2020屆高考數(shù)學(xué) 專(zhuān)題九 線性規(guī)劃精準(zhǔn)培優(yōu)專(zhuān)練 文

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1、培優(yōu)點(diǎn)九 線性規(guī)劃 一、求線性目標(biāo)的最值 例1：設(shè)變量，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為． 【答案】 【解析】由約束條件，作出可行域如圖， ，化目標(biāo)函數(shù)為， 由圖可知，當(dāng)直線過(guò)時(shí)，直線在軸上的截距最大，有最大值為． 二、求非線性目標(biāo)的最值 例2：若滿足約束條件，則的取值范圍為（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出約束條件所表示的的可行域如圖： 表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率， 聯(lián)立方程組，可解得，同理可得， 當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，斜率取最小值：； 當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，斜率取最大值， 則的取值范圍是，故選A． 三、線

2、性規(guī)劃的含參問(wèn)題 例3：已知，滿足約束條件，若的最大值為，則（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）． 則，，若過(guò)時(shí)取得最大值為，則，解得， 此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)為，即， 平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí)，截距最大，此時(shí)最大為，滿足條件， 若過(guò)時(shí)取得最大值為，則，解得， 此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)為，即，平移直線， 當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí)，截距最大，此時(shí)最大為，不滿足條件，故，故選B． 四、線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用 例4：某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品和產(chǎn)品需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要甲材料，乙材料，用個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要甲材

3、料，乙材料，用個(gè)工時(shí)， 生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料，乙 材料，則在不超過(guò)個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品的利潤(rùn)之和的最大值為元． 【答案】 【解析】設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品分別為、件，利潤(rùn)之和為元， 那么，① 目標(biāo)函數(shù)，二元一次不等式組①等價(jià)于，② 作出二元一次不等式組②表示的平面區(qū)域（如圖），即可行域． 將變形，得，平移直線， 當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值， 解方程組，得的坐標(biāo)， 所以當(dāng)，時(shí)，元． 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、選擇題 1．已知滿足，若對(duì)任意都有成立，則的取值范圍是（） A． B． C． D． 【答案】D

4、 【解析】令，畫(huà)出表示的可行域， 由可行域知，目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)取最大值， 由可得，，可得時(shí)，的最大值為． ∴要使恒成立，只需使目標(biāo)函數(shù)的最大值小于等于即可， ∴的取值范圍為．故選D． 2．已知變量，滿足的不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)直角三角形，則實(shí)數(shù) （） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由約束條件作出可行域如圖， 直線過(guò)定點(diǎn)， ∵不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)直角三角形， ∴當(dāng)時(shí)，平面區(qū)域?yàn)橹苯侨切渭捌鋬?nèi)部區(qū)域； 當(dāng)時(shí)，平面區(qū)域?yàn)橹苯侨切渭捌鋬?nèi)部區(qū)域． ∴的值應(yīng)為或，故選D． 3．若實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為（） A． B． C．

5、D． 【答案】B 【解析】，滿足，表示的可行域如圖， 它的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方減去． 顯然點(diǎn)到直線的距離最小，且最小值為， ∴．故選B． 4．設(shè)，滿足約束條件，則的最大值為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由根據(jù)題意畫(huà)出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖， 區(qū)域?yàn)闈M足不等式組的所有點(diǎn)的集合， 設(shè)，． 當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取最小值，且； 當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取最大值，且； ∴，則，故選C． 5．如果點(diǎn)在平面區(qū)域上，則的最大值和最小值分別是（） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】如圖，先作出點(diǎn)所在的平面區(qū)域： 表

6、示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的平方， 當(dāng)點(diǎn)在時(shí)，，而點(diǎn)到直線的距離的平方為， ∴的最小值為； 當(dāng)點(diǎn)在時(shí)，離最遠(yuǎn)，，∴的最大值為．故選B． 6．設(shè)變量，滿足約束條件，則的取值范圍是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，，則，， 代入，得，作出可行域如圖， 化為． 分別聯(lián)立方程組，，解得，． ∴的范圍為．故選C． 7．設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分， 目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線在軸上的截距， 由圖可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值．由，點(diǎn)， 所以，故選C

