廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)規(guī)范練12 函數(shù)與方程 文

考點(diǎn)規(guī)范練12　函數(shù)與方程 一、基礎(chǔ)鞏固 1.(2018山東濰坊月考)若函數(shù)f(x)的唯一零點(diǎn)同時(shí)在(0,4),(0,2),(1,2),1,32內(nèi),則與f(0)符號(hào)相同的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.f(4) B.f(2) C.f(1) D.f32 答案C 解析本題實(shí)質(zhì)考查二分法. 由題意知f(x)的零點(diǎn)在1,32內(nèi), 可知f(0)與f(1)符號(hào)相同. 2.已知函數(shù)f(x)=2x-1,x≤1,1+log2x,x>1,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為(　　) A.12,0 B.-2,0 C.12 D.0 答案D 解析當(dāng)x≤1時(shí),由f(x)=2x-1=0,解得x=0; 當(dāng)x>1時(shí),由f(x)=1+log2x=0,解得x=12, 又因?yàn)閤>1,所以此時(shí)方程無(wú)解. 綜上可知函數(shù)f(x)的零點(diǎn)只有0,故選D. 3.函數(shù)y=ln(x+1)與y=1x的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的區(qū)間為(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案B 解析函數(shù)y=ln(x+1)與y=1x的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),即為函數(shù)f(x)=ln(x+1)-1x的零點(diǎn). ∵f(x)在(0,+∞)上是圖象連續(xù)的,且f(1)=ln2-1<0,f(2)=ln3-12>0,∴f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(1,2).故選B. 4.若函數(shù)f(x)=2x-2x-a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2) 答案C 解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2x-2x-a在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,又函數(shù)f(x)=2x-2x-a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),所以f(1)·f(2)<0,所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0.所以0<a<3. 5.若f(x)是奇函數(shù),且x0是y=f(x)+ex的一個(gè)零點(diǎn),則-x0一定是下列哪個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)(　　) A.y=f(-x)ex-1 B.y=f(x)e-x+1 C.y=exf(x)-1 D.y=exf(x)+1 答案C 解析由已知可得f(x0)=-ex0,則e-x0f(x0)=-1,e-x0f(-x0)=1,故-x0一定是y=exf(x)-1的零點(diǎn). 6.(2018山東濱州月考)函數(shù)f(x)=sin(πcos x)在區(qū)間[0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案C 解析令f(x)=0,得πcosx=kπ(k∈Z)?cosx=k(k∈Z),所以k=0,1,-1. 若k=0,則x=π2或x=3π2; 若k=1,則x=0或x=2π; 若k=-1,則x=π. 故零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5. 7.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+1,函數(shù)y=f(x+1)-1為奇函數(shù),則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案B 解析∵f(x)=x3+ax2+bx+1, ∴f(x+1)-1=(x+1)3+a(x+1)2+b(x+1)+1-1 =x3+(3+a)x2+(3+2a+b)x+1+b+a. ∵函數(shù)y=f(x+1)-1為奇函數(shù),∴a=-3,b=2. ∴f(x)=x3-3x2+2x+1. ∴f'(x)=3x2-6x+2=3(x-1)2-1 =3x-1-33x-1+33. 經(jīng)分析可知f(x)在-∞,1-33內(nèi)是增函數(shù),在1-33,1+33內(nèi)是減函數(shù),在1+33,+∞內(nèi)是增函數(shù),且f1-33>0,f1+33>0, ∴函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1,故選B. 8.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)=2 016x+log2 016x,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案C 解析作出函數(shù)y=2016x和y=-log2016x的圖象如圖所示, 可知函數(shù)f(x)=2016x+log2016x在x∈(0,+∞)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn). ∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù), ∴f(x)在x∈(-∞,0)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn). 又f(0)=0,∴函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是3,故選C. 9.已知偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x-1)=f(x+1),且當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x,則關(guān)于x的方程f(x)=110x在區(qū)間[0,4]上解的個(gè)數(shù)是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案D 解析由f(x-1)=f(x+1),可知函數(shù)f(x)的周期T=2. ∵x∈[0,1]時(shí),f(x)=x,又f(x)是偶函數(shù), ∴f(x)的圖象與y=110x的圖象如圖所示. 由圖象可知f(x)=110x在區(qū)間[0,4]上解的個(gè)數(shù)是4. 故選D. 10.函數(shù)f(x)=cos3x+π6在[0,π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為　　　　　.  答案3 解析令f(x)=cos3x+π6=0,得3x+π6=π2+kπ,k∈Z, ∴x=π9+kπ3=(3k+1)π9,k∈Z.則在[0,π]的零點(diǎn)有π9,4π9,7π9.故有3個(gè). 11.