p，k，'Property1'，Value1，.，'PropertyN'，ValueN) sys = zpk(z，p，k，Ts，'Property1'，Value1，.，'PropertyN'，ValueN) zsys = zpk(sys) zpk( )函數調用方法與tf( )一致。,,,,,,,控制系統(tǒng)常用數學模型,,,,,,,,,給定一零極點增益模型,,使用MATLAB表示該傳遞函數。 MATLAB命令如下： z={0;-0.5}; p={0.3;[0.1-j,0.1+j]}; k=[1;2]; sys=zpk(z,p,k,[]),,,,,,,控制系統(tǒng)常用數學模型,,,,,,,,,,Zero/pole/gain from input to output. z #1: ---------- (z-0.3) 2 (z+0.5) #2: ----------------------- (z^2 - 0.2z + 1.01) Sampling time: unspecified,,,,,,控制系統(tǒng)常用數學模型,,,,將傳遞函數 化為零極點增益模型,Matlab命令： num=[1.3 2 2.5]; den=[1 0.5 1.2 1]; sys2=tf(num,den,'inputdelay',2) sys6=zpk(sys2),,,,,,,控制系統(tǒng)常用數學模型,,,,,,,Transfer function: 1.3 s^2 + 2 s + 2.5 exp(-2*s) * ------------------------------ s^3 + 0.5 s^2 + 1.2 s + 1 Zero/pole/gain: 1.3 (s^2 + 1.538s + 1.923) exp(-2*s) * --------------------------------------------- (s+0.7307) (s^2 - 0.2307s + 1.369),,,,,,,控制系統(tǒng)常用數學模型,,,,,,,3．狀態(tài)空間模型(state-space model: SS) 線性定常狀態(tài)空間模型描述為,式中，,為狀態(tài)向量，,為輸入向量，,是輸出向量。,,,,,,,控制系統(tǒng)常用數學模型,,,,,,,,,用命令ss( )可以建立狀態(tài)空間模型，或將傳遞函數模型和零極點增益模型轉化為狀態(tài)空間模型。 語法調用格式: sys = ss(a，b，c，d) sys = ss(a，b，c，d，Ts) sys = ss(a，b，c，d，'Property1'，Value1，.，'PropertyN'，ValueN) sys = ss(a，b，c，d，Ts，'Property1'，Value1，.，'PropertyN'，ValueN) sys_ss = ss(sys) sys_ss = ss(sys，'minimal'); %最小階實現 ss函數的調用方法與tf( )、zpk( )一致。,,,,,,,控制系統(tǒng)常用數學模型,,,,,,,,,狀態(tài)空間模型,,用MATLAB表示為 A=[0 1 0; 0 0 1; -5 -20 -1]; B=[0;0; 1]; C=[1 0 0]; D=0; sys=ss(A,B,C,D),,,,,,,控制系統(tǒng)常用數學模型,,,,,,,,,,結果為： a = x1 x2 x3 x1 0 1 0 x2 0 0 1 x3 -5 -20 -1 b = u1 x1 0 x2 0 x3 1 c = x1 x2 x3 y1 1 0 0 d = u1 y1 0 Continuous-time model。,,,,,,,利用MATLAB實現數學模型之間的轉換,,,,,,,,MATLAB實現模型轉換有兩種不同的方式。 方式1：簡單的模型轉換 首先生成任一指定的模型對象(tf，ss，zpk)，然后將該模型對象類作為輸入，調用欲轉換的模型函數即可。 例如：欲將傳遞函數轉換為狀態(tài)空間模型 sys=tf(num，den)； [a，b，c，d]=ss(sys),,,,,,,利用MATLAB實現數學模型之間的轉換,,,,,,,,方式2：直接調用模型轉換函數 連續(xù)模型之間三種形式的數學模型相互轉換函數類型包括tf2ss、ss2tf、zp2tf、tf2zp、ss2zp、zp2ss，共六個函數。,,,,,,,,,,,,,利用MATLAB實現數學模型之間的轉換,,,一.化傳遞函數為狀態(tài)空間模型,函數tf2ss用于將傳遞函數化成狀態(tài)空間模型，調用格式如 [A，B，C，D] = tf2ss(num，den); 其中，輸入num，den分別為傳遞函數分子和分母多項式系數；輸出A，B，C，D為狀態(tài)空間模型系數矩陣。,,,,,,,利用MATLAB實現數學模型之間的轉換,,,,,將傳遞函數,,化成狀態(tài)空間表達式 方式1： num = {[0 2 3]; [1 2 1]};%分子多項式系數 den = {[1 0.4 1]; [1 0.4 1]};% 分母多項式系數 tfsys=tf(num,den); %生成傳遞函數 sssys=ss(tfsys) ;%轉化為狀態(tài)空間模型,,,,,,,利用MATLAB實現數學模型之間的轉換,,,,,,結果為： a = x1 x2 x1 -0.4 -0.5 x2 2 0 b = u1 x1 2 x2 0 c = x1 x2 y1 1 0.75 y2 0.8 0 d = u1 y1 0 y2 1,,,,,,,利用MATLAB實現數學模型之間的轉換,,,,,,,,方式2： num = [0 2 3; 1 2 1]; den = [1 0.4 1]; [A,B,C,D] = tf2ss(num,den) 結果為： A = -0.4000 -1.0000 1.0000 0 B = 1 0 C = 2.0000 3.0000 1.6000 0 D = 0 1,,,,,,,利用MATLAB實現數學模型之間的轉換,,,,,,二. 