7、． 8．已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為，則的值為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知條件作出可行域如圖所示，其中，，， 目標(biāo)函數(shù)可化為， 當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)最大，所以，解得，故選C． 9．已知實(shí)數(shù)滿足，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為，最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】畫(huà)出可行域如下圖所示， 依題意可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)取得最大值，在點(diǎn)取得最小值． 由圖可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，， ∴實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選C． 10．已知，滿足約束條件，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)（，）在該約束條件下取得最小值時(shí)，則的最小值為（）

8、 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下圖，畫(huà)出可行域， 目標(biāo)函數(shù)的斜率為， ∴當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)函數(shù)取得最小值，即， 那么， 等號(hào)成立的條件為．故選C． 11．某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要，，三種主要原料．生產(chǎn)車(chē)皮甲種肥料和生產(chǎn)車(chē)皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示： 已知生產(chǎn)車(chē)皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為萬(wàn)元；生產(chǎn)車(chē)皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為萬(wàn)元． 現(xiàn)有種原料噸，種原料噸，種原料噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲乙兩種肥料的最大利潤(rùn)為（）萬(wàn)元． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)，表示生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車(chē)皮數(shù)，利潤(rùn)為萬(wàn)元． 由已

9、知，滿足，該二元一次不等式組所表示的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分． 目標(biāo)函數(shù)是斜率為，隨變化的一束平行直線，為直線在軸上的截距， 當(dāng)取最大值時(shí)，的值最大． 又因?yàn)?，滿足約束條件，所以由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域中的點(diǎn)時(shí)， 截距的值最大，即的值最大， 解方程組，得點(diǎn)的坐標(biāo)為， ∴，故選B． 12．設(shè)實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖： 則，，， 設(shè)，則，由圖象可知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，斜率取得最大值； 經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，斜率取得最小值．∴． ，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，， ∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞

10、增，可得．故選A． 二、填空題 13．已知實(shí)數(shù)，滿足，若的最大值為，則的 最小值為． 【答案】 【解析】作出可行域如圖， 目標(biāo)函數(shù)化簡(jiǎn)得：， ∵，故只可能在處取最大值． 聯(lián)立，解得， 聯(lián)立，解得， 聯(lián)立，解得， 若目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，不符合題意， ∴過(guò)時(shí)取得最大值，此時(shí)，解得， 過(guò)點(diǎn)時(shí)，． 14．已知變量，滿足，則的取值范圍是． 【答案】 【解析】由變量，滿足，作出可行域如圖： 由，解得；由，解得， 的幾何意義為可行域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率． ∵，，∴的取值范圍是． 15．某紡紗廠生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗，已知生產(chǎn)甲種棉紗噸消耗一級(jí)子棉

11、噸、二級(jí)子棉噸，生產(chǎn)乙種棉紗噸消耗一級(jí)子棉噸、二級(jí)子棉噸，每噸甲種、乙種棉紗的利潤(rùn)分別是元和元，工廠在生產(chǎn)中要求消耗一級(jí)子棉不超過(guò)噸、二級(jí)子棉不超過(guò)噸，且甲種棉紗的產(chǎn)量不能超過(guò)乙種棉紗的產(chǎn)量噸．在此條件下，生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗可以獲得的最大利潤(rùn)為元． 【答案】 【解析】設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗分別為噸、噸，利潤(rùn)總額為元， 則有，目標(biāo)函數(shù)為．作出不等式組所表示的可行域， 把變形為，其中是這條直線在軸上的截距， 當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域上點(diǎn)時(shí)，截距最大，即最大． 解方程組，得的坐標(biāo)為，， ∴． 16．太極圖被稱(chēng)為“中華第一圖”．從孔廟大成殿梁祝，到樓觀臺(tái)、三茅宮、白外五觀的標(biāo)記物；從道袍、 卦攤、中醫(yī)、氣功、武術(shù)到南韓國(guó)、新加坡空軍機(jī)徽……太極圖無(wú)不躍居其上．這種廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽(yáng)兩魚(yú)互抱在一起，因而被稱(chēng)為“陰陽(yáng)魚(yú)太極圖”．在如圖所示的陰陽(yáng)魚(yú)圖案中，陰影部分的區(qū)域可用不等式組來(lái)表示，設(shè)是陰影部分中任意一點(diǎn)，則的最大值為． 【答案】 【解析】如圖，作出直線， 當(dāng)直線往上平移至與陰影部分的圓的邊界相切時(shí)，最大， 此時(shí)圓心到直線的距離等于半徑， 即，解得． 21