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1、中檔題專練(六)
1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)銳角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x1,y1),將射線OP繞坐標(biāo)原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)π2后與單位圓交于點(diǎn)Q(x2,y2),記f(α)=y1+y2.
(1)求函數(shù)f(α)的值域;
(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若f(C)=2,且a=2,c=1,求b.
2.(2018南京、鹽城高三年級(jí)第二次模擬考試)調(diào)查某地居民每年到商場(chǎng)購物次數(shù)m與商場(chǎng)面積S、到商場(chǎng)距離d的關(guān)系,得到關(guān)系式m=k×Sd2(k為常數(shù),k>0),如圖,某投資者計(jì)劃在與商場(chǎng)A相距10km的新區(qū)新建商場(chǎng)B,且
2、商場(chǎng)B的面積與商場(chǎng)A的面積之比為λ(0<λ<1).記“每年居民到商場(chǎng)A購物的次數(shù)”與“每年居民到商場(chǎng)B購物的次數(shù)”分別為m1、m2,稱滿足m1b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P(3,1)在橢圓
3、上,△PF1F2的面積為22.
(1)①求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
②若∠F1QF2=π3,求QF1·QF2的值.
(2)直線y=x+k與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的值.
答案精解精析
1.解析 (1)由題意得y1=sinα,y2=sinα+π2=cosα,
所以f(α)=sinα+cosα=2sinα+π4,
因?yàn)棣痢?,π2,所以α+π4∈π4,3π4,
故f(α)的值域?yàn)?1,2].
(2)因?yàn)閒(C)=2sinπ4+C=2,且易知C∈0,π2,所以C=π4,
在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,
4、
即1=2+b2-22×22b,解得b=1.
2.解析 設(shè)商場(chǎng)A、B的面積分別為S1km2、S2km2,點(diǎn)P到A、B的距離分別為d1km、d2km,
則S2=λS1(0<λ<1),m1=kS1d12,m2=kS2d22,k為常數(shù),k>0.
(1)在△PAB中,AB=10,PA=15,∠PAB=60°,
由余弦定理,得d22=PB2=AB2+PA2-2AB·PAcos60°=102+152-2×10×15×12=175.
又d12=PA2=225,
則m1-m2=kS1d12-kS2d22=kS1d12-kλS1d22=kS11d12-λd22,
將λ=12,d12=225,d2
5、2=175代入,得m1-m2=kS11225-1350.
因?yàn)閗S1>0,所以m1>m2,即居住在P點(diǎn)處的居民不在商場(chǎng)B相對(duì)于A的“更強(qiáng)吸引區(qū)域”內(nèi).
(2)以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(10,0),設(shè)P(x,y),
由m1
6、10λ1-λkm的圓的內(nèi)部,與商場(chǎng)B相距2km以內(nèi)的區(qū)域(含邊界)是以B(10,0)為圓心,r2=2km為半徑的圓的內(nèi)部及圓周.
由題設(shè)知圓B內(nèi)含于圓C,即BC<|r1-r2|.
因?yàn)?<λ<1,所以101-λ-10<10λ1-λ-2,整理得4λ-5λ+1<0,
解得116<λ<1.
所以,所求λ的取值范圍是116,1.
3.解析 (1)①由條件可知9a2+1b2=1,c=22,
又a2=b2+c2,所以a2=12,b2=4,
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212+y24=1.
②當(dāng)∠F1QF2=π3時(shí),
QF1+QF2=2a=43,QF12+QF22-QF1·QF2=(2c)2=32,
所以QF1·QF2=163.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由x212+y24=1,y=x+k,得4x2+6kx+3k2-12=0,
則x1+x2=-3k2,x1x2=3k2-124,y1y2=k2-124.
因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),則OA·OB=x1x2+y1y2=k2-6=0,
解得k=±6,此時(shí)Δ=120>0,滿足條件,
因此k=±6.
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江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 中檔題專練六
