（課標通用版）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第九章 平面解析幾何 第7講 拋物線檢測 文

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1、第7講 拋物線 [基礎(chǔ)題組練] 1．拋物線y＝ax2(a<0)的準線方程是(　　) A．y＝－　　　　　　　　 B．y＝－ C．y＝ D．y＝ 解析：選B.拋物線y＝ax2(a<0)可化為x2＝y(tǒng)，準線方程為y＝－.故選B. 2．已知點M是拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點，F(xiàn)為C的焦點，MF的中點坐標是(2，2)，則p的值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選D.由題意得F，那么M在拋物線上，即16＝2p，即p2－8p＋16＝0，解得p＝4. 3．(2019·四川成都檢測)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，點A(0，－)．若線段FA與拋物

2、線C相交于點M，則|MF|＝(　　) A. B. C. D. 解析：選A.由題意，F(xiàn)(1，0)，|AF|＝2，設|MF|＝d，則M到準線的距離為d，M的橫坐標為d－1，由三角形相似，可得＝，所以d＝，故選A. 4．直線l過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，且與拋物線交于A，B兩點，若線段AB的長是8，AB的中點到y(tǒng)軸的距離是2，則此拋物線方程是(　　) A．y2＝12x B．y2＝8x C．y2＝6x D．y2＝4x 解析：選B.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，根據(jù)拋物線定義， x1＋x2＋p＝8， 因為AB的中點到y(tǒng)軸的距離是2，所以＝2， 所以p

3、＝4；所以拋物線方程為y2＝8x.故選B. 5．拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，其準線與雙曲線－＝1相交于A，B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p＝________． 解析：在等邊三角形ABF中，AB邊上的高為p，＝p，所以B. 又因為點B在雙曲線上，故－＝1，解得p＝6. 答案：6 6．(2019·云南大理州模擬)在直角坐標系xOy中，有一定點M(－1，2)，若線段OM的垂直平分線過拋物線x2＝2py(p>0)的焦點，則該拋物線的準線方程是________． 解析：依題意可得線段OM的垂直平分線的方程為2x－4y＋5＝0， 把焦點坐標代入可求得p＝， 所以準線方程為y

4、＝－. 答案：y＝－ 7．頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線截直線y＝2x－4所得的弦長|AB|＝3，求此拋物線方程． 解：設所求的拋物線方程為y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直線y＝2x－4代入y2＝ax， 得4x2－(a＋16)x＋16＝0， 由Δ＝(a＋16)2－256>0，得a>0或a<－32. 又x1＋x2＝，x1x2＝4， 所以|AB|＝ ＝ ＝3， 所以5＝45， 所以a＝4或a＝－36. 故所求的拋物線方程為y2＝4x或y2＝－36x. 8．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4，且位于x軸上方的點，

5、A到拋物線準線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M. (1)求拋物線的方程； (2)若過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標． 解：(1)拋物線y2＝2px的準線為x＝－， 于是4＋＝5，所以p＝2.所以拋物線方程為y2＝4x. (2)因為點A的坐標是(4，4)， 由題意得B(0，4)，M(0，2)． 又因為F(1，0)，所以kFA＝， 因為MN⊥FA，所以kMN＝－. 所以FA的方程為y＝(x－1)，① MN的方程為y－2＝－x，② 聯(lián)立①②， 解得x＝，y＝， 所以N的坐標為. [綜合題組練] 1．已知拋物線x2＝4y上一動點P到x軸

6、的距離為d1，到直線l：x＋y＋4＝0的距離為d2，則d1＋d2的最小值是(　　) A.＋2 B.＋1 C.－2 D.－1 解析：選D.拋物線x2＝4y的焦點F(0，1)，由拋物線的定義可得d1＝|PF|－1，則d1＋d2＝|PF|＋d2－1，而|PF|＋d2的最小值等于焦點F到直線l的距離，即(|PF|＋d2)min＝＝，所以d1＋d2的最小值是－1. 2．(綜合型)(2019·湖北武漢部分學校調(diào)研)過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F，且斜率為的直線交C于點M(M在x軸上方)，l為C的準線，點N在l上且MN⊥l，若|NF|＝4，則M到直線NF的距離為(　　) A.

7、 B．2 C．3 D．2 解析：選B.法一：因為直線MF的斜率為，MN⊥l，所以∠NMF＝60°，又|MF|＝|MN|，且|NF|＝4，所以△NMF是邊長為4的等邊三角形，所以M到直線NF的距離為2.故選B. 法二：由題意可得直線MF的方程為x＝y(tǒng)＋，與拋物線方程聯(lián)立消去x可得y2－py－p2＝0，解得y＝－p或y＝p，又點M在x軸上方，所以M，因為MN⊥l，所以N，所以|NF|＝＝2p.由題意2p＝4，解得p＝2，所以N(－1，2)，F(xiàn)(1，0)，直線NF的方程為x＋y－＝0，且點M的坐標為(3，2)，利用點到直線的距離公式可得M到直線NF的距離為＝2.故選B. 法三：由題意可

8、得直線MF的方程為x＝y(tǒng)＋，與拋物線方程聯(lián)立消去x可得y2－py－p2＝0，解得y＝－p或y＝p，又點M在x軸上方，所以M，因為MN⊥l，所以N，所以|NF|＝＝2p.由題意2p＝4，解得p＝2，所以N(－1，2)，F(xiàn)(1，0)，M(3，2)，設M到直線NF的距離為d，在△MNF中，S△MNF＝|NF|×d＝|MN|×yM，所以d＝×4×2＝2，故選B. 3．(應用型)如圖所示是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2 m，水面寬4 m．水位下降1 m后，水面寬________m. 解析：建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則A(2，－2)，將其坐標代入x

9、2＝－2py，得p＝1. 所以x2＝－2y. 當水面下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)，將其坐標代入x2＝－2y，得x＝6，所以x0＝. 所以水面寬|CD|＝2 m. 答案：2 4．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，直線y＝4與C的交點為P，與y軸的交點為Q，且|PF|＝|PQ|，則拋物線C的方程為________． 解析：設P(x0，4)．將點P的坐標代入y2＝2px(p>0)，得x0＝，所以|PQ|＝，|PF|＝＋.由題意得＋＝×.又p>0，解得p＝2.所以拋物線C的方程為y2＝4x. 答案：y2＝4x 5．(2018·高考全國卷Ⅱ)設拋物線C：y2＝

10、4x的焦點為F，過F且斜率為k(k＞0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|＝8. (1)求l的方程； (2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程． 解：(1)由題意得F(1，0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)． 設A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝. 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝. 由題設知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1. 因此l的方程為y＝x－1. (2)由(1)得AB的中點坐標為(3，2)，所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)

11、，即y＝－x＋5. 設所求圓的圓心坐標為(x0，y0)， 則 解得或 因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. 6．(綜合型)如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，點P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上． (1)寫出該拋物線的方程及其準線方程； (2)當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求y1＋y2的值及直線AB的斜率． 解：(1)由已知條件，可設拋物線的方程為y2＝2px(p>0)． 因為點P(1，2)在拋物線上， 所以22＝2p×1， 解得p＝2. 故所求拋物線的方程是y2＝4x，準線方程是x＝－1. (2)設直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB. 則kPA＝(x1≠1)， kPB＝(x2≠1)， 因為PA與PB的斜率存在且傾斜角互補， 所以kPA＝－kPB. 由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上， 得 所以＝－， 所以y1＋2＝－(y2＋2)． 所以y1＋y2＝－4. 由 ①－②得，y－y＝4(x1－x2)， 所以kAB＝＝＝－1. 6