化傳遞函數為零極點增益模型,,函數tf2zp用于將傳遞函數化成零極點增益模型形式 [z，p，k] = tf2zp(num，den) 其中，num，den分別為傳遞函數的分子和分母多項式系數；z，p，k為零極點增益模型的零點、極點和增益向量。,,,,,,,利用MATLAB實現數學模型之間的轉換,,,,,,將傳遞函數 化為零極點增益模型。,,,方式1： zpk(tf([2 1],[3 4 1])) Zero/pole/gain: 0.66667 (s+0.5) ---------------- (s+1) (s+0.3333),方式2： [z,p,k]=tf2zp([2 1],[3 4 1]) z = -0.5000 p = -1.0000 -0.3333 k = 0.6667,因此零極點增益模型為,,,,,,,利用MATLAB實現數學模型之間的轉換,,,,,三. 化零極點增益模型為狀態(tài)空間模型,函數zp2ss用于將零極點增益模型,化成狀態(tài)空間模型，zp2ss調用格式 [A，B，C，D] = zp2ss(z，p，k) 其中，輸入z，p，k為零極點增益模型的零點、極點和增益向量。輸出A，B，C，D為狀態(tài)空間模型系數矩陣。,,,,,,,利用MATLAB實現數學模型之間的轉換,,零極點增益模型 化成狀態(tài)空間表達式,方式1： z=[-2]; p=[-1 -3 -3]; k=2; zpksys=zpk(z,p,k); sssys=ss(zpksys),方式2: z=[-2]; p=[-1 -3 -3]; k=2; [A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k),,,,,,,利用MATLAB實現數學模型之間的轉換,,,,四. 化連續(xù)狀態(tài)方程為離散狀態(tài)方程,設連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為,假設輸入端加上虛擬采樣開關和虛擬信號重構器，輸出端加一個虛擬采樣開關，虛擬采樣周期為T，兩者同步。,,,,,,,利用MATLAB實現數學模型之間的轉換,,,,,1. 采用零階保持器的離散狀態(tài)方程 設kT及(k+1)T為兩個依次相連的采樣瞬時，保持器為零階保持器，u(t)在kT及(k+1)T之間保持不變,式(2)－式(1)乘以eAT，可得,(1),(2),,,,,,,利用MATLAB實現數學模型之間的轉換,,,,,離散的狀態(tài)空間表達式為,式中，,不變；,為采樣周期。,,,,,利用MATLAB實現數學模型之間的轉換,,,,,,2. 采用一階保持器的離散狀態(tài)方程 保持器使為斜坡函數(梯形近似)，則對,離散的狀態(tài)空間表達式為,,式中，,不變。,,,,,,,利用MATLAB實現數學模型之間的轉換,,,,,,,,3. 連續(xù)系統(tǒng)離散化的MATLAB方法 c2d( )可以將連續(xù)系統(tǒng)化成等價的離散化模型，格式如下： sysd = c2d(sys，Ts) sysd = c2d(sys，Ts，method) 其中，sys為連續(xù)時間系統(tǒng)模型，Ts為采樣周期，單位為秒(s)。method定義離散化方法，method的取 (1) ‘zoh’ ——采用零階保持器。 (2) ‘foh’ ——采用一階保持器。 (3) ‘tustin’ ——采用雙線性(tustin)逼近方法。 (4) ‘matched’ ——采用SISO系統(tǒng)的零極點匹配法。 默認時，method=‘zoh’。,,,,,,,利用MATLAB實現數學模型之間的轉換,,,,,,,采用一階保持器，采樣周期為0.5s，離散化下列狀態(tài)方程,MATLAB程序： sys=ss([0 1; 0 -2],[ 0 1]',[1 0],0); dss=c2d(sys,0.5,'foh'),,,,,,,利用MATLAB實現數學模型之間的轉換,結果為： a = x1 x2 x1 1 0.3161 x2 0 0.3679 b = u1 x1 0.1501 x2 0.1998 Sampling time: 0.5 Discrete-time model,,,,,,,,,,,,利用MATLAB實現數學模型之間的轉換,,,,,,五.化狀態(tài)空間模型為傳遞函數,消去中間項,后，可得系統(tǒng)的傳遞函數矩陣,,對方程式兩端分別取拉普拉斯變換(設初始條件為零)，得,假設狀態(tài)空間表達式,,,,,,,利用MATLAB實現數學模型之間的轉換,,,,,,,將狀態(tài)空間方程化為傳遞函數的方法有： 1 如果系統(tǒng)只有一個輸入，則可采用 [num，den] = ss2tf (A，B，C，D) 或 [num，den] = ss2tf (A，B，C，D，1) 2 對多輸入的系統(tǒng)，則可采用 [num，den] = ss2tf [A，B，C，D，iu] 這里，iu是輸入的標號。例如，如果系統(tǒng)有三個輸入(u1，u2，u3)，則iu必須為1、2或3中的一個，其中1表示u1，2表示u2，3表示u3。