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1、第7講 套利定價(jià)理論
投資學(xué) ???第1章
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· 由于資本資產(chǎn)定價(jià)模型在理論和實(shí)證方面存在的缺陷（β不能較好地反映風(fēng)險(xiǎn)中許多重要的系統(tǒng)因素），某些學(xué)者開始轉(zhuǎn)向研究其她的資產(chǎn)定價(jià)理論。史蒂芬·羅斯（1976）運(yùn)用套利思想發(fā)展出了此外一種資產(chǎn)定價(jià)措施，即套利定價(jià)理論。該措施的應(yīng)用已擴(kuò)展到金融衍生產(chǎn)品的定價(jià)。
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一 ?套利的定義
· 套利指的是，如果兩只證券的風(fēng)險(xiǎn)水平相似，但盼望收益率存在差別，那么，投資者就可以通過發(fā)售（賣空）低預(yù)期收益率的證券并將獲得的資金用于購買高預(yù)期收益率的證券，從而能在不進(jìn)行額外投資和承受額外風(fēng)險(xiǎn)的狀況下賺取利潤?？梢姡桌哂?/p>
2、“免費(fèi)午餐”的性質(zhì)：零投資+無風(fēng)險(xiǎn)+正利潤。
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二 ?套利定價(jià)的單因素模型
1. 證券收益率之間的協(xié)方差一般為正，由于有某些宏觀經(jīng)濟(jì)變量會引起大多數(shù)公司業(yè)績的同向變動，如GNP、利率、通貨膨脹率、技術(shù)革命、勞動力成本和原材料成本等。如果這些變量發(fā)生了未預(yù)料到的變化，則整個證券市場的收益率會相應(yīng)地發(fā)生意料外的變化。
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2. 假設(shè)我們把所有影響公司業(yè)績的宏觀經(jīng)濟(jì)因素組合成一種總的宏觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)，假定它的變化影響所有證券的收益率，并假定，除了這個宏觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)的影響，股票收益率的所有其她不擬定性都來自于公司特有因素。
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3. 在前述假設(shè)條件下，證券的持有期收益率就可以表達(dá)為：
????????Ri=E(Ri)+βif+ei
????????其中， E(Ri)是證券持有期期初預(yù)期的收益率；ERi＝E0+βiEF，E0表達(dá) F為0時證券的盼望收益率， βiEF表達(dá)宏觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)的預(yù)期變動對證券盼望收益率的影響。
?????????f表達(dá)宏觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)未預(yù)期到的變化， βi表達(dá)證券收益率對F的敏感系數(shù)，ei表達(dá)未預(yù)期到的公司特有事件引起的證券收益率的變化。
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4. 在應(yīng)用中，一般用證券市場指數(shù)（如原則普爾500指數(shù)）的收益率代表宏觀經(jīng)濟(jì)因素的影響。這樣，就可以將證券持
4、有期的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)表達(dá)為
???????Ri-Rf=αi+βi(Rm-Rf)+ei
???????其中，Rm表達(dá)證券市場指數(shù)的收益率，Rf表達(dá)無風(fēng)險(xiǎn)收益率， αi表達(dá)市場風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)為零時證券i的盼望收益率， βi表達(dá)證券i的收益率變動對市場指數(shù)收益率變動的敏感度。
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5. 通過構(gòu)建充足多樣化的證券組合，可剔除公司特有因素對證券收益率的影響。充足多樣化投資組合收益率Rp和Rm之間的關(guān)系可表達(dá)為： ????????????????????????????Rp-Rf=αp+βp(Rm-Rf)
6. 對于兩個具有相似敏感系數(shù)的證券組合，進(jìn)行相似頭寸、相反方向（買入/賣
5、空）的交易就可以剔除市場指數(shù)收益率未預(yù)期到的變化對投資收益率的影響。
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7. 如果兩個證券組合具有相似的敏感系數(shù)，但盼望收益率不同，那么，投資者通過賣空低盼望收益率的證券組合，并將獲得的資金用于購買高盼望收益率的證券組合，就可以在無風(fēng)險(xiǎn)、零投資的狀況下賺取利潤。
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8. 在容許賣空的狀況下，只要有少數(shù)幾種投資者可以發(fā)現(xiàn)套利機(jī)會，她們的競相抬價(jià)或壓價(jià)就可以促使證券組合的市場相對價(jià)格發(fā)生變化，直到所有充足多樣化的證券組合必然具有相似的收益－風(fēng)險(xiǎn)比率：
??(ERp-Rf)/ βp=(ERq-Rf)/ βq=…
????????
