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1、第第1 1講直線與圓講直線與圓考情分析考情分析總綱目錄考點一 直線的方程及應用考點二 圓的方程及應用考點三 直線與圓、圓與圓的位置關系考點一 直線的方程及應用1.直線方程的五種形式(1)點斜式:y-y1=k(x-x1).(2)斜截式:y=kx+b.(3)兩點式:=(x1x2且y1y2).(4)截距式:+=1(a0,b0).(5)一般式:Ax+By+C=0(A,B不同時為0).121yyyy121xxxxxayb2.三種距離公式(1)A(x1,y1),B(x2,y2)兩點間的距離:|AB|=.(2)點到直線的距離:d=(其中點P(x0,y0),直線的方程為Ax+By+C=0).(3)兩平行線間的
2、距離:d=(其中兩平行線方程分別為l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0).222121()()xxyy0022|AxByCAB2122|CCAB3.兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1,l2的斜率k1,k2存在,則l1l2k1=k2,l1l2k1k2=-1,若給出的直線方程中存在字母系數(shù),則要考慮斜率是否存在.典型例題典型例題(1)若直線l1:x+ay+6=0與l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,則l1與l2間的距離為()A.B.4C.D.2(2)過點(1,2)的直線l與兩坐標軸的正半軸分別交于A、B兩點,O為坐標原點,當OAB的面積最小時,直線l的方程為()A
3、.2x+y-4=0 B.x+2y-5=0C.x+y-3=0 D.2x+3y-8=04 2328 232解析解析(1)由l1l2,得=,解得a=-1,l1與l2的方程分別為l1:x-y+6=0,l2:x-y+=0,l1與l2之間的距離d=.(2)設l的方程為+=1(a0,b0).則有+=1.a0,b0,+2.12a 3a62a2326328 23xayb1a2b1a2b2ab答案答案(1)C(2)A即12,ab8.當且僅當=,即a=2,b=4時,取“=”.即當a=2,b=4時,OAB的面積最小.此時l的方程為+=1.即2x+y-4=0.2ab1a2b122x4y解答直線方程問題應注意的問題(1)
4、求解兩條直線平行的問題時,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出參數(shù)的值后,要注意代入檢驗,排除兩條直線重合的情況.(2)要注意幾種直線方程的局限性.點斜式、斜截式要求直線不能與x軸垂直;兩點式要求直線不垂直于坐標軸;截距式方程不能表示過原點的直線,也不能表示垂直于坐標軸的直線.(3)求直線方程要考慮直線的斜率是否存在.方法歸納方法歸納跟蹤集訓跟蹤集訓1.已知點A(-1,2),B(3,4).P是x軸上一點,且|PA|=|PB|,則PAB的面積為()A.15 B.C.6 D.5 525152答案答案 D設M是AB的中點,由題意知AB的中點坐標為M(1,3),kAB=,AB的中垂線方程為y-3=
5、-2(x-1).即2x+y-5=0,令y=0,則x=,即P點的坐標為.又|AB|=2,P到AB的距離為|PM|=,SPAB=|AB|PM|=2=.423(1)12525,0222(1 3)(24)52251(30)23 52121253 521522.直線l過點P(1,4),分別交x軸的正半軸和y軸的正半軸于A、B兩點,O為坐標原點,當|OA|+|OB|最小時,l的方程為 .解析解析依題意,l的斜率存在,且斜率為負,設直線l的斜率為k(k0,表示以為圓心,為半徑的圓.,22DE2242DEF典型例題典型例題已知拋物線C:y2=2x,過點(2,0)的直線l交C于A,B兩點,圓M是以線段AB為直徑
6、的圓.(1)證明:坐標原點O在圓M上;(2)設圓M過點P(4,-2),求直線l與圓M的方程.解析解析(1)證明:設A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由可得y2-2my-4=0,則y1y2=-4.又x1=,x2=,故x1x2=4.因此OA的斜率與OB的斜率之積為=-1,所以OAOB.22,2xmyyx212y222y212()4y y11yx22yx44故坐標原點O在圓M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圓心M的坐標為(m2+2,m),圓M的半徑r=.由于圓M過點P(4,-2),因此=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1
7、+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.當m=1時,直線l的方程為x-y-2=0,圓心M的坐標為(3,1),圓M的半徑為,圓M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10.222(2)mmAPBP1210當m=-時,直線l的方程為2x+y-4=0,圓心M的坐標為,圓M的半徑為,圓M的方程為+=.1291,42854294x212y8516求圓的方程的兩種方法(1)直接法:利用圓的性質、直線與圓、圓與圓的位置關系,數(shù)形結合直接求出圓心坐標、半徑,進而求出圓的方程.
