2019年高考數(shù)學 高考題和高考模擬題分項版匯編 專題14 坐標系與參數(shù)方程 理（含解析）

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1、專題14 坐標系與參數(shù)方程 1．【2019年高考北京卷理數(shù)】已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），則點（1，0）到直線l的距離是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由題意，可將直線化為普通方程：，即，即，所以點（1，0）到直線的距離，故選D． 【名師點睛】本題考查直線參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，點到直線的距離，屬于容易題，注重基礎(chǔ)知識、基本運算能力的考查． 2．【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為． （1）求C和l的直角坐標方程； （2）求C上的點到l距

2、離的最小值． 【答案】（1）；的直角坐標方程為；（2）． 【解析】（1）因為，且，所以C的直角坐標方程為． 的直角坐標方程為． （2）由（1）可設(shè)C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）． C上的點到的距離為． 當時，取得最小值7，故C上的點到距離的最小值為． 【名師點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化、求解橢圓上的點到直線距離的最值問題．求解本題中的最值問題通常采用參數(shù)方程來表示橢圓上的點，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值求解問題． 3．【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】在極坐標系中，O為極點，點在曲線上，直線l過點且與垂直，垂足為P． （1）當時，求及l(fā)的極坐標方程； （2）

3、當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程． 【答案】（1），l的極坐標方程為； （2）． 【解析】（1）因為在C上，當時，． 由已知得． 設(shè)為l上除P的任意一點．在中，， 經(jīng)檢驗，點在曲線上． 所以，l的極坐標方程為． （2）設(shè)，在中，即． 因為P在線段OM上，且，故的取值范圍是． 所以，P點軌跡的極坐標方程為． 【名師點睛】本題主要考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，熟記公式即可，屬于?？碱}型． 4．【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】如圖，在極坐標系Ox中，，，，，弧，，所在圓的圓心分別是，，，曲線是弧，曲線是弧，曲線是弧． （1）分別寫出，，的極坐標方

4、程； （2）曲線由，，構(gòu)成，若點在M上，且，求P的極坐標． 【答案】（1）的極坐標方程為，的極坐標方程為，的極坐標方程為． （2）或或或． 【解析】（1）由題設(shè)可得，弧所在圓的極坐標方程分別為，，． 所以的極坐標方程為，的極坐標方程為，的極坐標方程為． （2）設(shè)，由題設(shè)及（1）知 若，則，解得； 若，則，解得或； 若，則，解得． 綜上，P的極坐標為或或或． 【名師點睛】此題考查了極坐標中過極點的圓的方程，思考量不高，運算量不大，屬于中檔題． 5．【2019年高考江蘇卷數(shù)學】在極坐標系中，已知兩點，直線l的方程為． （1）求A，B兩點間的距離；（2）求點B到直線l的

5、距離． 【答案】（1）；（2）2． 【解析】（1）設(shè)極點為O．在△OAB中，A（3，），B（，）， 由余弦定理，得AB=． （2）因為直線l的方程為， 則直線l過點，傾斜角為． 又，所以點B到直線l的距離為． 【名師點睛】本題主要考查曲線的極坐標方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力． 6．【重慶西南大學附屬中學校2019屆高三第十次月考數(shù)學】在平面直角坐標系中，已知曲線的參數(shù)方程為，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為． （1）求曲線與曲線兩交點所在直線的極坐標方程； （2）若直線的極坐標方程為，直線與軸的交點為，與曲線相交于兩點，求的值． 【答案

6、】（1）；（2） 【解析】（1）曲線的普通方程為：， 曲線的普通方程為：，即， 由兩圓心的距離，所以兩圓相交， 所以兩方程相減可得交線為，即． 所以直線的極坐標方程為． （2）直線的直角坐標方程：，則與軸的交點為， 直線的參數(shù)方程為，帶入曲線得． 設(shè)兩點的參數(shù)為，， 所以，，所以，同號． 所以 【名師點睛】本題考查了極坐標，參數(shù)方程和普通方程的互化和用參數(shù)方程計算長度，是常見考題． 7．【山東省鄆城一中等學校2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學】在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，點M的極坐標為，直

7、線l的極坐標方程為． （1）求直線l的直角坐標方程與曲線C的普通方程； （2）若N是曲線C上的動點，P為線段MN的中點，求點P到直線l的距離的最大值． 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）因為直線l的極坐標方程為， 即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0．由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 可得直線l的直角坐標方程為x－y－4＝0． 將曲線C的參數(shù)方程，消去參數(shù)a， 得曲線C的普通方程為． （2）設(shè)N（，sinα），α∈[0，2π）． 點M的極坐標（，），化為直角坐標為（－2，2）． 則． 所以點P到直線l的距離， 所以當時，點M到直線l的距離的最大值為． 【名師點