,,,,,,,利用MATLAB實現數學模型之間的轉換,,,將狀態(tài)空間模型,轉換為傳遞函數和零極點增益模型,,,,,,,利用MATLAB實現數學模型之間的轉換,,,MATLAB命令： A=[0 1 0; 0 0 1; -5 -20 -1]; B=[0;0; 1]; C=[1 0 0]; D=0; [num,den]=ss2tf(A,B,C,D); tf(num,den) [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D); zpk(z,p,k),,,,,,,利用MATLAB實現數學模型之間的轉換,,,,,,,Transfer function: -1.11e-015 s^2 + 1.421e-014 s + 1 --------------------------------- s^3 + s^2 + 20 s + 5,Zero/pole/gain: 1 ---------------------------------- (s+0.2524) (s^2 + 0.7476s + 19.81),,,,,,,利用MATLAB實現數學模型之間的轉換,,,,,,多入單出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式,包括兩個傳遞函數：Y1(s)/U1(s)、Y1(s)/U2(s)(當考慮輸入u1時，可設u2為零。反之亦然)，試將其化成傳遞函數形式,,,,,,,利用MATLAB實現數學模型之間的轉換,,,,,,MATLAB命令： A=[0 1 0; 0 1 1; -5.008 25.1026 -5.032471]; B=[0 1; 25.04 2; 121.005 3]; C=[1 0 0]; D=[0 0]; [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1); Sys1=tf(num,den),傳遞函數Y1(s)/U1(s)為 Transfer function: -3.553e-015 s^2 + 25.04 s + 247 ------------------------------------------- s^3 + 4.032 s^2 – 30.14 s + 5.008,,,,,,,利用MATLAB實現數學模型之間的轉換,,,,,,[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,2); Sys2=tf(num,den) 傳遞函數Y1(s)/U2(s)為 Transfer function: s^2 + 6.032 s – 17.07 ------------------------------------------ s^3 + 4.032 s^2 – 30.14 s + 5.008,,,,,模 型 實 現,,,,,所謂實現，就是根據描述系統(tǒng)輸入/輸出動態(tài)關系的運動方程式或傳遞函數建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。所求得的狀態(tài)空間表達式保持原傳遞函數的輸入/輸出關系，同時反映內部動態(tài)變化。 實現不是唯一的，會有無窮多個狀態(tài)空間表達式能夠獲得相同的輸入/輸出關系。,,,,,模 型 實 現,,,并非任意的微分方程和傳遞函數都能求得其實現，實現存在的條件是,考慮單變量線性定常系統(tǒng),傳遞函數為,模型的實現就是根據微分方程或傳遞函數找出狀態(tài)空間表達式,,,,,模 型 實 現,,,,一.能控標準型,設傳遞函數為,令,,,,,模 型 實 現,,,,,,取狀態(tài),狀態(tài)方程為,輸出方程為,,,,,模 型 實 現,,,,,二. 對角標準型,已知系統(tǒng)傳遞函數,,根據系統(tǒng)特征根情況，展開成部分分式，求得與之對應的狀態(tài)空間表達式。,,,,,模 型 實 現,,,,,式中，,,為分母多項式極點，即系統(tǒng)特征根。,將其展成部分分式,式中，,為待定系數，計算公式,,所以,1. 特征根互異情況,,,,,模 型 實 現,,,,,Step 1：選擇狀態(tài)變量,,,,,模 型 實 現,,,,Step 2：化為狀態(tài)變量的一階方程組為,,,,,模 型 實 現,,,,Step 3：寫成狀態(tài)空間方程向量形式為,,,,,模 型 實 現,,,,2. 特征根有重根情況,設有重的主根 ，其余 ， ， 是互異根。,部分分式為,,待定系數計算公式,,,,,模 型 實 現,,,,,,,,,模 型 實 現,,,,Step 1：選擇狀態(tài)變量,,,,,模 型 實 現,,,,Step 2：化為狀態(tài)變量的一階方程組為,,,,,模 型 實 現,,,,Step 3：寫成狀態(tài)空間方程向量形式為,,,,,,模 型 實 現,,,,設,，試求狀態(tài)空間表達式。,解：極點為,待定系數,，,，,,,,,模 型 實 現,,,,狀態(tài)空間模型為,,,,,,模 型 實 現,,,,設,，試求狀態(tài)空間表達式。,解：系統(tǒng)有三個極點，,，,待定系數,,,,,模 型 實 現,,,,狀態(tài)方程為,,,,,小結,,,,本章首先給出控制系統(tǒng)數學模型的分類，介紹控制系統(tǒng)常用的數學模型的描述形式，最后給出各種數學模型，如微分方程、傳遞函數、狀態(tài)空間等之間轉換和MATLAB實現。 掌握各種數學模型的MATLAB生成與轉換方法。 理解和掌握模型實現理論和方法。 理解和掌握連續(xù)系統(tǒng)的離散化方法。,