8、(2)待定系數(shù)法:先設出圓的方程,再由條件構建系數(shù)滿足的方程(組),求得各系數(shù),進而求出圓的方程.方法歸納方法歸納跟蹤集訓跟蹤集訓1.(2015課標,7,5分)已知三點A(1,0),B(0,),C(2,),則ABC外接圓的圓心到原點的距離為()A.B.C.D.33532132 5343答案答案 B在平面直角坐標系xOy中畫出ABC,易知ABC是邊長為2的正三角形,其外接圓的圓心為D.因此|OD|=.故選B.2 31,3222 313732132.(2016課標全國,15,5分)設直線y=x+2a與圓C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點,若|AB|=2,則圓C的面積為 .3答案答案4解
9、析解析把圓C的方程化為x2+(y-a)2=2+a2,則圓心為(0,a),半徑r=.圓心到直線x-y+2a=0的距離d=.由r2=d2+,得a2+2=+3,解得a2=2,則r2=4,所以圓的面積S=r2=4.22a|2a2|2AB22a考點三 直線與圓、圓與圓的位置關系1.直線與圓的位置關系的判斷(1)幾何法:把圓心到直線的距離d和半徑r的大小加以比較;dr相離.(2)代數(shù)法:將圓的方程和直線的方程聯(lián)立起來組成方程組,消元后得到一元二次方程,利用判別式來討論位置關系:0相交;=0相切;r1+r2兩圓外離;(2)d=r1+r2兩圓外切;(3)|r1-r2|dr1+r2兩圓相交;(4)d=|r1-r
10、2|(r1r2)兩圓內切;(5)0d|r1-r2|(r1r2)兩圓內含.典型例題典型例題(2017課標全國,20,12分)在直角坐標系xOy中,曲線y=x2+mx-2與x軸交于A,B兩點,點C的坐標為(0,1).當m變化時,解答下列問題:(1)能否出現(xiàn)ACBC的情況?說明理由;(2)證明過A,B,C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值.解析解析(1)不能出現(xiàn)ACBC的情況,理由如下:設A(x1,0),B(x2,0),則x1,x2滿足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.又C的坐標為(0,1),故AC的斜率與BC的斜率之積為=-,所以不能出現(xiàn)ACBC的情況.11x21x12(2)證明:BC的中點坐
11、標為,可得BC的中垂線方程為y-=x2由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂線方程為x=-.聯(lián)立又+mx2-2=0,可得所以過A,B,C三點的圓的圓心坐標為,21,22x1222xx2m22,21,22mxxyxx 22x,21.2mxy 1,22m半徑r=.故圓在y軸上截得的弦長為2=3,即過A,B,C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值.292m 222mr解決直線與圓、圓與圓位置關系的方法(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關系時,要注意數(shù)形結合,充分利用圓的幾何性質尋找解題途徑,減少運算量.(2)圓上的點與圓外點的距離的最值問題,可以轉化為圓心到點的距離問題;圓上的點與直線上點的距離的最
12、值問題,可以轉化為圓心到直線的距離問題;圓上的點與另一圓上點的距離的最值問題,可以轉化為圓心到圓心的距離問題.方法歸納方法歸納跟蹤集訓跟蹤集訓(2015課標,20,12分)已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點.(1)求k的取值范圍;(2)若=12,其中O為坐標原點,求|MN|.解析解析(1)由題設,可知直線l的方程為y=kx+1.因為l與C交于兩點,所以1.解得k0)恒有兩個交點,則r的取值范圍為()A.(,+)B.1,+)C.(2,+)D.2,+)2答案答案 A直線y=kx-1過定點M(0,-1),由直線y=kx-1(kR)與圓恒有兩個交
13、點,得M(0,-1)在圓內,即(0-1)2+(-1)2.23.經過三點O(0,0),A(1,1),B(4,2)的圓M與x軸、y軸的交點(非原點)分別為S、T.則|ST|為()A.6 B.8 C.10 D.12答案答案 C解法一:設圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.則解得D=-8,E=6,F=0.圓M的方程為x2+y2-8x+6y=0.令y=0,得x2-8x=0,x=0或x=8;令x=0,得y2+6y=0,y=0或y=-6.S(8,0),T(0,-6),|ST|=10.0,20,42200,FDEFDEF2286|ST|=2R=10.224DEF22(8)64 0 解法二:由題意知圓M過坐標原點.故ST即為圓的直徑,由解法一得4.已知圓C的圓心在x軸的正半軸上,點M(0,)在圓C上,且圓心到直線2x-y=0的距離為,則圓C的方程為 .54 55答案答案(x-2)2+y2=9解析解析設圓C的方程為(x-a)2+y2=r2(a0),由題意可得解得所以圓C的方程為(x-2)2+y2=9.222|2|4 5,55()(5),aar22,9,ar
高三數(shù)學第一篇六 解析幾何刺 第1講 直線與圓 文