8、睛】本題主要考查參數(shù)方程、極坐標方程和普通方程的互化，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查點到直線的距離的最值的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力． 8．【河南省周口市2018–2019學年度高三年級（上）期末調(diào)研考試數(shù)學】在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為． （1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程； （2）若直線與曲線交于兩點，且設(shè)定點，求的值． 【答案】（1）普通方程為，C直角坐標方程為；（2）． 【解析】（1）由直線的參數(shù)方程消去，得普通方程為． 等價于， 將代入上式，得曲線的直

9、角坐標方程為， 即． （2）點在直線上，所以直線的參數(shù)方程可以寫為為參數(shù)）， 將上式代入，得． 設(shè)對應的參數(shù)分別為，則， 所以 ． 【名師點睛】本題考查了直線的參數(shù)方程，考查了簡單曲線的極坐標方程，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義． 9．【河南省鄭州市第一中學2019屆高三上學期入學摸底測試數(shù)學】以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸已知點P的直角坐標為，點M的極坐標為若直線l過點P，且傾斜角為，圓C以M為圓心、4為半徑． （1）求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標方程； （2）試判定直線l和圓C的位置關(guān)系． 【答案】（1）（為參數(shù)），；（2）直線

10、與圓相離． 【解析】（1）直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）， M點的直角坐標為（0，4），圓C的半徑為4， ∴圓C的方程為，將代入， 得圓C的極坐標方程為，即； （2）直線的普通方程為， 圓心M到的距離為， ∴直線與圓C相離． 【名師點睛】主要是考查了極坐標與直角坐標的互化，以及運用，屬于基礎(chǔ)題． 10．【全國I卷2019屆高三五省優(yōu)創(chuàng)名校聯(lián)考數(shù)學】在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，橢圓的極坐標方程為，其左焦點在直線上． （1）若直線與橢圓交于兩點，求的值； （2）求橢圓的內(nèi)接矩形面積的最大值． 【答案】（1）；（2）．

11、 【解析】（1）將代入ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48， 得x2＋3y2＝48，即， 因為c2＝48－16＝32，所以F的坐標為（，0）， 又因為F在直線l上，所以． 把直線l的參數(shù)方程代入x2＋3y2＝48， 化簡得t2－4t－8＝0，所以t1＋t2＝4，t1t2＝－8， 所以． （2）由橢圓C的方程，可設(shè)橢圓C上在第一象限內(nèi)的任意一點M的坐標為（，4sinθ）（）， 所以內(nèi)接矩形的面積， 當時，面積S取得最大值． 【名師點睛】直角坐標方程轉(zhuǎn)為極坐標方程的關(guān)鍵是利用公式，而極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程的關(guān)鍵是利用公式，后者也可以把極坐標方程變形，盡量產(chǎn)生，以便轉(zhuǎn)化．

12、另一方面，當動點在圓錐曲線運動變化時，我們可以用一個參數(shù)來表示動點坐標，從而利用一元函數(shù)求與動點有關(guān)的最值問題． 11．【河北衡水金卷2019屆高三12月第三次聯(lián)合質(zhì)量測評數(shù)學】在直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為． （1）當時，寫出直線l的普通方程及曲線C的直角坐標方程； （2）已知點，設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點，試確定的取值范圍． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）當時，直線的參數(shù)方程為 ． 消去參數(shù)t得． 由曲線C的極坐標方程為，得， 將，及代入得，即； （2）由

13、直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）， 可知直線是過點P（–1，1）且傾斜角為的直線， 又由（1）知曲線C為橢圓，所以易知點P（–1，1）在橢圓C內(nèi)， 將代入中，整理得 ， 設(shè)A，B兩點對應的參數(shù)分別為， 則， 所以， 因為，所以， 所以， 所以的取值范圍為． 【名師點睛】利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解問題．經(jīng)過點P（x0，y0），傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．若A，B為直線l上兩點，其對應的參數(shù)分別為，線段AB的中點為M，點M所對應的參數(shù)為，則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：（1）；（2）；（3）；（4）． 12．【河南省信陽高級中學2018–2019學年高二上

