2019-2020學年高中數學 第二章 一元二次函數、方程和不等式 習題課 基本不等式的應用課后篇鞏固提升（含解析）新人教A版必修1

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1、習題課　基本不等式的應用 課后篇鞏固提升 基礎鞏固 1.x2+3x+6x+1(x>0)的最小值是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析由題意知,f(x)=x2+3x+6x+1=(x+1)2+x+1+4x+1=x+1+4x+1+1,因為x>0,所以x+1>0,則x+1+4x+1+1≥24+1=5,當且僅當x+1=4x+1,即x=1時取“=”,故f(x)的最小值是5. 答案D 2.已知a>0,b>0,若不等式4a+1b≥ma+4b恒成立,則m的最大值為(　　) A.9 B.12 C.16 D.10 解析因為a>0,b>0,所以a+4b>0, 所以不等式4a+1b≥ma+

2、4b恒成立, 即可轉化為4a+1b(a+4b)≥m恒成立, 即4a+1b(a+4b)min≥m,因為4a+1b(a+4b)=8+16ba+ab≥8+216ba×ab=16, 當且僅當a=4b時取等號,所以16≥m,即m的最大值為16. 答案C 3.中國南宋大數學家秦九韶提出了“三斜求積術”,即已知三角形三邊長求三角形面積的公式:設三角形的三條邊長分別為a,b,c,則三角形的面積S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)求得,其中p為三角形周長的一半,這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式.現有一個三角形的邊長滿足a=6,b+c=8,則此三角形面積的最大值為(　　) A.37 B.8

3、C.47 D.93 解析由題意p=7,S=7(7-a)(7-b)(7-c)=7(7-b)(7-c)≤7·7-b+7-c2=37, 當且僅當7-b=7-c,即b=c時等號成立, 此三角形面積的最大值為37,故選A. 答案A 4.若正數x,y滿足x+5y=3xy,則5x+y的最小值是　　　　　.? 解析正數x,y滿足x+5y=3xy,則1y+5x=3, ∴5x+y=13(5x+y)1y+5x=1325+1+5xy+5yx≥1326+25xy·5yx=12, 當且僅當x=y=2時取等號,故5x+y的最小值是12. 答案12 5.一批救災物資隨51輛汽車從某市以v km/h的速度勻

4、速直達災區(qū),已知兩地公路線長400 km,為了安全起見,兩輛汽車的間距不得小于v2800 km,那么這批物資全部到達災區(qū)最少需要　　　　　 h.? 解析當最后一輛汽車出發(fā),第一輛汽車行駛50·v2800v=v16小時,最后一輛車駛完全程共需要400v小時,所以一共需要400v+v16小時,由基本不等式,得400v+v16≥2400v·v16=10,故最小值為10小時. 答案10 6.已知a,b都是正數,滿足2a+b=3,則a+2bab的最小值為　　　　　.? 解析∵a,b都是正數,滿足2a+b=3, 則a+2bab=1b+2a=13(2a+b)2a+1b =135+2ba+2ab≥

5、13(5+4)=3, 當且僅當2ba=2ab且2a+b=3,即a=b=1時,a+2bab取得最小值3. 答案3 7.若關于x的不等式x+4x-a≥5在x∈(a,+∞)上恒成立,則實數a的最小值為　　　　　.? 解析關于x的不等式x+4x-a≥5在x∈(a,+∞)上恒成立,即為x-a+4x-a≥5-a在x∈(a,+∞)上恒成立,由x>a,可得x-a>0,則x-a+4x-a≥2(x-a)·4x-a=4,當且僅當x-a=2即x=a+2時,上式取得最小值4,則5-a≤4,可得a≥1,可得a的最小值為1. 答案1 8.若正實數x,y滿足x+y=1,求4x+1+1y的最小值. 解因為x+y=

6、1,所以(x+1)+y=2. 所以4x+1+1y=4x+1+1y×[(x+1)+y]2=125+4yx+1+x+1y≥12(5+24)=92, 當且僅當4yx+1=x+1y,即x=13,y=23時,等號成立. 所以4x+1+1y的最小值為92. 9.求函數y=x+1x-1中y的取值范圍. 解當x>1時,y=(x-1)+1x-1+1≥2(x-1)×1x-1+1=3,即x>1時,ymin=3; 當x<1時,y=-(1-x)+11-x+1≤-2(1-x)×11-x+1=-1,即x<1時,ymax=-1; 故函數y=x+1x-1中y的取值范圍為(-∞,-1]∪[3,+∞). 能力提升

7、 1.已知x<54,則函數y=4x-2+14x-5的最大值是(　　) A.1 B.2 C.3 D.12 解析由題意,x<54,則5-4x>0,15-4x>0,則y=4x-2+14x-5=4x-5+14x-5+3=-(5-4x)+15-4x+3≤-2(5-4x)·15-4x+3=1, 當且僅當5-4x=15-4x,即x=1時等號成立, 所以函數y=4x-2+14x-5的最大值為1,故選A. 答案A 2.設x>0,y>0,x+y=5,則1x+4y+1的最小值為　　　　　.? 解析1x+4y+1=16[x+(y+1)]1x+4y+1 =161+4+y+1x+4xy+1 =165+y

8、+1x+4xy+1≥32. 答案32 3.(一題多空題)設函數y=x+ax(a>0). (1)當a=1時,y在區(qū)間(0,+∞)上的最小值為　　　　　;? (2)若該函數在區(qū)間(2,+∞)上存在最小值,則滿足條件的一個a的值為　　　　　.? 解析(1)當a=1時,由基本不等式得x+1x≥2·x·1x=2,當且僅當x=1x,即x=1時等號成立,故最小值為2. (2)由基本不等式得x+ax≥2x·ax=2a,當且僅當x=ax,x=a時等號成立,故a>2,即a>4.填a>4的任意一個a都符合題意. 答案2　5(答案不唯一,只要a>4即可) 4.中歐班列是推進與“一帶一路”沿線國家道路聯

9、通、貿易暢通的重要舉措,作為中歐鐵路在東北地區(qū)的始發(fā)站,沈陽某火車站正在不斷建設.目前車站準備在某倉庫外,利用其一側原有墻體,建造一間墻高為3米,底面積為12平方米,且背面靠墻的長方體形狀的保管員室.由于此保管員室的后背靠墻,無需建造費用,因此甲工程隊給出的報價為:屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元,左右兩面新建墻體報價為每平方米150元,屋頂和地面以及其他報價共計7 200元.設屋子的左右兩側墻的長度均為x米(2≤x≤6). (1)當左右兩面墻的長度為多少時,甲工程隊報價最低? (2)現有乙工程隊也參與此保管員室建造競標,其給出的整體報價為900a(1+x)x元(a>0),若無論左

10、右兩面墻的長度為多少米,乙工程隊都能競標成功,試求a的取值范圍. 解(1)設甲工程隊的總造價為y元, 則y=3150×2x+400×12x+7200=900x+16x+7200(2≤x≤6), 900x+16x+7200≥900×2×x·16x+7200=14400. 當且僅當x=16x,即x=4時等號成立. 即當左右兩面墻的長度為4米時,甲工程隊的報價最低為14400元. (2)由題意可得,900x+16x+7200>900a(1+x)x對任意的x∈[2,6]恒成立, 即(x+4)2x>a(1+x)x, ∴a<(x+4)2x+1=(x+1)+9x+1+6, 又x+1+9x+1+6≥2(x+1)·9x+1+6=12, 當且僅當x+1=9x+1,即x=2時等號成立, ∴0