6、??????????????????=(ERm-Rf)
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9. 如果無套利的盼望收益-貝塔系數(shù)關(guān)系對無數(shù)不同的充足分散化的投資組合是成立的，那么，這一關(guān)系對所有單個證券的成立也幾乎是可以肯定的。固然，這并不排除個別或一小部分證券違背該關(guān)系的也許性。因此，當(dāng)證券市場處在均衡時，單個證券的預(yù)期收益率也可以表達(dá)為：ERi-Rf= βi(ERm-Rf)
?????這意味著市場只對證券涉及的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)提供補(bǔ)償。
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三 ?金融衍生產(chǎn)品的套利定價(jià)理論
1. 套利定理
· 考慮一種實(shí)驗(yàn)，其所有也許成果構(gòu)成的集合為{1, 2, …, m}。
7、假設(shè)我們在第i (i=1, 2, …, n)個賭博中投入xi單位的賭金，若實(shí)驗(yàn)成果是j (j= 1, 2, …, m)，則獲得收益xiri (j)，其中， ri (j)表達(dá)在第i個賭博上投入一單位賭金的收益函數(shù)。投入的賭金數(shù)量可覺得正、負(fù)或零。
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· 設(shè)賭博方略為x=(x1, x2, …xn)，則當(dāng)實(shí)驗(yàn)成果是j (j= 1, 2, …, m)，該賭博方略的收益為∑xiri (j)。
· 在該實(shí)驗(yàn)的所有也許成果所構(gòu)成的集合上，要么存在一種概率向量p=(p1, p2, …, pm)，使得在這個概率下每一種賭博的盼望收益都為零；要么存在一種在任何實(shí)驗(yàn)成果下都能獲
8、得正收益的賭博方略。
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2. 滿足無套利條件的證券價(jià)格運(yùn)動模式。
· 由于所有的衍生證券都可以由其標(biāo)的證券構(gòu)造，因此，在可以選擇由衍生證券和標(biāo)的證券的組合伙為賭博方略的狀況下，需要研究什么樣的證券價(jià)格運(yùn)動模式才干滿足無套利條件。
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· 幾何布朗運(yùn)動。設(shè)目前時刻是0，用S(y)表達(dá)將來y時刻的證券價(jià)格。如果對任何非負(fù)的實(shí)數(shù)y，t，隨機(jī)變量[S(t+y)/ S(y)]獨(dú)立于y時刻及此前的所有價(jià)格，且㏑ [S(t+y)/ S(y)]是均值為μt ，原則差σ√t的正態(tài)隨機(jī)變量，我們就稱價(jià)格族S(y)，0≤y<∞服從漂移參數(shù)為μ，波
9、動參數(shù)為σ的幾何布朗運(yùn)動的分布。
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· 作為幾何布朗運(yùn)動的n階近似，我們可以假設(shè)每過t/n個單位的時間，證券的價(jià)格變化一次，且要么以1/2[1+(μ/σ) √t/n]的概率上升為原價(jià)格的u=exp(σ √t/n)，要么以1/2[1-(μ/σ) √t/n]下跌為原價(jià)格的d=exp(-σ √t/n)。
· 根據(jù)套利定理，為了不存在套利機(jī)會，在每個時期購買證券的盼望收益都應(yīng)為零，因此，p= 1/2[1+(μ/σ) √t/n] ︽ 1/2[1+(r/σ-σ/2) √t/n] 。
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· 當(dāng)n→∞時，該證券價(jià)格變化的概率分布就收斂為漂移參數(shù)為(r-σ2/2)，波動參數(shù)為σ的幾何布朗運(yùn)動的分布。
?這個風(fēng)險(xiǎn)中性的幾何布朗運(yùn)動分布是所有描述證券價(jià)格隨時間演化規(guī)律的分布中，惟一一種可以使得對所有有關(guān)證券買賣的賭博來說都公平的概率分布。
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3. 根據(jù)套利定理，期權(quán)要么根據(jù)這個風(fēng)險(xiǎn)中性的幾何布朗運(yùn)動的概率分布來定價(jià)從而使得賭博公平，要么存在套利。
第7講 套利定價(jià)理論
