2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第五單元 專題集訓(xùn)四 數(shù)列的綜合問題練習(xí) 理 新人教A版

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1、專題集訓(xùn)四 數(shù)列的綜合問題 1.[2018·嘉興二模] 已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且a8=1,則2|a9|+|a10|的最小值為 (　　) A.3 B.2 C.1 D.0 2.在如下所示的表格中,每格填上一個(gè)數(shù)字后,使每一橫行成等差數(shù)列,每一縱列成等比數(shù)列,則a+b+c的值為 (　　) 1 2 12 1 a b c A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為整數(shù),a8=-2,a13=4,前12項(xiàng)依次成等差數(shù)列,從第11項(xiàng)起依次成等比數(shù)列,則a15= (　　)

2、 A.8 B.16 C.64 D.128 4.[2018·河北衡水中學(xué)模擬] 已知1,a1,a2,4成等差數(shù)列,1,b1,b2,b3,4成等比數(shù)列,則a1+a2b2的值是　　　　.? 5.定義:F(x,y)=yx(x>0,y>0).已知數(shù)列{an}滿足an=F(n,2)F(2,n)(n∈N*),若對(duì)任意正整數(shù)n,都有an≥ak(k∈N*)成立,則ak的值為　　　　.? 6.[2018·廣東仲元中學(xué)模擬] 已知數(shù)列{an}滿足an=(1-3a)n+10a,n≤6,an-7,n>6(n∈N*), 若{an}是遞減數(shù)列, 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　) A.13,1 B.13,12

3、 C.58,1 D.13,58 7.[2018·山東濟(jì)寧一中月考] 設(shè)f(n)=2+24+27+210+…+23n+10(n∈N),則f(n)等于 (　　) A.27(8n-1) B.27(8n+1-1) C.27(8n+3-1) D.27(8n+4-1) 8.今年“五一”期間,北京十家重點(diǎn)公園舉行免費(fèi)游園活動(dòng),北海公園免費(fèi)開放一天,早晨6時(shí)30分有2人進(jìn)入公園,接下來的第一個(gè)30分鐘內(nèi)有4人進(jìn)去1人出來,第二個(gè)30分鐘內(nèi)有8人進(jìn)去2人出來,第三個(gè)30分鐘內(nèi)有16人進(jìn)去3人出來,第四個(gè)30分鐘內(nèi)有32人進(jìn)去4人出來……按照這種規(guī)律進(jìn)行下去,到上午11時(shí)30分公園內(nèi)的人數(shù)是 (　　

4、) A.211-47 B.212-57 C.213-68 D.214-80 9.[2018·山東煙臺(tái)模擬] 對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,[x]表示不超過x的最大整數(shù),例如[3]=3,[-1.2]=-2,[1.2]=1.已知數(shù)列{an}滿足an=[log2n],其前n項(xiàng)和為Sn,則滿足Sn>2018的正整數(shù)n的最小值為 (　　) A.305 B.306 C.315 D.316 10.[2018·四川三臺(tái)中學(xué)模擬] 在數(shù)列{an}中,a1=1,當(dāng)n≥2時(shí),其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2=an(Sn-1),設(shè)bn=log2SnSn+2,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,則滿足Tn≥6的正整數(shù)n的最小值是

5、(　　) A.12 B.11 C.10 D.9 11.[2018·四川雙流中學(xué)一模] 設(shè)公比不為1的等比數(shù)列{an}滿足a1a2a3=-18,且a2,a4,a3成等差數(shù)列,則數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為　　　　.? 12.[2018·鄭州三測(cè)] 設(shè)有四個(gè)數(shù)的數(shù)列a1,a2,a3,a4,前三個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,其和為k,后三個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,其和為15,且公差非零.對(duì)于任意固定的實(shí)數(shù)k,若滿足條件的數(shù)列個(gè)數(shù)大于1,則k的取值范圍為　　　　　　　　.? 13.[2018·山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考] 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn+Sn+1=2n2+n,若對(duì)任意n∈N*,

6、ann-12. 15.[2018·江西宜春中學(xué)、新余一中聯(lián)考] 設(shè)函數(shù)f(x)=x2+sinx的所有大于0的極小值點(diǎn)從小到大排成的數(shù)列為{xn}. (1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式; (2)令bn=xn2π,設(shè)數(shù)列1bn·bn+1的前n項(xiàng)和為Sn,求證:Sn<32. 16.[2018·株洲二模]