14、學期期中考試數(shù)學】在平面直角坐標系中，以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為；直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．直線與曲線分別交于兩點． （1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程； （2）若點的極坐標為，求的值． 【答案】（1）曲線的直角坐標方程為：，直線的普通方程為． （2）． 【解析】（1）由，得， 所以曲線的直角坐標方程為， 即，直線的普通方程為． （2）將直線的參數(shù)方程代入并化簡、整理， 得．因為直線與曲線交于兩點． 所以，解得． 由根與系數(shù)的關(guān)系，得． 因為點的直角坐標為，在直線上．所以， 解得，此時滿足．且，故． 【名師點睛】參數(shù)方程

15、主要通過代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去參數(shù)化為普通方程，通過選取相應的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程，利用關(guān)系式等可以把極坐標方程與直角坐標方程互化，這類問題一般我們可以先把曲線方程化為直角坐標方程，用直角坐標方程解決相應問題． 13．【河南省豫南九校（中原名校）2017屆高三下學期質(zhì)量考評八數(shù)學】己知直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的極坐標方程為，直線與曲線C交于A、B兩點，點． （1）求直線的普通方程和曲線C的直角坐標方程； （2）求的值． 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）， 消去參數(shù)，可得直線l的普通方程， 曲線C的極

16、坐標方程為，即， 曲線C的直角坐標方程為， （2）直線的參數(shù)方程改寫為（t為參數(shù)）， 代入， ． 【名師點睛】由直角坐標與極坐標互換公式，利用這個公式可以實現(xiàn)直角坐標與極坐標的相互轉(zhuǎn)化． 14．【河南省開封市2019屆高三上學期第一次模擬考試數(shù)學】在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系． （1）求直線和曲線的極坐標方程； （2）已知射線（其中）與曲線交于兩點，射線與直線交于點，若的面積為1，求的值和弦長． 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）直線的普通方程為，極坐標方程為， 曲線的普通方程為

17、，極坐標方程為． （2）依題意，∵，∴， ， ， ∴，∴． 【名師點睛】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，參數(shù)方程直角坐標方程和極坐標方程之間的轉(zhuǎn)換，三角形面積公式的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型． 15．【四川省成都市第七中學2019屆高三一診模擬考試數(shù)學】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)標方程為（其中為參數(shù)），在以為極點、軸的非負半軸為極軸的極坐標系（兩種坐標系的單位長度相同）中，直線的極坐標方程為． （1）求曲線的極坐標方程； （2）求直線與曲線的公共點的極坐標． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）消去參數(shù)，得曲線的直角坐標方程．

18、 將代入，得． 所以曲線的極坐標方程為． （2）將與的極坐標方程聯(lián)立，消去得． 展開得． 因為，所以． 于是方程的解為，即． 代入可得，所以點的極坐標為． 【名師點睛】本題考查曲線的極坐標方程與普通方程的互化，直線的極坐標方程與曲線極坐標方程聯(lián)立求交點的問題，考查計算能力． 16．【黑龍江省大慶市第一中學2019屆高三下學期第四次模擬（最后一卷）數(shù)學】在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標方程為． （1）求曲線的直角坐標方程，并指出該曲線是什么曲線； （2）若直線與曲線的交點分別為，，求． 【答案】

19、（1）曲線方程為，表示焦點坐標為，對稱軸為軸的拋物線；（2）10． 【解析】（1）因為，所以，即， 所以曲線表示焦點坐標為，對稱軸為軸的拋物線． （2）設(shè)點，點 直線過拋物線的焦點，則直線參數(shù)方程為化為一般方程為，代入曲線的直角坐標方程，得， 所以 所以 ． 【名師點睛】本題考查極坐標方程化直角坐標方程，直線的參數(shù)方程化一般方程，弦長公式等，屬于簡單題． 17．【河北省石家莊市2018屆高中畢業(yè)班模擬考試（二）數(shù)學】在平面直角坐標系中，曲線的方程為，直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），若將曲線上的點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮们€． （1）寫出曲線的參數(shù)方程； （2）設(shè)

20、點，直線與曲線的兩個交點分別為，求的值． 【答案】（1）（為參數(shù)）；（2） 【解析】（1）若將曲線上的點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼模? 則曲線的直角坐標方程為，整理得， ∴曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)）． （2）將直線的參數(shù)方程化為標準形式為（為參數(shù)）， 將參數(shù)方程帶入得 整理得． ， ． 【名師點睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程的互化，及直線的參數(shù)方程的應用，重點考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力．遇到求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解，或者直接利用直線參數(shù)的幾何意義求解．要結(jié)合題目本身特點，確定選擇何種方程． 16