已知函數(shù)f(x)=log2(x+1),x>0,-x2-2x,x≤0,若函數(shù)g(x)=f(x)-m有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　　　　　.  答案(0,1) 解析因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=f(x)-m有3個(gè)零點(diǎn),所以f(x)-m=0有3個(gè)根,所以y=f(x)的圖象與直線(xiàn)y=m有3個(gè)交點(diǎn).畫(huà)出函數(shù)y=f(x)的圖象,由拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為(-1,1),可知實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,1). 12.已知函數(shù)f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x-x-1的零點(diǎn)分別為x1,x2,x3,則x1,x2,x3的大小關(guān)系是　　　　　　　　　　.  答案x1<x2<x3 解析令y1=2x,y2=lnx,y3=-x-1,y=-x,∵函數(shù)f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=x-x-1的零點(diǎn)分別為x1,x2,x3,即為函數(shù)y1=2x,y2=lnx,y3=-x-1與函數(shù)y=-x交點(diǎn)的橫坐標(biāo),分別作出函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象可得x1<x2<x3. 二、能力提升 13.已知函數(shù)f(x)=-x2+3x+a,g(x)=2x-x2,若f(g(x))≥0對(duì)x∈[0,1]恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A.[-e,+∞) B.[-ln 2,+∞) C.[-2,+∞) D.-12,0 答案C 解析令t=g(x),x∈[0,1],則g'(x)=2xln2-2x. 可知存在x0∈(0,1),使g'(x0)=0,則函數(shù)g(x)在[0,x0]上單調(diào)遞增,在[x0,1]上單調(diào)遞減. 故g(x)在x∈[0,1]上的值域?yàn)閇1,g(x0)],且g(x0)=2x0-x02. 故f(g(x))≥0可轉(zhuǎn)化為f(t)≥0,即a≥t2-3t. 又當(dāng)x0∈[0,1]時(shí),g(x0)=2x0-x02<2, 因?yàn)棣?t)=t2-3t在[1,2]上的最大值為φ(1)=φ(2), 所以φ(t)在[1,g(x0)]上的最大值為φ(1). 所以φ(t)max=φ(1)=1-3=-2. 所以a≥-2.故選C. 14.已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點(diǎn)為a,函數(shù)g(x)=ln x+x-2的零點(diǎn)為b,則下列不等式中成立的是(　　) A.f(a)<f(1)<f(b) B.f(a)<f(b)<f(1) C.f(1)<f(a)<f(b) D.f(b)<f(1)<f(a) 答案A 解析由題意,知f'(x)=ex+1>0在x∈R上恒成立,故函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增.而f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)a∈(0,1); 由題意,知g'(x)=1x+1>0在x∈(0,+∞)內(nèi)恒成立,故函數(shù)g(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增. 又g(1)=ln1+1-2=-1<0,g(2)=ln2+2-2=ln2>0, 所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)b∈(1,2). 綜上,可得0<a<1<b<2.因?yàn)閒(x)在R上是單調(diào)遞增的, 所以f(a)<f(1)<f(b).故選A. 15.若方程4-x2=k(x-2)+3有兩個(gè)不等的實(shí)根,則k的取值范圍是　　　　　　.  答案512,34 解析作出函數(shù)y1=4-x2和y2=k(x-2)+3的圖象如圖所示,函數(shù)y1的圖象是圓心在原點(diǎn),半徑為2且在x軸上方的半圓(包括端點(diǎn)),函數(shù)y2的圖象是過(guò)定點(diǎn)P(2,3)的直線(xiàn).因?yàn)辄c(diǎn)A(-2,0),則kPA=3-02-(-2)=34. 設(shè)直線(xiàn)PB是圓的切線(xiàn),由圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑,得|3-2kPB|kPB2+1=2,得kPB=512.由圖可知,當(dāng)kPB<k≤kPA時(shí),兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),即原方程有兩個(gè)不等實(shí)根.故512<k≤34. 16.若定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足f(x+1)=-f(x),且當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f(x)=x2,函數(shù)g(x)=log3(x-1),x>1,2x,x≤1,則函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間[-5,5]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為　　　　　.  答案8 解析∵f(x+1)=-f(x), ∴f(x+2)=f(x). 又x∈[-1,1]時(shí),f(x)=x2,∴f(x)的圖象如圖所示,在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)的圖象, 可見(jiàn)y=f(x)(-5≤x≤5)與y=2x(x≤1)有5個(gè)交點(diǎn),y=f(x)(-5≤x≤5)與y=log3(x-1)(x>1)的圖象有3個(gè)交點(diǎn),故共有8個(gè)交點(diǎn). 三、高考預(yù)測(cè) 17.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點(diǎn),則a=(　　) A.-12 B.13 C.12 D.1 答案C 解析∵f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1), ∴f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)+1] =x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1) =x2-2x+a(ex-1+e-x+1), ∴f(2-x)=f(x),即直線(xiàn)x=1為f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸. ∵f(x)有唯一零點(diǎn),∴f(x)的零點(diǎn)只能為1, 即f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=12. 8