7、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,且滿足anan+1=2Sn,數(shù)列{bn}滿足b1=15,bn+1-bn=2n,則數(shù)列bnan中第　　　　項(xiàng)最小.? 17.[2018·江蘇南京師大附中模擬] 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an=4+-12n-1,若對(duì)于任意的n∈N*,都有1≤x(Sn-4n)≤3成立,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是　　　　.? 專題集訓(xùn)(四) 1.C　[解析] 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵a8=1,∴2|a9|+|a10|=2|1+d|+|1+2d|=-3-4d,d<-1,1,-1≤d≤-12,3+4d,d>-12,由分段函數(shù)的性質(zhì)可得2|a9|+

8、|a10|的最小值為1,故選C. 2.A　[解析] 由題意知,a=12,b=516,c=316,故a+b+c=1,故選A. 3.B　[解析] 設(shè)由前12項(xiàng)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d,從第11項(xiàng)起構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為q.由a13=a122a11=(-2+4d)2-2+3d=4,解得d=1或d=34,又?jǐn)?shù)列{an}的各項(xiàng)均為整數(shù),所以d=1,所以q=a13a12=2,所以an=n-10,n≤12,2n-11,n≥13,故a15=24=16,故選B. 4.52　[解析] 依題意可知a1+a2=1+4=5,b22=1×4=4,1·b2=b12>0,所以b2=2,所以a1+a2b2=52. 5.

9、89　[解析] 由題意得an=F(n,2)F(2,n)=2nn2且ak=(an)min,∴an+1an=2n2(n+1)2.∵2n2-(n+1)2=(n-1)2-2,當(dāng)n≥3時(shí),(n-1)2-2>0,即2n2>(n+1)2,∴當(dāng)n≥3時(shí),an+1>an,同理當(dāng)n<3時(shí),an+1an-1>…>a4>a3a7-7,解得13

10、+10是第k項(xiàng),則23n+10=2×(23)k-1=23k-2,所以3n+10=3k-2,則k=n+4,所以f(n)是該等比數(shù)列的前n+4項(xiàng)的和,于是f(n)=2[1-(23)n+4]1-23=27(8n+4-1).故選D. 8.B　[解析] 由題意,可知從早晨6時(shí)30分開始,接下來的每個(gè)30分鐘內(nèi)進(jìn)入的人數(shù)構(gòu)成以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,出來的人數(shù)構(gòu)成以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.記第n個(gè)30分鐘內(nèi)進(jìn)入公園的人數(shù)為an,第n個(gè)30分鐘內(nèi)出來的人數(shù)為bn,則an=4×2n-1,bn=n,因?yàn)閺脑绯?時(shí)30分至上午11時(shí)30分共有10個(gè)30分鐘,所以上午11時(shí)30分公園內(nèi)的人數(shù)S=2+4

11、(1-210)1-2-10×(1+10)2=212-57. 9.D　[解析] 由題意,an=[log2n].當(dāng)n=1時(shí),a1=0,S1=0;當(dāng)21≤n<22時(shí),a2=a3=1,共2項(xiàng),S3=2;當(dāng)22≤n<23時(shí),a4=a5=a6=a7=2,共4項(xiàng),S7=2×4+S3=10;當(dāng)23≤n<24時(shí),a8=a9=…=a15=3,共8項(xiàng),S15=3×8+S7=34;當(dāng)24≤n<25時(shí),a16=a17=…=a31=4,共16項(xiàng),S31=4×16+S15=98;當(dāng)25≤n<26時(shí),a32=a33=…=a63=5,共32項(xiàng),S63=5×32+S31=258;當(dāng)26≤n<27時(shí),a64=a65=…=a127

12、=6,共64項(xiàng),S127=6×64+S63=642;當(dāng)27≤n<28時(shí),a128=a129=…=a255=7,共128項(xiàng),S255=7×128+S127=1538;當(dāng)28≤n<29時(shí),a256=a257=…=a511=8,共256項(xiàng),S511=8×256+S255=3586>2018.∴當(dāng)Sn=2018時(shí),n=255+2018-15388=315,∴滿足Sn>2018的正整數(shù)n的最小值為316.故選D. 10.C　[解析] 在數(shù)列{an}中,a1=1,當(dāng)n≥2時(shí),其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2=an(Sn-1),∴當(dāng)n≥2時(shí),Sn2=(Sn-Sn-1)·(Sn-1),化為1Sn-1Sn-1=1.∴

13、數(shù)列1Sn是等差數(shù)列,且首項(xiàng)為1,公差為1,∴1Sn=1+(n-1)=n,∴Sn=1n.∴bn=log2SnSn+2=log2n+2n,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=log231+log242+log253+…+log2n+1n-1+log2n+2n=log231×42×53×…×n+1n-1×n+2n=log2(n+1)(n+2)2.由Tn≥6,即log2(n+1)(n+2)2≥6,得(n+1)(n+2)≥27.令f(x)=x2+3x-126=x+322-128-14,可得f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增.而f(9)=-18<0,f(10)=4>0,若x∈N*,則當(dāng)x≥10時(shí),f(x)≥0,∴

14、滿足Tn≥6的正整數(shù)n的最小值是10. 11.58　[解析] 公比不為1的等比數(shù)列{an}滿足a1a2a3=-18,所以a23=-18,解得a2=-12.設(shè)公比為q,則a3=-12q,a4=-12q2,因?yàn)閍2,a4,a3成等差數(shù)列,所以2a4=a2+a3,即2×-12q2=-12-12q,解得q=-12或q=1(舍去),所以a1=1,由{an}的前n項(xiàng)和Sn=a1(1-qn)1-q,可得S4=58. 12.154,5∪(5,15)∪(15,+∞)　[解析] 因?yàn)楹笕齻€(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為15,故可依次設(shè)后三個(gè)數(shù)為5-d,5,5+d(d≠0且d≠5),又前三個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,則第一個(gè)數(shù)為(5

15、-d)25,即(5-d)25+5-d+5=k,化簡(jiǎn)得d2-15d+75-5k=0,因?yàn)闈M足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)大于1,所以Δ>0,所以k>154.又由d≠0且d≠5,得k≠5且k≠15,故k的取值范圍為154,5∪(5,15)∪(15,+∞). 13.-14,34　[解析] 因?yàn)镾n+Sn+1=2n2+n,所以Sn-1+Sn=2(n-1)2+n-1(n≥2),兩式相減得an+an+1=4n-1,n≥2,所以an-1+an=4n-5,n≥3,兩式再相減得an+1-an-1=4,n≥3,可得數(shù)列{an}的偶數(shù)項(xiàng)是以4為公差的等差數(shù)列,從a3起奇數(shù)項(xiàng)也是以4為公差的等差數(shù)列. 若對(duì)任意n∈N*,an<

16、an+1恒成立,則a1a2>a3>…>an. 又an+1an=1-ann(n+1)≥1-12n(n+1)>0,所以an+1與an同號(hào), 又a1=12>0,所以an+1>0,即0

17、. (2)由于01n-1n+1. 當(dāng)n≥2時(shí),1an=1an-1an-1+1an-1-1an-2+…+1a2-1a1+1a1>1n-1-1n+1n-2-1n-1+…+1-12+1a1=3-1n=3n-1n>0, 從而an

18、+an+1an≥n-121-12+12-13+…+1n-1n+1=n-121-1n+1>n-12. 15.解:(1)f(x)=x2+sinx,令f'(x)=12+cosx=0,得x=2kπ±2π3(k∈Z). 由f'(x)>0,得2kπ-2π3

19、=312-15+15-18+…+13n-1-13n+2=312-13n+2=32-33n+2, 又n∈N*,所以Sn<32. 16.4　[解析] 當(dāng)n≥2時(shí),2an=2Sn-2Sn-1=anan+1-an-1an,∵an≠0,∴an+1-an-1=2;當(dāng)n=1時(shí),a1a2=2a1,解得a2=2.∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列,公差都為2,且a1=1,a2=2,∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列,其首項(xiàng)為1,公差為1,∴an=1+n-1=n.∵數(shù)列{bn}滿足b1=15,bn+1-bn=2n,∴當(dāng)n≥2時(shí),bn=2[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+15=2×(n-1)n2+15=n

20、(n-1)+15,當(dāng)n=1時(shí),上式也成立,∴bn=n(n-1)+15,∴bnan=n-1+15n≥215-1(當(dāng)且僅當(dāng)n=15時(shí)取等號(hào)),又n∈N*,且b4a4=3+154,b3a3=7,則數(shù)列bnan中第4項(xiàng)最小. 17.[2,3]　[解析] 由題設(shè)可得Sn=4n+1-(-12)?n1-(-12)=4n+23-23×-12n,則Sn-4n=23-23×-12n,不等式1≤x(Sn-4n)≤3可化為1≤x23-23×-12n≤3,即32×11-(-12)?n≤x≤92×11-(-12)?n,則問題轉(zhuǎn)化為求-12n的最大值和最小值.由于n∈N*,所以-12n的最大值和最小值分別為14和-12,則32×11-14≤x≤92×11-(-12),即2≤x≤3,所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是[2,3]. 7